In 1978, Ralph C. Merkle and Martin

In 1978, Ralph C. Merkle and Martin E. Hellman, both electrical engineers at Stanford University, developed a public-key cryptosystem based on the knapsack problem, a celebrated problem in combinatorics. It can be stated as follows: Given a knapsack of volume S and n items of various volumes a ,a , . . . ,a , which of the
items can fill the knapsack? In other words, given the positive integers a ,a , . . . ,a ,
called weights, and a positive integer S, solve the LDE

S = a x + a x + · · · + a x (9.10)
where x = 0 or 1. [Note that S is the dot product of the vectors (a ,a , . . . ,a ) and (x ,x , . . . ,x ).] The knapsack problem may have no solutions, one solution, or more than one solution.
For example, the knapsack problem 3x 1 + 5x2 + 9x3 + 19x4 + 37x5 = 45 has one solution (1, 1,0,0, 1), since 3 + 5 +0 +0 + 37 = 45. On the other hand, the knapsack problem 3x 1 + 5x2 + 8x3 + 13x4 +21x5 = 34 has two solutions; they are (0,0,0, 1, 1) and (0, 1, 1,0, 1), because 0 + 0 + 0 + 13 + 21 = 34 = 0 + 5 + 8 + 0 + 21. But the problem 5x 1 + 14x2 + 15x3 + 27x4 + 11x5 = 23 has no solutions. Solving a knapsack problem is usually a very difficult task. An obvious, but certainly impractical, method is to check the various 2n possibilities for a solution (x ,x , . . . ,x ), where x = 0 or 1, until a solution emerges or all cases have been exhausted. Even the best-known method for solving the problem requires about 2n/2
computational operations, so for n = 100 a computer solution becomes computationally infeasible.
Nonetheless, problem (9.10) can be solved fairly easily if the weights have special properties. For instance, if ai = 2 , then S = x 1 + 2x2 + 2 x3 + · · · + 2 has a solution (x ,x , . . . ,x ) if (x ,x , . . . ,x ) = S.
It is also easy to solve it if a < a , where 2 ≤j ≤ n. A sequence with this property is said to be superincreasing. For example, consider the sequence 3, 5, 9, 19, 37. Because 3 < 5, 3 + 5 < 9, 3 + 5 + 9 < 19, and 3 + 5 + 9 + 19 < 37, the sequence is superincreasing. The following example shows how to solve a knapsack problem with superincreasing weights.

Kết quả (Việt) 1:

Năm 1978, Ralph C. Merkle và Martin E. Hellman, cả hai kỹ sư điện tại Đại học Stanford, phát triển một khóa công khai cryptosystem dựa trên vấn đề knapsack, một vấn đề tổ chức kỷ niệm trong tổ hợp. Nó có thể được nêu như sau: cho một knapsack của khối lượng S và n các khoản mục khác nhau sách một, một,..., a, mà của các mục có thể fill knapsack? Nói cách khác, đưa ra các số nguyên dương một, một,..., a, gọi là trọng lượng, và một số nguyên dương S, giải quyết LDE S = một x + một x + · · · + một x (9,10) nơi x = 0 hoặc 1. [Lưu ý rằng S là dot, tích các vectơ (một, một,..., một) và (x, x,..., x).] Knapsack vấn đề có thể có không có giải pháp, một giải pháp, hoặc nhiều hơn một giải pháp. Ví dụ, vấn đề knapsack 3 x 1 + 5 x 2 + 9 x 3 + 19 x 4 + 37 x 5 = 45 có một giải pháp (1, 1,0,0, 1), kể từ 3 + 5 + 0 + 0 + 37 = 45. Mặt khác, vấn đề knapsack 3 x 1 + 5 x 2 + 8 x 3 + 13 x 4 21 x 5 = 34 có hai giải pháp; họ là (0,0,0, 1, 1) và (0, 1, 1,0, 1), bởi vì 0 + 0 + 0 + 13 + 21 = 34 = 0 + 5 + 8 + 0 + 21. Nhưng vấn đề 5 x 1 + 14 x 2 + 15 x 3 + 27 x 4 + 11 x 5 = 23 đã không có giải pháp. Giải quyết một vấn đề knapsack thường là một nhiệm vụ rất difficult. Một phương pháp rõ ràng, nhưng chắc chắn không thực tế, là để kiểm tra khả năng 2n khác nhau cho một giải pháp (x, x,..., x), nơi x = 0 hoặc 1, cho đến khi một giải pháp nổi lên hoặc tất cả các trường hợp đã bị kiệt sức. Ngay cả phương pháp nổi tiếng nhất để giải quyết vấn đề đòi hỏi về 2n/2 tính toán hoạt động, vì vậy cho n = 100 giải pháp máy tính trở thành computationally infeasible. Tuy nhiên, vấn đề (9,10) có thể được giải quyết khá dễ dàng nếu trọng lượng có tính chất đặc biệt. Ví dụ, nếu ai = 2, sau đó S = x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + · · · + 2 có một giải pháp (x, x,..., x) nếu (x, x,..., x) = S. Nó cũng là dễ dàng để giải quyết nó nếu một < a, nơi 2 ≤j ≤ n. Một chuỗi với tài sản này được gọi là superincreasing. Ví dụ, xem xét trình tự 3, 5, 9, 19, 37. Bởi vì 3 < 5, 3 + 5 < 9, 3 + 5 + 9 < 19, và 3 + 5 + 9 + 19 < 37, trình tự là superincreasing. Ví dụ sau cho thấy làm thế nào để giải quyết một vấn đề knapsack với trọng lượng superincreasing.

Kết quả (Việt) 2:

Năm 1978, Ralph Merkle và C. Martin E. Hellman, cả hai kỹ sư điện tại Đại học Stanford, đã phát triển một hệ thống mật mã khóa công khai dựa trên các bài toán xếp ba lô, một vấn đề nổi tiếng trong tổ hợp. Nó có thể được phát biểu như sau: Cho một chiếc ba lô của khối lượng S và n mặt hàng của khối lượng khác nhau là, một,. . . , một, mà các
mặt hàng có thể fi ll những chiếc ba lô? Nói cách khác, đưa ra các số nguyên dương a, a,. . . , một,
gọi là trọng lượng, và một số nguyên dương S, giải quyết LDE S = ax + ax + · · · + ax (9.10) trong đó x = 0 hoặc 1. [Chú ý rằng S là dấu chấm sản phẩm của các vectơ (a, a,..., a) và (x, x,..., x).] Các bài toán xếp ba lô có thể không có các giải pháp, một trong những giải pháp, hoặc nhiều hơn một giải pháp. Ví dụ, vấn đề ba lô 3x 1 + 5x2 + 9x3 + 19x4 + 37x5 = 45 có một giải pháp (1, 1,0,0, 1), kể từ khi 3 + 5 0 0 + 37 = 45. Mặt khác, vấn đề ba lô 3x 1 + 5x2 + 8x3 + 13x4 + 21x5 = 34 có hai giải pháp; họ là (0,0,0, 1, 1) và (0, 1, 1,0, 1), vì 0 + 0 + 0 + 13 + 21 = 34 = 0 + 5 + 8 + 0 + 21. Nhưng vấn đề 5x 1 + 14x2 + 15x3 + 27x4 + 11x5 = 23 không có giải pháp. Giải quyết một vấn đề ba lô thường là một nhiệm vụ rất sùng bái fi khăn. An rõ ràng, nhưng chắc chắn không thực tế, phương pháp là để kiểm tra khả năng 2n khác nhau cho một giải pháp (x, x,..., X), trong đó x = 0 hoặc 1, cho đến khi một giải pháp nổi lên hoặc tất cả các trường hợp này đã cạn kiệt. Ngay cả những phương pháp tốt nhất được biết đến với việc giải quyết các vấn đề đòi hỏi về 2n / 2 hoạt động tính toán, do đó, cho n = 100 là một giải pháp máy tính trở nên tính toán khả thi. Tuy nhiên, vấn đề (9.10) có thể được giải quyết khá dễ dàng nếu các trọng có tính chất đặc biệt. Ví dụ, nếu ai = 2 thì S = x 1 + 2x2 + 2 x3 + · · · + 2 có một giải pháp (x, x,..., X) nếu (x, x,..., X) = S. Nó cũng dễ dàng để giải quyết nó nếu a <a, nơi 2 ≤j ≤ n. Một trình tự với các tài sản này được cho là được superincreasing. Ví dụ, xem xét trình tự 3, 5, 9, 19, 37. Bởi vì 3 <5, 3 + 5 <9, 3 + 5 + 9 <19, và 3 + 5 + 9 + 19 <37, trình tự là superincreasing . Ví dụ sau đây cho thấy làm thế nào để giải quyết một vấn đề ba lô với trọng lượng superincreasing.