Let ¯x ∈ domf and let ε be an arbit

Let ¯x ∈ domf and let ε be an arbitrary positive number. We show f
is Fr´echet subdifferentiable at some point y ∈ Bε(¯x). Since f is lsc at ¯x there
exists δ > 0 such that f(x) > f(¯x)−1 for all x ∈ Bδ(¯x). Define ˜ f := f+ιBδ(¯x).
Then, ˜ f is lsc and
˜ f(¯x) = f(¯x) < inf
Bδ(¯x)
f + 1 = inf
X
˜ f + 1.
Applying the Borwein–Preiss Variational Principle of Theorem 2.5.3, using
the asserted Fr´echet smooth renorm with λ < min(δ, ε), we conclude that
there exists y ∈ Bλ(¯x) ⊂ int(Bδ(¯x) ∩ Bε(¯x)) and ϕ2(x) :=
∞
i=1 μi
x − xi
2
where (xi) is a sequence converging to y and (μi) is a sequence of positive
numbers satisfying
∞
i=1 μi = 1 such that ˜ f +λ−2ϕ2 attains a minimum at y.
Since y is an interior point of Bδ(¯x), f + λ−2ϕ2 attains a local minimum
at y. After checking that ϕ2 is Fr´echet differentiable, we see that f is Fr´echet
subdifferentiable at y ∈ Bε(¯x). •
We put meat on the bones of t

Kết quả (Việt) 1:

Hãy để ¯x ∈ domf và để cho ε là một số tùy ý của tích cực. Chúng tôi cho flà Fr´echet subdifferentiable tại một số điểm y ∈ Bε(¯x). Vì f là lsc tại ¯x cótồn tại δ > 0 như vậy đó f (x) > −1 f (¯x) cho tất cả x ∈ Bδ(¯x). Định nghĩa ˜ f: = f+ιBδ(¯x).Sau đó, ˜ f là lsc và˜ f(¯x) = f(¯x) < infBδ(¯x)f + 1 = infX˜ f + 1.Áp dụng các Borwein-Preiss Variational nguyên tắc của định lý 2.5.3, bằng cách sử dụngFr´echet v.v. trơn renorm với λ < min (δ, ε), chúng tôi kết luận rằngcó tồn tại y ∈ Bλ(¯x) ⊂ int(Bδ(¯x) ∩ Bε(¯x)) và ϕ2(x): = ∞i = 1 μix − xi2nơi (xi) là một dãy hội tụ đến y và (μi) là một chuỗi các tích cựcsố lượng đáp ứng ∞i = 1 μi = 1 sao cho ˜ f + λ−2ϕ2 đạt được tối thiểu tại y.Kể từ khi y là một điểm trang trí nội thất Bδ(¯x), f + λ−2ϕ2 đạt được tối thiểu địa phươngtại y. Sau khi kiểm tra rằng ϕ2 Fr´echet khả vi, chúng ta thấy rằng f là Fr´echetsubdifferentiable tại y ∈ Bε(¯x). •Chúng tôi đặt thịt trên xương của t

Kết quả (Việt) 2:

Cho x ∈ domf và để ε là một số dương tùy ý. Chúng tôi chỉ cho e
là subdifferentiable Fr'echet tại một số điểm y ∈ Bε (x). Kể từ khi f là LSC tại X có
tồn tại δ> 0 sao cho f (x)> f (x) -1 với mọi x ∈ Bδ (x). Xác định ~ f:. = F + ιBδ (X)
Sau đó, ~ f là LSC và
~ f (x) = f (x) <inf
Bδ (x)
f + 1 = inf
X
~ f + 1.
Áp dụng Borwein-Preiss biến phân Nguyên tắc của Định lý 2.5.3, sử dụng
các khẳng định Fr'echet renorm mịn với λ <min (δ, ε), chúng tôi kết luận rằng
có tồn tại y ∈ Bλ (x) ⊂ int (Bδ (x ) ∩ Bε (x)) và φ2 (x): =
∞
i = 1 μi
x - xi
2
nơi (xi) là một chuỗi hội tụ để y và (μi) là một chuỗi các tích cực
số đáp ứng
∞
i = 1 μi = 1 mà ~ f + λ-2φ2 đạt mức tối thiểu tại y.
Vì y là một điểm bên trong của Bδ (x), f + λ-2φ2 đạt tối thiểu địa phương
tại y. Sau khi kiểm tra φ2 đó là Fr'echet vi, chúng ta thấy rằng f là Fr'echet
subdifferentiable tại y ∈ Bε (x). •
Chúng tôi đặt thịt trên xương của t