- Văn bản
- Lịch sử
Chapter 1Numbers(NOTE: more example
Chapter 1
Numbers
(NOTE: more examples and motivation needed. perhaps drop the proofs for
exponents and surds?)
A number is a way to represent quantity. Numbers are not something that
we can touch or hold, because they are not physical. But you can touch three
apples, three pencils, three books. You can never just touch three, you can only
touch three of something. However, you don’t need to see three apples in front
of you to know that if you take one apple away, that there will be two apples
left. You can just think about it. That is your brain representing the apples in
numbers and then performing arithmetic on them.
A number represents quantity because we can look at the world around us
and quantify it using numbers. How many minutes? How many kilometers?
How many apples? How much money? How much medicine? These are all
questions which can only be answered using numbers to tell us “how much” of
something we want to measure.
A number can be written many different ways and it is always best to choose
the most appropriate way of writing the number. For example, the number “a
half” may be spoken aloud or written in words, but that makes mathematics
very difficult and also means that only people who speak the same language as
you can understand what you mean. A better way of writing “a half” is as a
fraction 1
2
or as a decimal number 0,5. It is still the same number, no matter
which way you write it.
In high school, all the numbers which you will see are called real numbers(NOTE:
Advanced: The name “real numbers” is used because there are
different and more complicated numbers known as “imaginary numbers”, which
this book will not go into. Since we won’t be looking at numbers which aren’t
real, if you see a number you can be sure it is a real one.) and mathematicians
use the symbol R to stand for the set of all real numbers, which simply means all
of the real numbers. Some of these real numbers can be written in a particular
way, but others cannot.
This chapter will explain different ways of writing any number, and when
each way of writing the number is best.
(NOTE: This intro needs more motivation for different types of numbers,
some real world examples and more interesting facts. Lets avoid the whole
different numeral systems though... maybe when we do the history edit near
release.)
3
1.1 Letters and Arithmetic
The syllabus requires:
• algebraic manipulation is governed by the algebra of the real
numbers
• manipulate equations (rearrange for y, expand a squared bracket)
(NOTE: “algebra of the Reals”. why letters are useful... very simple example,
like change from a shop. brackets, squared brackets, fractions, multiply top
and bottom. rearranging. doing something to one side and the other.)
When you add, subtract, multiply or divide two numbers, you are performing
arithmetic1
. These four basic operations (+, −, ×, ÷) can be performed on any
two real numbers.
Since they work for any two real numbers, it would take forever to write out
every possible combination, since there are an infinite(NOTE: Advanced: we
really need to define what infinite means, nicely!) amount of real numbers! To
make things easier, it is convenient to use letters to stand in for any number2
,
and then we can fill in a particular number when we need to. For example, the
following equation
x + y = z (1.1)
can find the change you are owed for buying an item. In this equation, x
represents the amount of change you should get, z is the amount you payed and
y is the price of the item. All you need to do is write the amount you payed
instead of z and the price instead of y, your change is then x. But to be able to
find your change you will need to rearrange the equation for x. We’ll find out
how to do that just after we learn some more details about the basic operators.
1.1.1 Adding and Subtracting
Adding, subtracting, multiplying and dividing are the most basic operations
between numbers but they are very closely related to each other. You can
think of subtracting as being the opposite of adding since adding a number and
then subtracting the same number will not change what you started with. For
example, if we start with a and add b, then subtract b, we will just get back to
a again
a + b − b = a (1.2)
5 + 2 − 2 = 5
(NOTE: rework these bits into the Negative Numbers section. it needs more
attention than we initially thought.) Subtraction is actually the same as adding
a negative number. A negative number is a number less than zero. Numbers
greater than zero are called positive numbers. In this example, a and b are
positive numbers, but −b is a negative number
a − b = a + (−b) (1.3)
5 − 3 = 5 + (−3)
1Arithmetic is the Greek word for “number”
2We will look at this in more detail in chapter 3.
4
It doesn’t matter which order you write additions and subtractions(NOTE:
Advanced: This is a property known as associativity, which means a+b = b+a),
but it looks better to write subtractions to the right. You will agree that a − b
looks neater than −b + a, and it makes some sums easier, for example, most
people find 12 − 3 a lot easier to work out than −3 + 12, even though they are
the same thing.
1.1.2 Negative Numbers
Negative numbers can be very confusing to begin with, but there is nothing
to be afraid of. When you are adding a negative number, it is the same as
subtracting that number if it were positive. Likewise, if you subtract a negative
number, it is the same as adding the number if it were positive. Numbers are
either positive or negative, and we call this their sign. A positive number has
positive sign, and a negative number has a negative sign.
(NOTE: number line here. subtraction is moving to left, adding is moving
to the right. maybe something else about negative numbers?)
Table 1.1 shows how to calculate the sign of the answer when you multiply
two numbers together. The first column shows the sign of one of the numbers,
the second column gives the sign of the other number, and the third column
shows what sign the answer will be. So multiplying a negative number by
a b a × b
+ + +
+ - -
- + -
- - +
Table 1.1: Table of signs for multiplying two numbers.
a positive number always gives you a negative number, whereas multiplying
numbers which have the same sign always gives a positive number. For example,
2 × 3 = 6 and −2 × −3 = 6, but −2 × 3 = −6 and 2 × −3 = −6.
Adding numbers works slightly differently, have a look at Table 1.2. If you
a b a + b
+ + +
+ - ?
- + ?
- - -
Table 1.2: Table of signs for adding two numbers.
add two positive numbers you will always get a positive number, but if you add
two negative numbers you will always get a negative number. If the numbers
have different sign, then the sign of the answer depends on which one is bigger.
5
1.1.3 Brackets
In equation (1.3) we used brackets3 around −b. Brackets are used to show the
order in which you must do things. This is important as you can get different
answers depending on the order in which you do things. For example
(5 × 10) + 20 = 70 (1.4)
whereas
5 × (10 + 20) = 150 (1.5)
If you don’t see any brackets, you should always do multiplications and divisions
first and then additions and subtractions4
. You can always put your own
brackets into equations using this rule to make things easier for yourself, for
example:
a × b + c ÷ d = (a × b) + (c ÷ d) (1.6)
5 × 10 + 20 ÷ 4 = (5 × 10) + (20 ÷ 4)
1.1.4 Multiplying and Dividing
Just like addition and subtraction, multiplication and division are opposites of
each other. Multiplying by a number and then dividing by the same number
gets us back to the start again:
a × b ÷ b = a (1.7)
5 × 4 ÷ 4 = 5
Sometimes you will see a multiplication of letters without the × symbol,
don’t worry, its exactly the same thing. Mathematicians are lazy and like to
write things in the neatest way possible.
abc = a × b × c (1.8)
It is usually neater to write known numbers to the left, and letters to the
right. So although 4x and x4 are the same thing(NOTE: Advanced: This is
a property known as commutativity, which means ab = ba), it looks better to
write 4x.
If you see a multiplication outside a bracket like this
a(b + c) (1.9)
3(4 − 3)
then it means you have to multiply each part inside the bracket by the number
outside
a(b + c) = ab + ac (1.10)
3(4 − 3) = 3 × 4 − 3 × 3 = 12 − 9 = 3
3Sometimes people say “parenthesis” instead of “brackets”.
4Multiplying and dividing can be performed in any order as it doesn’t matter. Likewise it
doesn’t matter which order you do addition and subtraction. Just as long as you do any ×÷
before any +−.
6
unless you can simplify everything inside the bracket into a single term. In fact,
in the above example, it would have been smarter to have done this
3(4 − 3) = 3 × (1) = 3 (1.11)
It can happen with letters too
3(4a − 3a) = 3 × (a) = 3a (1.12)
If there are two brackets multiplied by each other, then you can do it one
step at a time
(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) (1.13)
= ac + ad + bc + bd
(a + 3)(4 + d) = a(4 + d) + 3(4 + d)
= 4a + ad + 12 + 3d
1.1.5 Rearranging Equations
Coming back to the example about change, which we wanted to solve earlier in
equation (1.1)
x + y = z
To recap your memory, z is the amount you (or a customer) payed for something,
y is the price and you want to find x, the change. What you need to do is
rearrange the equation so only x is on the left.
You can add, subtract, multiply or divide both sides of an equation by any
number you want, as long as you always do it to both sides. If you imagine an
equation is like a set of weighing scales. (NOTE: diagram here.) If you wish to
keep the scales balanced, then when you add something to one side, you must
also add something of the same weight to the other side.
So for our example we could subtract y from both sides
x + y = z (1.14)
= x + y − y = z − y
x = z − y
so now we can find the change is the amount payed take away the price. In
real life we can do this in our head, the human brain is
Numbers
(NOTE: more examples and motivation needed. perhaps drop the proofs for
exponents and surds?)
A number is a way to represent quantity. Numbers are not something that
we can touch or hold, because they are not physical. But you can touch three
apples, three pencils, three books. You can never just touch three, you can only
touch three of something. However, you don’t need to see three apples in front
of you to know that if you take one apple away, that there will be two apples
left. You can just think about it. That is your brain representing the apples in
numbers and then performing arithmetic on them.
A number represents quantity because we can look at the world around us
and quantify it using numbers. How many minutes? How many kilometers?
How many apples? How much money? How much medicine? These are all
questions which can only be answered using numbers to tell us “how much” of
something we want to measure.
A number can be written many different ways and it is always best to choose
the most appropriate way of writing the number. For example, the number “a
half” may be spoken aloud or written in words, but that makes mathematics
very difficult and also means that only people who speak the same language as
you can understand what you mean. A better way of writing “a half” is as a
fraction 1
2
or as a decimal number 0,5. It is still the same number, no matter
which way you write it.
In high school, all the numbers which you will see are called real numbers(NOTE:
Advanced: The name “real numbers” is used because there are
different and more complicated numbers known as “imaginary numbers”, which
this book will not go into. Since we won’t be looking at numbers which aren’t
real, if you see a number you can be sure it is a real one.) and mathematicians
use the symbol R to stand for the set of all real numbers, which simply means all
of the real numbers. Some of these real numbers can be written in a particular
way, but others cannot.
This chapter will explain different ways of writing any number, and when
each way of writing the number is best.
(NOTE: This intro needs more motivation for different types of numbers,
some real world examples and more interesting facts. Lets avoid the whole
different numeral systems though... maybe when we do the history edit near
release.)
3
1.1 Letters and Arithmetic
The syllabus requires:
• algebraic manipulation is governed by the algebra of the real
numbers
• manipulate equations (rearrange for y, expand a squared bracket)
(NOTE: “algebra of the Reals”. why letters are useful... very simple example,
like change from a shop. brackets, squared brackets, fractions, multiply top
and bottom. rearranging. doing something to one side and the other.)
When you add, subtract, multiply or divide two numbers, you are performing
arithmetic1
. These four basic operations (+, −, ×, ÷) can be performed on any
two real numbers.
Since they work for any two real numbers, it would take forever to write out
every possible combination, since there are an infinite(NOTE: Advanced: we
really need to define what infinite means, nicely!) amount of real numbers! To
make things easier, it is convenient to use letters to stand in for any number2
,
and then we can fill in a particular number when we need to. For example, the
following equation
x + y = z (1.1)
can find the change you are owed for buying an item. In this equation, x
represents the amount of change you should get, z is the amount you payed and
y is the price of the item. All you need to do is write the amount you payed
instead of z and the price instead of y, your change is then x. But to be able to
find your change you will need to rearrange the equation for x. We’ll find out
how to do that just after we learn some more details about the basic operators.
1.1.1 Adding and Subtracting
Adding, subtracting, multiplying and dividing are the most basic operations
between numbers but they are very closely related to each other. You can
think of subtracting as being the opposite of adding since adding a number and
then subtracting the same number will not change what you started with. For
example, if we start with a and add b, then subtract b, we will just get back to
a again
a + b − b = a (1.2)
5 + 2 − 2 = 5
(NOTE: rework these bits into the Negative Numbers section. it needs more
attention than we initially thought.) Subtraction is actually the same as adding
a negative number. A negative number is a number less than zero. Numbers
greater than zero are called positive numbers. In this example, a and b are
positive numbers, but −b is a negative number
a − b = a + (−b) (1.3)
5 − 3 = 5 + (−3)
1Arithmetic is the Greek word for “number”
2We will look at this in more detail in chapter 3.
4
It doesn’t matter which order you write additions and subtractions(NOTE:
Advanced: This is a property known as associativity, which means a+b = b+a),
but it looks better to write subtractions to the right. You will agree that a − b
looks neater than −b + a, and it makes some sums easier, for example, most
people find 12 − 3 a lot easier to work out than −3 + 12, even though they are
the same thing.
1.1.2 Negative Numbers
Negative numbers can be very confusing to begin with, but there is nothing
to be afraid of. When you are adding a negative number, it is the same as
subtracting that number if it were positive. Likewise, if you subtract a negative
number, it is the same as adding the number if it were positive. Numbers are
either positive or negative, and we call this their sign. A positive number has
positive sign, and a negative number has a negative sign.
(NOTE: number line here. subtraction is moving to left, adding is moving
to the right. maybe something else about negative numbers?)
Table 1.1 shows how to calculate the sign of the answer when you multiply
two numbers together. The first column shows the sign of one of the numbers,
the second column gives the sign of the other number, and the third column
shows what sign the answer will be. So multiplying a negative number by
a b a × b
+ + +
+ - -
- + -
- - +
Table 1.1: Table of signs for multiplying two numbers.
a positive number always gives you a negative number, whereas multiplying
numbers which have the same sign always gives a positive number. For example,
2 × 3 = 6 and −2 × −3 = 6, but −2 × 3 = −6 and 2 × −3 = −6.
Adding numbers works slightly differently, have a look at Table 1.2. If you
a b a + b
+ + +
+ - ?
- + ?
- - -
Table 1.2: Table of signs for adding two numbers.
add two positive numbers you will always get a positive number, but if you add
two negative numbers you will always get a negative number. If the numbers
have different sign, then the sign of the answer depends on which one is bigger.
5
1.1.3 Brackets
In equation (1.3) we used brackets3 around −b. Brackets are used to show the
order in which you must do things. This is important as you can get different
answers depending on the order in which you do things. For example
(5 × 10) + 20 = 70 (1.4)
whereas
5 × (10 + 20) = 150 (1.5)
If you don’t see any brackets, you should always do multiplications and divisions
first and then additions and subtractions4
. You can always put your own
brackets into equations using this rule to make things easier for yourself, for
example:
a × b + c ÷ d = (a × b) + (c ÷ d) (1.6)
5 × 10 + 20 ÷ 4 = (5 × 10) + (20 ÷ 4)
1.1.4 Multiplying and Dividing
Just like addition and subtraction, multiplication and division are opposites of
each other. Multiplying by a number and then dividing by the same number
gets us back to the start again:
a × b ÷ b = a (1.7)
5 × 4 ÷ 4 = 5
Sometimes you will see a multiplication of letters without the × symbol,
don’t worry, its exactly the same thing. Mathematicians are lazy and like to
write things in the neatest way possible.
abc = a × b × c (1.8)
It is usually neater to write known numbers to the left, and letters to the
right. So although 4x and x4 are the same thing(NOTE: Advanced: This is
a property known as commutativity, which means ab = ba), it looks better to
write 4x.
If you see a multiplication outside a bracket like this
a(b + c) (1.9)
3(4 − 3)
then it means you have to multiply each part inside the bracket by the number
outside
a(b + c) = ab + ac (1.10)
3(4 − 3) = 3 × 4 − 3 × 3 = 12 − 9 = 3
3Sometimes people say “parenthesis” instead of “brackets”.
4Multiplying and dividing can be performed in any order as it doesn’t matter. Likewise it
doesn’t matter which order you do addition and subtraction. Just as long as you do any ×÷
before any +−.
6
unless you can simplify everything inside the bracket into a single term. In fact,
in the above example, it would have been smarter to have done this
3(4 − 3) = 3 × (1) = 3 (1.11)
It can happen with letters too
3(4a − 3a) = 3 × (a) = 3a (1.12)
If there are two brackets multiplied by each other, then you can do it one
step at a time
(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) (1.13)
= ac + ad + bc + bd
(a + 3)(4 + d) = a(4 + d) + 3(4 + d)
= 4a + ad + 12 + 3d
1.1.5 Rearranging Equations
Coming back to the example about change, which we wanted to solve earlier in
equation (1.1)
x + y = z
To recap your memory, z is the amount you (or a customer) payed for something,
y is the price and you want to find x, the change. What you need to do is
rearrange the equation so only x is on the left.
You can add, subtract, multiply or divide both sides of an equation by any
number you want, as long as you always do it to both sides. If you imagine an
equation is like a set of weighing scales. (NOTE: diagram here.) If you wish to
keep the scales balanced, then when you add something to one side, you must
also add something of the same weight to the other side.
So for our example we could subtract y from both sides
x + y = z (1.14)
= x + y − y = z − y
x = z − y
so now we can find the change is the amount payed take away the price. In
real life we can do this in our head, the human brain is
0/5000
Chương 1Số điện thoại(Lưu ý: thêm các ví dụ và các động lực cần. có lẽ thả chứng minh chosố mũ và surds?)Một số là một cách để đại diện cho số lượng. Các con số không phải là một cái gì đó màchúng tôi có thể liên lạc hoặc tổ chức, bởi vì họ không phải là vật lý. Nhưng bạn có thể chạm vào batáo, ba bút chì, ba cuốn sách. Bạn có thể không bao giờ chỉ cần chạm vào ba, bạn có thể chỉliên lạc ba của một cái gì đó. Tuy nhiên, bạn không cần phải nhìn thấy ba táo ở phía trướccủa bạn biết rằng nếu bạn có một táo đi, mà sẽ có hai táotrái. Bạn chỉ có thể suy nghĩ về nó. Đó là bộ não của bạn đại diện cho những quả táo trongsố và sau đó thực hiện số học trên chúng.Một số đại diện cho số lượng bởi vì chúng tôi có thể nhìn vào thế giới xung quanh chúng tavà định lượng nó bằng cách sử dụng số điện thoại. Bao nhiêu phút nữa? Cây số bao nhiêu?Bao nhiêu táo? Bao nhiêu tiền? Y học bao nhiêu? Đây là tất cảcâu hỏi mà chỉ có thể được trả lời bằng cách sử dụng số điện thoại cho chúng tôi biết "bao nhiêu" củamột cái gì đó chúng tôi muốn đo lường.Một số có thể được viết nhiều cách khác nhau và nó luôn luôn tốt nhất để lựa chọncách thích hợp nhất của văn bản số. Ví dụ, số "mộtmột nửa"có thể được nói aloud hoặc viết bằng chữ, nhưng điều đó làm cho toán họcrất khó khăn và cũng có nghĩa là rằng chỉ những người nói cùng một ngôn ngữ nhưbạn có thể hiểu những gì bạn có ý nghĩa. Một cách tốt hơn để viết "một nửa" là như là mộtPhần 12hoặc như một số thập phân là 0,5. Nó vẫn là cùng một số, không có vấn đềđó là cách bạn viết nó.Tại trường trung học, tất cả những con số mà bạn sẽ xem được gọi là thực sự numbers(NOTE:Nâng cao: Tên "số thực" được sử dụng bởi vì cósố điện thoại khác nhau và phức tạp hơn được gọi là "số ảo", màcuốn sách này sẽ không đi vào. Kể từ khi chúng tôi sẽ không thể nhìn vào con số đó không phải làthực sự, nếu bạn thấy một số bạn có thể chắc chắn nó là một thực tế một.) và nhà toán họcsử dụng biểu tượng R để đứng cho các thiết lập của tất cả các số thực, mà chỉ có nghĩa là tất cảcủa các số thực. Một số các số thực có thể được viết bằng một cụ thểcách, nhưng những người khác không thể.Chương này sẽ giải thích cách khác nhau của văn bản bất kỳ số nào, và khimỗi cách viết số là tốt nhất.(Lưu ý: giới thiệu này cần thêm động lực cho các loại hình số,một số ví dụ thế giới thực và các sự kiện thú vị hơn. Cho phép tránh toàn bộHệ thống chữ số khác nhau mặc dù... có lẽ khi chúng tôi làm điều chỉnh sửa lịch sử gầnphát hành.)31.1 các chữ cái và số họcCác giáo trình yêu cầu:• đại số thao tác được quản lý bởi đại số thựcsố điện thoại• thao tác phương trình (sắp xếp lại cho y, mở rộng một khung bình phương)(Lưu ý: "đại số của các tập số thực". lý do tại sao thư là hữu ích... ví dụ rất đơn giản,như sự thay đổi từ một cửa hàng. chân đế, dấu ngoặc vuông, phân số, nhân đầuvà dưới cùng. sắp xếp lại. làm một cái gì đó để một bên và khác.)Khi bạn thêm, trừ, nhân hoặc chia hai con số, bạn đang thực hiệnarithmetic1. Các hoạt động cơ bản bốn (+, −, ×, ÷) có thể được thực hiện trên bất kỳhai số thực.Kể từ khi họ làm việc với bất kỳ số thực hai, nó sẽ mất mãi mãi để viết ramỗi sự kết hợp có thể, kể từ khi có một vô hạn (lưu ý: nâng cao: chúng tôithực sự cần để xác định những gì vô hạn có nghĩa là, độc đáo!) số tiền của các số thực! Đểlàm cho mọi việc dễ dàng hơn, nó là thuận tiện để sử dụng chữ cái để đứng cho bất kỳ number2,và sau đó chúng tôi có thể điền vào một số cụ thể, khi chúng ta cần phải. Ví dụ, cácphương trình saux + y = z (1.1)có thể tìm thấy thay đổi bạn được nợ để mua một mục. Trong phương trình này, xđại diện cho số tiền của bạn sẽ nhận được sự thay đổi, z là số tiền bạn payed vày là giá của mặt hàng đó. Tất cả bạn cần làm viết số tiền bạn payedthay vì z và giá thay vì y, thay đổi của bạn sau đó là x. Nhưng để có thểtìm thấy sự thay đổi của bạn, bạn sẽ cần phải sắp xếp lại phương trình cho x. Chúng tôi sẽ tìm ralàm thế nào để làm điều đó chỉ sau khi chúng tôi tìm hiểu một số chi tiết thêm về các nhà điều hành cơ bản.1.1.1 và trừBổ sung, trừ, nhân và chia là hoạt động cơ bản nhấtgiữa số nhưng họ rất chặt chẽ liên quan đến nhau. Bạn có thểHãy suy nghĩ của trừ là đối diện của thêm kể từ khi thêm một số vàsau đó trừ đi cùng một số sẽ không thay đổi những gì bạn bắt đầu với. ChoVí dụ, nếu chúng tôi bắt đầu với một và thêm b, sau đó trừ b, chúng tôi sẽ chỉ cần quay vềmột lần nữamột + b − b = một (1,2)5 + 2 − 2 = 5(Lưu ý: rework các bit vào phần số âm. nó cần nhiềusự chú ý hơn, chúng tôi ban đầu nghĩ rằng.) Trừ là thực sự giống như cách thêmmột số tiêu cực. Một số tiêu cực là một số ít hơn zero. Số điện thoạilớn hơn không được gọi là số dương. Trong ví dụ này, một và bsố dương, nhưng −b là một số âm− b = một + (−b) (1.3)5 − 3 = 5 + (−3)1Arithmetic là tiếng Hy Lạp có nghĩa là "số"2We sẽ xem xét điều này chi tiết hơn trong chương 3.4Nó không quan trọng mà đặt bạn viết bổ sung và subtractions(NOTE:Nâng cao: Đây là một tài sản được gọi là associativity, có nghĩa là một + b = b + một),nhưng có vẻ tốt hơn để viết subtractions ở bên phải. Bạn sẽ đồng ý rằng một b −trông neater hơn −b + một, và nó làm cho một số tiền dễ dàng hơn, ví dụ, hầu hếtmọi người tìm thấy 12 − 3 rất nhiều dễ dàng hơn để làm việc ra hơn −3 + 12, mặc dù họ làcùng một điều.1.1.2 số âmSố âm có thể rất khó hiểu để bắt đầu với, nhưng không có gìĐừng sợ. Khi bạn thêm một số tiêu cực, nó là tương tự nhưtrừ con số nếu nó đã được tích cực. Tương tự như vậy, nếu bạn trừ một tiêu cựcsố, nó là giống như cách thêm số nếu nó đã được tích cực. Các con số làhoặc là tích cực hay tiêu cực, và chúng tôi gọi đây là dấu hiệu của họ. Có một số tích cựcdấu hiệu tích cực, và một số tiêu cực có một dấu hiệu tiêu cực.(Lưu ý: số dòng đây. trừ di chuyển sang trái, thêm di chuyểnsang phải. có lẽ cái gì khác về số âm?)Bảng 1.1 cho thấy làm thế nào để tính toán các dấu hiệu của câu trả lời khi bạn nhânhai số với nhau. Cột đầu tiên cho thấy các dấu hiệu của một trong những con số,cột thứ hai cho các dấu hiệu của một số khác, và cột thứ bacho thấy những dấu hiệu câu trả lời sẽ. Như vậy nhân một số tiêu cực bởimột b một × b+ + ++ - -- + -- - +1.1 bảng: Bảng của các dấu hiệu cho nhân hai con số.một số dương luôn luôn cung cấp cho bạn một số tiêu cực, trong khi nhâncon số đó có những dấu hiệu cùng luôn luôn cung cấp cho một số tích cực. Ví dụ,2 × 3 = 6 và −2 × −3 = 6, nhưng −2 × 3 = −6 và 2 × −3 = −6.Thêm số điện thoại hoạt động hơi khác nhau, có một cái nhìn tại bảng 1.2. Nếu bạnmột b một + b+ + ++ - ?- + ?- - -1.2 bảng: Bảng của các dấu hiệu để thêm hai số điện thoại.thêm hai số tích cực bạn sẽ luôn nhận được một số, tích cực, nhưng nếu bạn thêmhai số âm bạn sẽ luôn luôn có được một số tiêu cực. Nếu những con sốcó dấu hiệu khác nhau, sau đó là dấu hiệu của câu trả lời phụ thuộc vào đó một là lớn hơn.51.1.3 khungTrong phương trình (1.3), chúng tôi sử dụng brackets3 xung quanh thành phố −b. Khung được sử dụng để hiển thị cácThứ tự mà trong đó bạn phải làm điều này. Điều này là quan trọng như bạn có thể khác nhaucâu trả lời tùy thuộc vào thứ tự mà bạn làm việc này. Ví dụ:(5 × 10) + 20 = 70 (1.4)trong khi5 × (10 + 20) = 150 (1.5)Nếu bạn không thấy bất kỳ khung, bạn nên luôn luôn làm multiplications và đơn vịđầu tiên và sau đó bổ sung và subtractions4. Bạn có thể luôn luôn đặt riêng của bạnkhung vào phương trình bằng cách sử dụng quy tắc này để làm cho mọi việc dễ dàng hơn cho chính mình, choVí dụ:một × b + c ÷ d = (một × b) + (c ÷ d) (1. 6)5 × 10 + 20 ÷ 4 = (5 × 10) + (20 ÷ 4)1.1.4 nhân và chiaGiống như bổ sung và trừ, nhân và bộ phận có được cặp củaVới nhau. Nhân bởi một số và sau đó chia cho số cùng mộtđược chúng tôi trở lại để bắt đầu một lần nữa:một × b ÷ b = một (1.7)5 × 4 ÷ 4 = 5Đôi khi bạn sẽ thấy một nhân thư mà không có biểu tượng x,Đừng lo lắng, nó chính xác những điều tương tự. Nhà toán học được lười biếng và muốnviết những điều trong những cách mới có thể.ABC = một × b × c (1. 8)Nó là thường neater để viết con số được biết đến ở bên trái, và thư cho cácphải. Vì vậy, mặc dù 4 x và x 4 là điều tương tự (lưu ý: nâng cao: đây làmột bất động sản được gọi là commutativity, có nghĩa là ab = ba), nó sẽ tốt hơn đểviết 4 x.Nếu bạn thấy một nhân bên ngoài một khung như thế nàymột (b + c) (1.9)3 (4 − 3)sau đó nó có nghĩa là bạn phải nhân từng phần bên trong khung cho sốbên ngoàimột (b + c) = ab + ac (1,10)3 (4 − 3) = 3 × 4 − 3 × 3 = 12 − 9 = 33Sometimes người nói "ngoặc đơn" thay vì "chân đế".4Multiplying và phân chia có thể được thực hiện trong bất kỳ thứ tự như nó không quan trọng. Tương tự như vậy nókhông vấn đề mà đặt bạn làm bổ sung và trừ. Chỉ cần miễn là bạn làm bất kỳ ÷ ×trước khi bất kỳ + −.6trừ khi bạn có thể đơn giản hóa tất cả mọi thứ bên trong khung thành một thuật ngữ duy nhất. Thực tếtrong ví dụ ở trên, nó sẽ có thông minh hơn đã làm điều này3 (4 − 3) = 3 × (1) = 3 (1.11)Nó có thể xảy ra với thư quá3 (4a − 3a) = 3 × (a) = 3a (1,12)Nếu có hai dấu ngoặc nhân với nhau, sau đó bạn có thể làm điều đó mộtbước tại một thời điểm(một + b).(c + d) = một (c + d) + b (c + d) (1,13)= ac + quảng cáo + TCN + bd(một + 3)(4 + d) = a(4 + d) + 3 (4 + d)= 4a + quảng cáo + 12 + 3d1.1.5 sắp xếp lại phương trìnhQuay lại ví dụ về sự thay đổi, chúng tôi muốn giải quyết trước đó trongphương trình (1.1)x + y = zĐể recap bộ nhớ của bạn, z là số tiền bạn (hoặc một khách hàng) payed cho một cái gì đó,y là giá cả và bạn muốn tìm x, sự thay đổi. Những gì bạn cần làm làsắp xếp lại phương trình như vậy chỉ x là bên trái.Bạn có thể thêm, trừ, nhân hoặc chia cả hai mặt của một phương trình cho bất kỳsố bạn muốn, miễn là bạn luôn luôn làm điều đó cho cả hai bên. Nếu bạn hãy tưởng tượng mộtphương trình cũng giống như một tập hợp các cân nặng quy mô. (Lưu ý: Sơ đồ ở đây.) Nếu bạn muốngiữ cân cân bằng, sau đó khi bạn thêm một cái gì đó sang một bên, bạn phảicũng có thêm một cái gì đó của cùng một trọng lượng để phía bên kia.Vì vậy, ví dụ của chúng tôi, chúng tôi có thể trừ y từ cả hai bênx + y = z (1,14)= x + y − y = z − yx = z − yVì vậy bây giờ chúng tôi có thể tìm thấy sự thay đổi là số tiền payed lấy đi giá. Ởcuộc sống thực chúng tôi có thể làm điều này trong đầu của chúng tôi, bộ não con người là
đang được dịch, vui lòng đợi..
Chương 1
số
(Chú ý:. ví dụ nhiều hơn và động lực cần thiết có lẽ thả những minh chứng cho
số mũ và surds?)
Một số là một cách để đại diện cho số lượng. Con số không phải một cái gì đó mà
chúng ta có thể cầm hay nắm, bởi vì họ không phải là vật chất. Nhưng bạn có thể chạm vào ba
quả táo, ba bút chì, ba cuốn sách. Bạn có thể không bao giờ chỉ cần chạm vào ba, bạn chỉ có thể
chạm ba của một cái gì đó. Tuy nhiên, bạn không cần phải nhìn thấy ba quả táo ở phía trước
của bạn để biết rằng nếu bạn có một quả táo đi, sẽ có hai quả táo
còn lại. Bạn chỉ có thể nghĩ về nó. Đó là bộ não của bạn đại diện cho những quả táo trong
các con số và sau đó thực hiện phép tính trên chúng.
Một số đại diện cho số lượng vì chúng ta có thể nhìn thế giới xung quanh chúng ta
và định lượng bằng cách sử dụng các con số. Có bao nhiêu phút? Bao nhiêu cây số?
Có bao nhiêu quả táo? Bao nhiêu tiền? Làm thế nào nhiều thuốc? Đây là tất cả
những câu hỏi mà chỉ có thể được trả lời bằng cách sử dụng số điện thoại để cho chúng tôi biết "bao nhiêu" của
một cái gì đó chúng ta muốn đo.
Một số có thể được viết bằng nhiều cách khác nhau và nó luôn luôn là tốt nhất để lựa chọn
cách thích hợp nhất của văn bản số. Ví dụ, số lượng "một
nửa "có thể được nói lớn tiếng hoặc viết bằng chữ, nhưng mà làm cho toán học
rất khó khăn và cũng có nghĩa là chỉ có những người nói cùng một ngôn ngữ như
bạn có thể hiểu những gì bạn có ý nghĩa. Một cách tốt hơn của văn bản "một nửa" là như là một
phần nhỏ 1
2
hay như một số thập phân 0,5. Nó vẫn là con số tương tự, không có vấn đề
. cách mà bạn viết nó
Ở trường trung học, tất cả những con số mà bạn sẽ thấy được gọi là số thực (Chú ý:
Chi Tiết: Tên "số thực" được sử dụng bởi vì có những
khác nhau và phức tạp hơn số được gọi là "số ảo", mà
cuốn sách này sẽ không đi vào. Vì chúng ta sẽ không thể nhìn vào con số đó là không
thực tế, nếu bạn nhìn thấy một số bạn có thể chắc chắn đó là một thực tế.) và các nhà toán học
sử dụng ký hiệu R đứng trong sự thiết lập tất cả các số thực, mà chỉ đơn giản có nghĩa là tất cả
các số thực. Một số trong những con số thực tế có thể được viết trong một cụ thể
bằng cách nào, nhưng những người khác có thể không.
Chương này sẽ giải thích cách khác nhau của văn bản bất kỳ số nào, và khi
mỗi cách viết số là tốt nhất.
(Chú ý: giới thiệu này cần thêm động lực cho các loại khác nhau số,
. một số ví dụ thực tế và sự kiện thú vị hơn Cho phép tránh được toàn bộ
hệ thống chữ số khác nhau mặc dù ... có lẽ khi chúng ta làm việc chỉnh sửa lịch sử gần
phát hành).
3
1.1 Letters và số học
Chương trình học đòi hỏi:
• thao tác đại số được điều chỉnh bởi đại số của các thực
số
• thao tác phương trình (sắp xếp lại cho y, mở rộng một khung hình vuông)
(Chú ý:. "đại số của số thực" tại sao chữ rất hữu ích ... ví dụ rất đơn giản,
. như biến đổi từ một cửa hàng có dấu ngoặc, dấu ngoặc vuông, phân số, nhân trên
và dưới. sắp xếp lại. làm một cái gì đó sang một bên và bên kia.)
Khi bạn cộng, trừ, nhân hoặc chia hai số, bạn đang thực hiện
arithmetic1
. Bốn hoạt động cơ bản (+, -, ×, ÷) có thể được thực hiện trên bất kỳ
hai số thực.
Vì họ làm việc cho bất kỳ hai số thực, nó sẽ mãi mãi để viết ra
mọi sự kết hợp có thể, kể từ khi có một vô hạn (Chú ý: nâng cao: chúng tôi
thực sự cần phải xác định những phương tiện vô hạn, độc đáo) số tiền của số thực! Để
làm cho mọi việc dễ dàng hơn, nó là thuận tiện để sử dụng chữ cái đứng cho bất kỳ number2
,
và sau đó chúng ta có thể điền vào một số đặc biệt khi chúng ta cần đến. Ví dụ, các
phương trình sau
x + y = z (1.1)
có thể tìm thấy những thay đổi mà bạn đang nợ để mua một món hàng. Trong phương trình này, x
đại diện cho số lượng thay đổi bạn sẽ nhận được, z là số tiền bạn payed và
y là giá của mặt hàng đó. Tất cả bạn cần làm là viết số tiền bạn payed
thay vì z và giá thay vì y, thay đổi của bạn sau đó x. Nhưng để có thể
thấy sự thay đổi của bạn, bạn sẽ cần phải sắp xếp lại các phương trình cho x. Chúng tôi sẽ tìm hiểu
làm thế nào để làm điều đó chỉ sau khi chúng tôi tìm hiểu một số thông tin chi tiết hơn về các nhà khai thác cơ bản.
1.1.1 Thêm và bớt
thêm, trừ, nhân và chia là những hoạt động cơ bản nhất
giữa các con số, nhưng họ có liên quan rất chặt chẽ với nhau . Bạn có thể
nghĩ ra trừ khi là ngược lại của việc thêm từ khi bổ sung một số và
sau đó trừ đi cùng một số sẽ không thay đổi những gì bạn bắt đầu với. Ví
dụ, nếu chúng ta bắt đầu với một và thêm b, sau đó trừ đi b, chúng ta sẽ chỉ trở lại
một lần nữa
a + b - b = a (1.2)
5 + 2-2 = 5
(Chú ý: làm lại các bit vào Negative số phần. nó cần nhiều hơn
sự chú ý hơn so với ban đầu chúng tôi nghĩ.) Phép trừ là thực sự giống như thêm
một số âm. Một số âm là một số nhỏ hơn không. Số
lớn hơn không được gọi là các số dương. Trong ví dụ này, a và b là
các số dương, nhưng -b là một số âm
a - b = a + (-b) (1,3)
5-3 = 5 + (-3)
1Arithmetic là tiếng Hy Lạp cho "số"
2We sẽ xem xét chi tiết hơn trong chương 3.
4
Nó không quan trọng mà đặt bạn viết thêm vào và bớt (Chú ý:
Advanced: Đây là một tài sản được gọi là associativity, có nghĩa là a + b = b + a),
nhưng nó trông tốt hơn để viết bớt bên phải. Bạn sẽ đồng ý rằng a - b
trông gọn gàng hơn -b + một, và nó làm cho một số tiền dễ dàng hơn, ví dụ, hầu hết
mọi người tìm thấy 12 - 3 dễ dàng hơn rất nhiều để làm việc ra hơn -3 + 12, mặc dù họ là
những điều tương tự .
1.1.2 số âm
số âm có thể rất khó hiểu để bắt đầu, nhưng không có gì là
đáng sợ cả. Khi bạn đang bổ sung thêm một số tiêu cực, nó cũng giống như
trừ đi con số đó nếu nó là tích cực. Tương tự như vậy, nếu bạn trừ một âm
số, nó cũng giống như việc thêm số nếu nó là tích cực. Con số này là
tích cực hay tiêu cực, và chúng tôi gọi đây là dấu hiệu của họ. Một số dương có
dấu hiệu tích cực, và một số âm có dấu hiệu tiêu cực.
(Chú ý: dòng số ở đây trừ được di chuyển sang trái, cách thêm được di chuyển.
bên phải có cái gì khác về các số âm.?)
Bảng 1.1 trình bày như thế nào để tính toán các dấu hiệu của các câu trả lời khi bạn nhân
hai số với nhau. Cột đầu tiên cho thấy các dấu hiệu của một trong những con số,
cột thứ hai cho các dấu hiệu của các số khác, và cột thứ ba
cho thấy những gì ký vào câu trả lời sẽ được. Vì vậy, nhân một số âm bằng
một ba × b
+ + +
+ - -
- + -
- - +
Bảng 1.1: Bảng các dấu hiệu cho nhân hai con số.
một số tích cực luôn luôn cung cấp cho bạn một số tiêu cực, trong khi nhân
số có cùng dấu hiệu luôn mang đến cho một số dương. Ví dụ,
2 x 3 = 6 và -2 × -3 = 6, nhưng -2 x 3 = -6 và 2 × -3 = -6.
Thêm số hoạt động hơi khác nhau, có một cái nhìn tại Bảng 1.2. Nếu bạn
là một ba + b
+ + +
+ -
- +?
- - -
Bảng 1.2. Bảng các dấu hiệu cho thêm hai số
cộng hai số tích cực, bạn sẽ luôn có được một số dương, nhưng nếu bạn thêm
hai con số tiêu cực bạn sẽ luôn luôn có được một số âm. Nếu những con số
có dấu hiệu khác nhau, sau đó là dấu hiệu của các câu trả lời phụ thuộc vào cái nào là lớn hơn.
5
1.1.3 Chân đế
Trong phương trình (1.3), chúng tôi sử dụng brackets3 quanh -b. Chân đế được sử dụng để hiển thị các
thứ tự mà bạn phải làm những gì. Điều này là rất quan trọng khi bạn có thể nhận được khác nhau
câu trả lời phụ thuộc vào thứ tự mà bạn làm việc. Ví dụ
(5 × 10) + 20 = 70 (1.4)
trong khi
5 × (10 + 20) = 150 (1.5)
Nếu bạn không nhìn thấy bất kỳ dấu ngoặc đơn, bạn nên luôn luôn làm các phép nhân và chia rẽ
đầu tiên và sau đó bổ sung và subtractions4
. Bạn luôn có thể đặt riêng của bạn
bằng cách sử dụng dấu ngoặc vào phương trình quy tắc này để làm cho mọi việc dễ dàng hơn cho chính mình, cho
ví dụ:
một × b + c ÷ d = (a × b) + (c ÷ d) (1,6)
5 × 10 + 20 ÷ 4 = (5 × 10) + (20 ÷ 4)
1.1.4 nhân và chia
Cũng giống như phép cộng và phép trừ, nhân và chia là đối lập của
nhau. Nhân với một số và sau đó chia cho cùng một số
được chúng tôi trở lại bắt đầu một lần nữa:
một × b ÷ b = a (1,7)
5 × 4 ÷ 4 = 5
Đôi khi bạn sẽ thấy một phép nhân của các chữ cái mà không có biểu tượng ×,
don 't lo lắng, chính xác những điều tương tự của nó. Toán học là lười biếng và muốn
viết những điều trong cách thú vị nhất có thể.
abc = a × b × c (1.8)
Nó thường là gọn gàng để viết các con số được biết đến bên trái, và lá thư gửi cho
đúng. Vì vậy, mặc dù 4x và x4 là những điều tương tự (Chú ý: Advanced: Đây là
một tài sản được gọi là giao hoán, có nghĩa là ab = ba), nó có vẻ tốt hơn để
viết 4x.
Nếu bạn nhìn thấy một nhân bên ngoài một khung như thế này
a (b + c) (1.9)
3 (4-3)
sau đó nó có nghĩa là bạn phải nhân mỗi phần bên trong khung bằng của số
bên ngoài
a (b + c) = ab + ac (1.10)
3 (4-3) = 3 × 4 - 3 x 3 = 12-9 = 3
3Sometimes người ta nói "ngoặc" thay vì "khung".
4Multiplying và phân chia có thể được thực hiện theo thứ tự nào là nó không quan trọng. Tương tự như vậy nó
không quan trọng mà để bạn làm cộng và trừ. Chỉ miễn là bạn làm bất cứ × ÷
trước khi bất kỳ + -.
6
, trừ khi bạn có thể đơn giản hóa mọi thứ bên trong khung thành cụm từ duy nhất. Trong thực tế,
trong ví dụ trên, nó đã có thông minh hơn để làm điều này đã
3 (4-3) = 3 x (1) = 3 (1.11)
có thể xảy ra với các chữ cái quá
3 (4a - 3a) = 3 x ( a) = 3a (1.12)
Nếu có hai dấu ngoặc đơn nhân với nhau, sau đó bạn có thể làm điều đó một
bước tại một thời điểm
(a + b) (c + d) = a (c + d) + b (c + d ) (1,13)
= ac + quảng cáo + bc + bd
(a + 3) (4 + d) = a (4 + d) + 3 (4 + d)
= 4a + quảng cáo + 12 + 3d
1.1.5 Sắp xếp lại phương trình
Coming Quay lại ví dụ về sự thay đổi, mà chúng tôi muốn giải quyết trước đó trong
phương trình (1.1)
x + y = z
Để tóm tắt lại bộ nhớ của bạn, z là số tiền bạn (hoặc khách hàng) payed cho một cái gì đó,
y là giá cả và bạn muốn tìm x, sự thay đổi. Những gì bạn cần làm là
sắp xếp lại các phương trình như vậy chỉ có x là bên trái.
Bạn có thể cộng, trừ, nhân hoặc chia cả hai vế của một phương trình bằng bất kỳ
số nào bạn muốn, miễn là bạn luôn làm điều đó với cả hai bên. Nếu bạn tưởng tượng một
phương trình là giống như một bộ cân nặng. (Chú ý:. Sơ đồ ở đây) Nếu bạn muốn
giữ cho cân cân bằng, sau đó khi bạn thêm một cái gì đó sang một bên, bạn phải
thêm cái gì cũng có cùng trọng lượng về phía bên kia.
Vì vậy, ví dụ, chúng ta có thể trừ y từ cả hai bên
x + y = z (1,14)
= x + y - y = z - y
x = z - y
như vậy bây giờ chúng ta có thể thấy sự thay đổi là số tiền payed Take Away giá. Trong
cuộc sống thực, chúng tôi có thể làm điều này trong đầu của chúng tôi, bộ não con người
số
(Chú ý:. ví dụ nhiều hơn và động lực cần thiết có lẽ thả những minh chứng cho
số mũ và surds?)
Một số là một cách để đại diện cho số lượng. Con số không phải một cái gì đó mà
chúng ta có thể cầm hay nắm, bởi vì họ không phải là vật chất. Nhưng bạn có thể chạm vào ba
quả táo, ba bút chì, ba cuốn sách. Bạn có thể không bao giờ chỉ cần chạm vào ba, bạn chỉ có thể
chạm ba của một cái gì đó. Tuy nhiên, bạn không cần phải nhìn thấy ba quả táo ở phía trước
của bạn để biết rằng nếu bạn có một quả táo đi, sẽ có hai quả táo
còn lại. Bạn chỉ có thể nghĩ về nó. Đó là bộ não của bạn đại diện cho những quả táo trong
các con số và sau đó thực hiện phép tính trên chúng.
Một số đại diện cho số lượng vì chúng ta có thể nhìn thế giới xung quanh chúng ta
và định lượng bằng cách sử dụng các con số. Có bao nhiêu phút? Bao nhiêu cây số?
Có bao nhiêu quả táo? Bao nhiêu tiền? Làm thế nào nhiều thuốc? Đây là tất cả
những câu hỏi mà chỉ có thể được trả lời bằng cách sử dụng số điện thoại để cho chúng tôi biết "bao nhiêu" của
một cái gì đó chúng ta muốn đo.
Một số có thể được viết bằng nhiều cách khác nhau và nó luôn luôn là tốt nhất để lựa chọn
cách thích hợp nhất của văn bản số. Ví dụ, số lượng "một
nửa "có thể được nói lớn tiếng hoặc viết bằng chữ, nhưng mà làm cho toán học
rất khó khăn và cũng có nghĩa là chỉ có những người nói cùng một ngôn ngữ như
bạn có thể hiểu những gì bạn có ý nghĩa. Một cách tốt hơn của văn bản "một nửa" là như là một
phần nhỏ 1
2
hay như một số thập phân 0,5. Nó vẫn là con số tương tự, không có vấn đề
. cách mà bạn viết nó
Ở trường trung học, tất cả những con số mà bạn sẽ thấy được gọi là số thực (Chú ý:
Chi Tiết: Tên "số thực" được sử dụng bởi vì có những
khác nhau và phức tạp hơn số được gọi là "số ảo", mà
cuốn sách này sẽ không đi vào. Vì chúng ta sẽ không thể nhìn vào con số đó là không
thực tế, nếu bạn nhìn thấy một số bạn có thể chắc chắn đó là một thực tế.) và các nhà toán học
sử dụng ký hiệu R đứng trong sự thiết lập tất cả các số thực, mà chỉ đơn giản có nghĩa là tất cả
các số thực. Một số trong những con số thực tế có thể được viết trong một cụ thể
bằng cách nào, nhưng những người khác có thể không.
Chương này sẽ giải thích cách khác nhau của văn bản bất kỳ số nào, và khi
mỗi cách viết số là tốt nhất.
(Chú ý: giới thiệu này cần thêm động lực cho các loại khác nhau số,
. một số ví dụ thực tế và sự kiện thú vị hơn Cho phép tránh được toàn bộ
hệ thống chữ số khác nhau mặc dù ... có lẽ khi chúng ta làm việc chỉnh sửa lịch sử gần
phát hành).
3
1.1 Letters và số học
Chương trình học đòi hỏi:
• thao tác đại số được điều chỉnh bởi đại số của các thực
số
• thao tác phương trình (sắp xếp lại cho y, mở rộng một khung hình vuông)
(Chú ý:. "đại số của số thực" tại sao chữ rất hữu ích ... ví dụ rất đơn giản,
. như biến đổi từ một cửa hàng có dấu ngoặc, dấu ngoặc vuông, phân số, nhân trên
và dưới. sắp xếp lại. làm một cái gì đó sang một bên và bên kia.)
Khi bạn cộng, trừ, nhân hoặc chia hai số, bạn đang thực hiện
arithmetic1
. Bốn hoạt động cơ bản (+, -, ×, ÷) có thể được thực hiện trên bất kỳ
hai số thực.
Vì họ làm việc cho bất kỳ hai số thực, nó sẽ mãi mãi để viết ra
mọi sự kết hợp có thể, kể từ khi có một vô hạn (Chú ý: nâng cao: chúng tôi
thực sự cần phải xác định những phương tiện vô hạn, độc đáo) số tiền của số thực! Để
làm cho mọi việc dễ dàng hơn, nó là thuận tiện để sử dụng chữ cái đứng cho bất kỳ number2
,
và sau đó chúng ta có thể điền vào một số đặc biệt khi chúng ta cần đến. Ví dụ, các
phương trình sau
x + y = z (1.1)
có thể tìm thấy những thay đổi mà bạn đang nợ để mua một món hàng. Trong phương trình này, x
đại diện cho số lượng thay đổi bạn sẽ nhận được, z là số tiền bạn payed và
y là giá của mặt hàng đó. Tất cả bạn cần làm là viết số tiền bạn payed
thay vì z và giá thay vì y, thay đổi của bạn sau đó x. Nhưng để có thể
thấy sự thay đổi của bạn, bạn sẽ cần phải sắp xếp lại các phương trình cho x. Chúng tôi sẽ tìm hiểu
làm thế nào để làm điều đó chỉ sau khi chúng tôi tìm hiểu một số thông tin chi tiết hơn về các nhà khai thác cơ bản.
1.1.1 Thêm và bớt
thêm, trừ, nhân và chia là những hoạt động cơ bản nhất
giữa các con số, nhưng họ có liên quan rất chặt chẽ với nhau . Bạn có thể
nghĩ ra trừ khi là ngược lại của việc thêm từ khi bổ sung một số và
sau đó trừ đi cùng một số sẽ không thay đổi những gì bạn bắt đầu với. Ví
dụ, nếu chúng ta bắt đầu với một và thêm b, sau đó trừ đi b, chúng ta sẽ chỉ trở lại
một lần nữa
a + b - b = a (1.2)
5 + 2-2 = 5
(Chú ý: làm lại các bit vào Negative số phần. nó cần nhiều hơn
sự chú ý hơn so với ban đầu chúng tôi nghĩ.) Phép trừ là thực sự giống như thêm
một số âm. Một số âm là một số nhỏ hơn không. Số
lớn hơn không được gọi là các số dương. Trong ví dụ này, a và b là
các số dương, nhưng -b là một số âm
a - b = a + (-b) (1,3)
5-3 = 5 + (-3)
1Arithmetic là tiếng Hy Lạp cho "số"
2We sẽ xem xét chi tiết hơn trong chương 3.
4
Nó không quan trọng mà đặt bạn viết thêm vào và bớt (Chú ý:
Advanced: Đây là một tài sản được gọi là associativity, có nghĩa là a + b = b + a),
nhưng nó trông tốt hơn để viết bớt bên phải. Bạn sẽ đồng ý rằng a - b
trông gọn gàng hơn -b + một, và nó làm cho một số tiền dễ dàng hơn, ví dụ, hầu hết
mọi người tìm thấy 12 - 3 dễ dàng hơn rất nhiều để làm việc ra hơn -3 + 12, mặc dù họ là
những điều tương tự .
1.1.2 số âm
số âm có thể rất khó hiểu để bắt đầu, nhưng không có gì là
đáng sợ cả. Khi bạn đang bổ sung thêm một số tiêu cực, nó cũng giống như
trừ đi con số đó nếu nó là tích cực. Tương tự như vậy, nếu bạn trừ một âm
số, nó cũng giống như việc thêm số nếu nó là tích cực. Con số này là
tích cực hay tiêu cực, và chúng tôi gọi đây là dấu hiệu của họ. Một số dương có
dấu hiệu tích cực, và một số âm có dấu hiệu tiêu cực.
(Chú ý: dòng số ở đây trừ được di chuyển sang trái, cách thêm được di chuyển.
bên phải có cái gì khác về các số âm.?)
Bảng 1.1 trình bày như thế nào để tính toán các dấu hiệu của các câu trả lời khi bạn nhân
hai số với nhau. Cột đầu tiên cho thấy các dấu hiệu của một trong những con số,
cột thứ hai cho các dấu hiệu của các số khác, và cột thứ ba
cho thấy những gì ký vào câu trả lời sẽ được. Vì vậy, nhân một số âm bằng
một ba × b
+ + +
+ - -
- + -
- - +
Bảng 1.1: Bảng các dấu hiệu cho nhân hai con số.
một số tích cực luôn luôn cung cấp cho bạn một số tiêu cực, trong khi nhân
số có cùng dấu hiệu luôn mang đến cho một số dương. Ví dụ,
2 x 3 = 6 và -2 × -3 = 6, nhưng -2 x 3 = -6 và 2 × -3 = -6.
Thêm số hoạt động hơi khác nhau, có một cái nhìn tại Bảng 1.2. Nếu bạn
là một ba + b
+ + +
+ -
- +?
- - -
Bảng 1.2. Bảng các dấu hiệu cho thêm hai số
cộng hai số tích cực, bạn sẽ luôn có được một số dương, nhưng nếu bạn thêm
hai con số tiêu cực bạn sẽ luôn luôn có được một số âm. Nếu những con số
có dấu hiệu khác nhau, sau đó là dấu hiệu của các câu trả lời phụ thuộc vào cái nào là lớn hơn.
5
1.1.3 Chân đế
Trong phương trình (1.3), chúng tôi sử dụng brackets3 quanh -b. Chân đế được sử dụng để hiển thị các
thứ tự mà bạn phải làm những gì. Điều này là rất quan trọng khi bạn có thể nhận được khác nhau
câu trả lời phụ thuộc vào thứ tự mà bạn làm việc. Ví dụ
(5 × 10) + 20 = 70 (1.4)
trong khi
5 × (10 + 20) = 150 (1.5)
Nếu bạn không nhìn thấy bất kỳ dấu ngoặc đơn, bạn nên luôn luôn làm các phép nhân và chia rẽ
đầu tiên và sau đó bổ sung và subtractions4
. Bạn luôn có thể đặt riêng của bạn
bằng cách sử dụng dấu ngoặc vào phương trình quy tắc này để làm cho mọi việc dễ dàng hơn cho chính mình, cho
ví dụ:
một × b + c ÷ d = (a × b) + (c ÷ d) (1,6)
5 × 10 + 20 ÷ 4 = (5 × 10) + (20 ÷ 4)
1.1.4 nhân và chia
Cũng giống như phép cộng và phép trừ, nhân và chia là đối lập của
nhau. Nhân với một số và sau đó chia cho cùng một số
được chúng tôi trở lại bắt đầu một lần nữa:
một × b ÷ b = a (1,7)
5 × 4 ÷ 4 = 5
Đôi khi bạn sẽ thấy một phép nhân của các chữ cái mà không có biểu tượng ×,
don 't lo lắng, chính xác những điều tương tự của nó. Toán học là lười biếng và muốn
viết những điều trong cách thú vị nhất có thể.
abc = a × b × c (1.8)
Nó thường là gọn gàng để viết các con số được biết đến bên trái, và lá thư gửi cho
đúng. Vì vậy, mặc dù 4x và x4 là những điều tương tự (Chú ý: Advanced: Đây là
một tài sản được gọi là giao hoán, có nghĩa là ab = ba), nó có vẻ tốt hơn để
viết 4x.
Nếu bạn nhìn thấy một nhân bên ngoài một khung như thế này
a (b + c) (1.9)
3 (4-3)
sau đó nó có nghĩa là bạn phải nhân mỗi phần bên trong khung bằng của số
bên ngoài
a (b + c) = ab + ac (1.10)
3 (4-3) = 3 × 4 - 3 x 3 = 12-9 = 3
3Sometimes người ta nói "ngoặc" thay vì "khung".
4Multiplying và phân chia có thể được thực hiện theo thứ tự nào là nó không quan trọng. Tương tự như vậy nó
không quan trọng mà để bạn làm cộng và trừ. Chỉ miễn là bạn làm bất cứ × ÷
trước khi bất kỳ + -.
6
, trừ khi bạn có thể đơn giản hóa mọi thứ bên trong khung thành cụm từ duy nhất. Trong thực tế,
trong ví dụ trên, nó đã có thông minh hơn để làm điều này đã
3 (4-3) = 3 x (1) = 3 (1.11)
có thể xảy ra với các chữ cái quá
3 (4a - 3a) = 3 x ( a) = 3a (1.12)
Nếu có hai dấu ngoặc đơn nhân với nhau, sau đó bạn có thể làm điều đó một
bước tại một thời điểm
(a + b) (c + d) = a (c + d) + b (c + d ) (1,13)
= ac + quảng cáo + bc + bd
(a + 3) (4 + d) = a (4 + d) + 3 (4 + d)
= 4a + quảng cáo + 12 + 3d
1.1.5 Sắp xếp lại phương trình
Coming Quay lại ví dụ về sự thay đổi, mà chúng tôi muốn giải quyết trước đó trong
phương trình (1.1)
x + y = z
Để tóm tắt lại bộ nhớ của bạn, z là số tiền bạn (hoặc khách hàng) payed cho một cái gì đó,
y là giá cả và bạn muốn tìm x, sự thay đổi. Những gì bạn cần làm là
sắp xếp lại các phương trình như vậy chỉ có x là bên trái.
Bạn có thể cộng, trừ, nhân hoặc chia cả hai vế của một phương trình bằng bất kỳ
số nào bạn muốn, miễn là bạn luôn làm điều đó với cả hai bên. Nếu bạn tưởng tượng một
phương trình là giống như một bộ cân nặng. (Chú ý:. Sơ đồ ở đây) Nếu bạn muốn
giữ cho cân cân bằng, sau đó khi bạn thêm một cái gì đó sang một bên, bạn phải
thêm cái gì cũng có cùng trọng lượng về phía bên kia.
Vì vậy, ví dụ, chúng ta có thể trừ y từ cả hai bên
x + y = z (1,14)
= x + y - y = z - y
x = z - y
như vậy bây giờ chúng ta có thể thấy sự thay đổi là số tiền payed Take Away giá. Trong
cuộc sống thực, chúng tôi có thể làm điều này trong đầu của chúng tôi, bộ não con người
đang được dịch, vui lòng đợi..
Các ngôn ngữ khác
Hỗ trợ công cụ dịch thuật: Albania, Amharic, Anh, Armenia, Azerbaijan, Ba Lan, Ba Tư, Bantu, Basque, Belarus, Bengal, Bosnia, Bulgaria, Bồ Đào Nha, Catalan, Cebuano, Chichewa, Corsi, Creole (Haiti), Croatia, Do Thái, Estonia, Filipino, Frisia, Gael Scotland, Galicia, George, Gujarat, Hausa, Hawaii, Hindi, Hmong, Hungary, Hy Lạp, Hà Lan, Hà Lan (Nam Phi), Hàn, Iceland, Igbo, Ireland, Java, Kannada, Kazakh, Khmer, Kinyarwanda, Klingon, Kurd, Kyrgyz, Latinh, Latvia, Litva, Luxembourg, Lào, Macedonia, Malagasy, Malayalam, Malta, Maori, Marathi, Myanmar, Mã Lai, Mông Cổ, Na Uy, Nepal, Nga, Nhật, Odia (Oriya), Pashto, Pháp, Phát hiện ngôn ngữ, Phần Lan, Punjab, Quốc tế ngữ, Rumani, Samoa, Serbia, Sesotho, Shona, Sindhi, Sinhala, Slovak, Slovenia, Somali, Sunda, Swahili, Séc, Tajik, Tamil, Tatar, Telugu, Thái, Thổ Nhĩ Kỳ, Thụy Điển, Tiếng Indonesia, Tiếng Ý, Trung, Trung (Phồn thể), Turkmen, Tây Ban Nha, Ukraina, Urdu, Uyghur, Uzbek, Việt, Xứ Wales, Yiddish, Yoruba, Zulu, Đan Mạch, Đức, Ả Rập, dịch ngôn ngữ.
- i have just seen this film
- đó là
- particularly firm
- ĐÓNG
- When you look at the molecular formula f
- mỗi người đều chọn cho mình công việc mà
- the worst
- Evil
- ・ 気軽に手を出しやすい1回分パックの商品を対象にする
- just
- particularly firm in supporting industri
- 키트 제품
- DẠY DỖ
- năm 2013 xuất siêu 9 triệu USD và 10 thá
- wider
- โต
- buổi tối, chúng tôi ăn tại 1 nhà hàng ph
- THÙNG
- Your Link is to short or field is empty.
- 배럴
- We can educate others to see these gen
- Bởi vẫn còn tồn tại một số yếu kém trong
- Bên cạnh những thành tựu kể trên, nước t
- 제품배럴
