VECTOR AND TENSOR ANALYSISwith simi

VECTOR AND TENSOR ANALYSIS
with similar expressions for r A
u
and r A
u
. Adding these together,
2
2
3
3
we get rÂA in orthogonal curvilinear coordinates:
!
!
u
@
u
@
rÂA
À@
A
h
A
h
À@
A
h
A
h
1
2
3
3
2
2
1
1
3
3
h
h
@u
@u
h
h
@u
@u
2
3
2
3
3
1
3
1
!
u
@
3
À@
A
h
A
h
: 1:64
2
2
1
1
h
h
@u
@u
1
2
1
2
This can be written in determinant form:
_
_
_
_
h
u
h
u
h
u
_
_
1
1
2
2
3
3
_
_
_
_
@
@
@
_
_
rÂA 1
: 1:65
_
_
@u
@u
@u
h
h
h
_
_
1
2
3
1
2
3
_
_
_
_
A
h
A
h
A
h
1
1
2
2
3
3
We now express the Laplacian in orthogonal curvilinear coordinates. From
Eqs. (1.58) and (1.6 2) we have
@_
@_
@_
r_ grad _ 1
u
1
u 1
u
;
1
3
h
@u
h
@u
h
@u
1
1
2
2
3
3
!
@
rÁA div A 1
h
h
A
@
h
h
A
@
h
h
A
:
2
3
1
3
1
2
1
2
3
h
h
h
@u
@u
@u
1
2
3
1
2
3
If A r_, then A
1=h
@_=@u
, i 1, 2, 3; and
i
i
i
rÁA rÁr_ r
_
2
__
__
__
!
@
h
h
@_
h
h
@_
h
h
@_
2
3
3
1
1
2
1
@
@
: 1:66
h
h
h
@u
h
@u
@u
h
@u
@u
h
@u
1
2
3
1
1
1
2
2
2
3
3
3
Special orthogonal coordinate systems
There are at least nine special orthogonal coordinates systems, the most common
and useful ones are the cylindrical and spherical coordinates; we introduce these
two coordinates in this section.
Cylindrical coordinates _; _; z
u
_; u
_; u
zY and
u
e
;
u
e
u
e
:
1
2
3
1
_
2
_
3
z
From Fig. 1.17 we see that
x
_cos _; x
_ sin _; x
z
1
2
3
32

SPECIAL ORTHOGONAL COORDINATE SYSTEMS
Figure 1.17. Cylindrical coordinates.
where
_ ! 0; 0 _ 2_; ÀI < z < I:
The square of the element of arc length is given by
2
2
2
ds
h
d_
h
d _
h
dz
:
2
2
2
2
1
2
3
To ®nd the scale factors h
, we notice that ds
dr Á d r where
2
i
r _ cos _e
_sin _e
ze
:
1
2
3
Thus
ds
d r Á dr d _
_
d _
dz
:
2
2
2
2
2
2
Equating the two ds
, we ®nd the scale factors:
h
h
1; h
h
_; h
h
1: 1:67
1
_
2
_
3
z
From Eqs. (1.58), (1.62), (1.64), and (1.66) we ®nd the gradient, divergence, curl,
and Laplacian in cylindrical coordinates:
@È
rÈ @È
1
@È
; 1:68
_
_
z
@_ e
_
@_ e
@z e
where È È _; _; z is a scalar function;
!
@
_
rÁA 1
@A
Y 1:69
_
z
_
@_ _A
@_ @
@z _A
33

VECTOR AND TENSOR ANALYSIS
where
A A
e
A
e
A
e
Y
_
_
_
_
z
z
_
_
_
_
e
_e
e
_
_
_
_
z
_
_
_
_
@
@
@
_
_
rÂA 1
Y 1:70
_
_
@_
@_
@z
_
_
_
_
_
_
A
_A
A
_
_
_
z
and
__
@
@
È
È
2
2
2
r
È 1
1
@
: 1:71
_
@_ _ @È
@_
_
@_
@z
2
2
2
Spherical coordinates r;_;_
u
r; u
_; u
_Y
u
e
;
u
e
;
u
e
1
2
3
1
r
2
_
3
_
From Fig. 1.18 we see that
x
r sin _ cos _; x
r sin _ sin _; x
r cos _:
1
2
3
Now
2
2
2
ds
h
dr
h
d _
h
d _
2
2
2
2
1
2
3
but
r r sin _ cos _
e
r sin _ sin _
e
r cos _
e
;
1
2
3
Figure 1.18. Spherical coordinates.
34

VECTOR INTEGRATION AND INTEGRAL THEOREMS
so
ds
d r Á dr dr
r
d _
r
sin
_ d _
:
2
2
2
2
2
2
2
2
Equating the two ds
, we ®nd the scale factors: h
h
1, h
h
r,
1
r
2
_
h
h
r sin _. We then ®nd, from Eqs. (1.58), (1.62), (1.64), and (1.66), the
3
_
gradient, divergence, curl, and the Laplacian in spherical coordinates:
@È
1
@È
1
@È
rÈ
e
e
e
@r
r
@_
r sin _
@_ Y 1:72
r
_
_
!
_
rÁA 1
A
r @
r @A
Y 1:73
2
r
_
r
sin _ sin _ @
@r r
@_ sin _A
@_
2
_
_
_
_
e
r
e
r sin _
e
_
_
r
_
_
_
_
_
@
@
@
_
_
_
rÂA 1
Y 1:74
_
_
@r
@_
@_
r
sin _
2
_
_
_
_
_
_
A
rA
r sin _A
r
r
_
45
__
__
@È
@
È
2
2
2
r
È 1
@
1
: 1:75
r
sin _ sin _ @
@r r
@r
@_ sin _ @È
@_
sin _
@_
2
2
Vector integration and integral theorems
Having discussed vector di erentiation, we now turn to a discussion of vector
integration. After de®ning the concepts of line, surface, and volume integrals of
vector ®elds, we then proceed to the important integral theorems of Gauss,
Stokes, and Green.
The integration of a vector, which is a function of a single scalar u, can proceed
as ordinary scalar integration. Given a vector
A u A
u
e
A
u
e
A
u
e
;
1
1
2
2
3
3
then




A u du
e
A
u du
e
A
u du
e
A
u du B;
1
1
2
2
3
3
where B is a constant of integration, a constant vector. Now consider the integral
of the scalar product of a vector A x
; x
; x
) and dr between the limit
1
2
3
P
x
; x
; x
) and P
x
; x
; x
:
1
1
2
3
2
1
2
3
35

VECTOR AND TENSOR ANALYSIS


P
P
2
2
A Á dr
A
e
A
e
A
e
Á dx
e
dx
e
dx
e
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
P
P
1
1


P
P
2
2
A
x
; x
; x
dx
A
x
; x
; x
dx
1
1
2
3
1
2
1
2
3
2
P
P
1
1

P
2
A
x
; x
; x
dx
:
3
1
2
3
3
P
1
Each integral on the right hand side requires for its execution more than a knowl-
edge of the limits. In fact, the three integrals on the right hand side are not
completely de®ned because in the ®rst integral, for example, we do not the
know value of x
and x
in A
:
2
3
1

P
2
I
A
x
; x
; x
dx
: 1:76
1
1
1
2
3
1
P
1
What is needed is a statement such as
x
f x
; x
g x
1:77
2
1
3
1
that speci®es x
, x
for each value of x
. The integrand now reduces to
2
3
1
A
x
; x
; x
A
x
; f x
; g x
B
x
so that the integral I
becomes
1
1
2
3
1
1
1
1
1
1
1
well de®ned. But its value depends on the constraints in Eq. (1.77). The con-
straints specify paths on the x
x
and x
x
planes connecting the starting point
1
2
3
1
P
to the end point P
. The x
integration in (1.76) is carried out along these
1
2
1
paths. It is a path-dependent integral and is called a line integ ral (or a path
integral). It is very helpful to keep in mind that: when the number of integration
variables is less than the number of variables in the integrand, the integral is not yet
completely de®ned and it is path-dep endent. However, if the scalar product A Á dr is
equal to an exact di erential, A Á d r d ' r' Á d r, the integration depends only
upon the limits and is therefore path-independent:


P
P
2
2
A Á d r
d ' '
À '
:
2
1
P
P
1
1
A vector ®eld A which has above (path-independent) property is termed conser-
vative. It is clear that the line integral above is zero along any close path, and the
curl of a conservative vector ®eld is zero r  A r r' 0 . A typical
example of a conservative vector ®eld in mechanics is a conservative force.
The surface integral of a vector function A x
; x
; x
over the surface S is an
1
2
3
important quantity; it is de®ned to be

A Á da;
S
36

VECTOR INTEGRATION AND INTEGRAL THEOREMS
Figure 1.19. Surface integral over a surface S.
where the surface integral symbol
stands for a double integral over a certain
s
surface S, and da is an element of area of the surface (Fig. 1.19), a vector quantity.
We attribute to d a a magnitude da and also a direction corresponding the normal,
n, to the surface at the point in question, thus
d a
nda:
The normal
n to a surface may be taken to lie in either of two possible directions.
But if da is part of a closed surface, the sign of
n relative to da is so chosen that it
points outward away from the interior. In rectangular coordinates we may write
d a
e
da
e
da
e
da
e
dx
dx
e
dx
dx
e
dx
dx
:
1
1
2
2
3
3
1
2
3
2
3
1
3
1
2
If a surface integral is to be evaluated over a closed surface S, the integral is
written as
s
A Á da:
S
Note that this is di erent from a closed-path line integral. When the path of
integration is closed, the line integral is write it as
s
A Á ds;
À
where À speci®es the closed path, and d s is an element of length along the given
path. By convention, ds is taken positive along the direction in which the path is
traversed. Here we are only considering simple closed curves. A simple closed
curve does not intersect itself anywhere.
Gauss' theorem (the divergence theorem)
This theorem relates the surface integral of a given vector function and the volume
integral of the divergence of that vector. It was introduced by Joseph Louis
Lagrange and was ®rst used in the modern sense by George Green. Gauss'
37

VECTOR AND TENSOR ANALYSIS
name is associated with this theorem because of his extensive work on general
problems of double and triple integrals.
If a continuous, di erentiable vector ®eld A is de®ned in a simply connected
region of volume V bounded by a closed surface S, then the theorem states that

s
rÁAdV
A Á da; 1:78
V
S
where dV dx
dx
dx
. A simple connected region V has the property that every
1
2
3
simple closed curve within it can be continuously shrunk to a point without
leaving the region. To prove this, we ®rst write


3
@A
rÁAdV
dV;
i
@x
V
V
i
i 1
then integrate the right hand side with respect to x
while keeping x
x
constant,
1
2
3
thus summing up the contribution from a rod of cross section dx
dx
(Fig. 1.20).
2
3
The rod intersects the surface S at the points P and Q and thus de®nes two
elements of area d a
and da
:
P
Q

s

s

@A
@A
Q
Q
1
1
dV
dx
dx
dx
dx
dx
dA
;
@x
@x
2
3
1
2
3
1
V
1
S
P
1
S
P
where we have used the relation dA
@A
=@x
dx
along the rod. The last
1
1
1
1
integration on the right hand side can be performed at once and we have

s
@A
1
dV
A
Q ÀA
P dx
dx
;
1
1
2
3
@x
V
1
S
where A
Q denotes the value of A
evaluated at the coordinates of the point Q,
1
1
and similarly for A
P .
1
The component of the surface element d a which lies in the x
-direction is
1
da
dx
dx
at the point Q, and da
Àdx
dx
at the point P. The minus sign
1
2
3
1
2
3
Figure 1.20. A square tube of cross section dx
dx
.
2
3
38

VECTOR INTEGRATION AND INTEGRAL THEOREMS
arises since the x
component of da at P is in the direction of negative x
.Wecan
1
1
now rewrite the above integral as



@A
dV
A
Q da
A
P da
;
1
1
1
1
1
@x
V
1
S
S
Q
P
where S
denotes that portion of the surface for which the x
component of the
Q
1
outward normal to the surface element da
is in the positive x
-direction, and S
1
1
P
denotes that portion of the surface for which da
is in the negative direction. The
1
two surface integrals then combine to yield the surface integral over the entire
surface S (if the surface is suciently concave, there may be several such as right
hand a nd left hand portions of the surfaces):

s
@A
1
dV
A
da
:
1
1
@x
V
1
S
Similarly we can evaluate the x
and x
components. Summing all these together,
2
3
we have Gauss' theorem:

s

s
@A
i
dV
A
da
or
rÁAdV
A Á d a:
@x
i
i
i
V
S
V
S
i
i
We have proved Gauss' theorem for a simply connected region (a volume
bounded by a single surface), but we can extend the proof to a multiply connected
region (a region bounded

Kết quả (Việt) 1:

PHÂN TÍCH VECTOR VÀ TENSORvới các biểu hiện tương tự cho r Auvà r Au. Thêm chúng với nhau,2233chúng tôi nhận được rÂA trong hệ tọa độ curvilinear trực giao:!!u@u@rÂAÀ @AhAhÀ @AhAh1233221133hh@u@uhh@u@u23233131!u@3À @AhAh: 1: 642211hh@u@u1212Điều này có thể được viết bằng hình thức quyết định:____huhuhu__112233____@@@__rÂA 1: 1:65__@u@u@uhhh__123123____AhAhAh112233Chúng tôi bây giờ nhận Laplace trong hệ tọa độ curvilinear trực giao. TừEQS. (1,58) và (1.6 2) chúng tôi có@_@_@_r_ grad _ 1u1u 1u;13h@uh@uh@u112233!@rÁA div A 1hhA@hhA@hhA:231312123hhh@u@u@u123123Nếu một r_, sau đó một1 = h@_=@u, tôi 1, 2, 3; vàtôitôitôirÁA rÁr_ r_2______!@hh@_hh@_hh@_2331121@@: 1:66hhh@uh@u@uh@u@uh@u123111222333Đặc biệt các hệ toạ độ trực giaoCó rất ít nhất chín đặc biệt tọa độ trực giao hệ thống, phổ biến nhấtvà hữu ích những cái là các tọa độ hình cầu và hình trụ; chúng tôi giới thiệu nhữnghai tọa độ trong phần này.Hệ tọa độ trụ _; _; zu_; u_; uzY vàue;ueue:1231_2_3zTừ hình 1,17 chúng ta thấy rằngx_cos _; xtội lỗi _ _; xz12332 ĐẶC BIỆT CÁC HỆ TOẠ ĐỘ TRỰC GIAOCon số 1,17. Hệ tọa độ trụ.nơi_ ! 0; 0 _ 2_; ÀI < z < I:Bình phương của các yếu tố của hồ quang chiều dài được cho bởi222DShd_hd _hDZ:2222123Để ® nd quy mô yếu tố h, chúng tôi nhận thấy rằng dstiến sĩ Á d r nơi2tôir _ cos _e_sin _eze:123Do đóDSd r Á dr d __d _DZ:222222Equating ds hai, chúng tôi ® nd yếu tố quy mô:hh1; hh_; hh1: 1:671_2_3zTừ Eqs. (1,58), (1,62), (1.64), và (1,66) chúng tôi ® nd gradient, phân kỳ, curl,và Laplace trong hệ tọa độ trụ:@ÈrÈ @È1@È; 1:68__z@_ e_@_ e@z enơi È È _; _; z là một chức năng vô hướng;!@_rÁA 1@AY 1:69_z_@_ _A@_ @@z _A33 PHÂN TÍCH VECTOR VÀ TENSORnơiAeAeAeY____zz____e_Ee____z____@@@__rÂA 1Y 1:70__@_@_@z______A_AA___zvà__@@ÈÈ222rÈ 11@: 1:71_@_ _ @È@__@_@z222Tọa độ cầu r; _ _ur; u_; u_Yue;ue;ue1231r2_3_Từ hình 1,18 chúng ta thấy rằngxr sin _ cos _; xtội lỗi r sin _ _; xr cos _:123Bây giờ222DShtiến sĩhd _hd _2222123Nhưngr r sin _ cos _etội lỗi r sin _ _er cos _e;123Con số 1,18. Tọa độ cầu.34 ĐỊNH LÝ VECTOR HỘI NHẬP VÀ TÍCH PHÂNdo đó,DSd r Á dr drrd _rtội lỗi_ d _:22222222Equating ds hai, chúng tôi ® nd yếu tố quy mô: hh1, hhr,1r2_hhr sin _. Chúng tôi sau đó ® nd, từ Eqs. (1,58), (1,62), (1.64), và (1,66), các3_gradient, phân kỳ, curl và Laplace trong hệ tọa độ cầu:@È1@È1@ÈrÈeee@rr@_r sin _@_ Y 1:72r__!_rÁA 1Ar @r @AY 1:732r_rtội lỗi tội lỗi _ _ @@r r@_ tội lỗi _A@_2____erer sin _e__r_____@@@___rÂA 1Y 1:74__@r@_@_rtội lỗi _2______ArAr sin _Arr_45____@È@È222rÈ 1@1: 1:75rtội lỗi tội lỗi _ _ @@r r@r@_ tội lỗi _ @È@_tội lỗi _@_22Định lý tích hợp và tích phân trong VectorCó thảo luận vector di erentiation, chúng tôi bây giờ chuyển sang một cuộc thảo luận của vectơhội nhập. Sau khi de ® ning những khái niệm về tích phân đường, bề mặt và khối lượng củavector ® elds, chúng ta sau đó tiến hành để định lý quan trọng không thể thiếu của Gauss,Stokes, và màu xanh lá cây.Sự hội nhập của một véc tơ, mà là một chức năng của một u vô hướng duy nhất, có thể tiến hànhKhi hội nhập vô hướng bình thường. Đưa ra một vectorMột u AueAueAue;112233sau đ󐐐Một u dueAu dueAu dueAu du B;112233đó B là một hằng số của hội nhập, một vector liên tục. Bây giờ hãy xem xét tích phânsản phẩm vô hướng của vectơ x một; x; x) và tiến sĩ giữa giới hạn123Px; x; x) và Px; x; x:1123212335 PHÂN TÍCH VECTOR VÀ TENSORPP22Tiến sĩ ÁAeAeAeÁ dxeDXeDXe112233112233PP11PP22Ax; x; xDXAx; x; xDX1123121232PP11P2Ax; x; xDX:31233P1Mỗi tách rời bên tay phải yêu cầu để thực hiện nhiều hơn một knowl-cạnh của các giới hạn. Trong thực tế, tích phân ba bên tay phải khônghoàn toàn de ® ned bởi vì trong các ® rst tích phân, ví dụ, chúng tôi không nhữngbiết giá trị của xvà xở A:231P2TôiAx; x; xDX: 1:76111231P1Những gì cần thiết là một tuyên bố chẳng hạn nhưxf x; xg x1:772131đó speci ® es x, xĐối với mỗi giá trị của x. Integrand bây giờ làm giảm đến231Ax; x; xAx; f x; g xBxđể tách rời tôitrở thành11231111111cũng de ® ned. Nhưng giá trị của nó phụ thuộc vào các khó khăn trong Eq. (1,77). Con-straints chỉ định đường dẫn vào xxvà xxmáy bay kết nối điểm khởi đầu1231Pđến khi kết thúc P. Xhội nhập (1.76) được thực hiện dọc theo những121đường dẫn. Nó là một tích phân đường dẫn phụ thuộc và được gọi là một dòng integ ral (hoặc một con đườngtích phân). Nó là rất hữu ích để giữ trong tâm trí rằng: khi số lượng hội nhậpbiến là ít hơn số lượng các biến trong integrand, tích phân là không được nêu rahoàn toàn de ® ned và nó là con đường-dep endent. Tuy nhiên, nếu vô sản phẩm A Á drtương đương với một chính xác di erential, A Á d r d 'r' Á d r, hội nhập phụ thuộc chỉKhi các giới hạn và do đó là con đường độc lập:PP22Một r d Ád ' 'À ':21PP11Một vector ® eld một đó có trên bất động sản (đường dẫn độc lập) được gọi là conser -vative. Nó là rõ ràng rằng tích phân trên đường là zero dọc theo bất kỳ đường dẫn chặt chẽ, và cácCurl của vectơ bảo thủ ® eld là không r  A r r' 0. Một điển hìnhVí dụ về một vector bảo thủ ® eld trong cơ học là một lực lượng bảo thủ.Tích phân bề mặt của một vector hoạt động một x; x; xtrên bề mặt S là một123số lượng quan trọng; nó là de ® ned phảiMột da Á;S36 ĐỊNH LÝ VECTOR HỘI NHẬP VÀ TÍCH PHÂNCon số 1.19. Bề mặt không thể thiếu trong một S. bề mặtnơi biểu tượng không thể tách rời bề mặtlà viết tắt của một tích phân kép trên một sốsbề mặt S, và da là một yếu tố của các khu vực của bề mặt (hình 1.19), một số lượng véc tơ.Chúng tôi cho rằng d một da độ lớn và cũng là một hướng tương ứng bình thường,n, bề mặt tại điểm trong câu hỏi, do đód mộtNDA:Bình thườngn để một bề mặt có thể được thực hiện để nằm ở một trong hai có thể hướng.Nhưng nếu da là một phần của một bề mặt đóng cửa, các dấu hiệu củan liên quan đến da như vậy chọn nóđiểm ra nước ngoài từ bên trong. Trong hệ tọa độ hình chữ nhật, chúng tôi có thể viếtd mộtedaedaedaeDXDXeDXDXeDXDX:112233123231312Nếu một bề mặt không thể tách rời được đánh giá trên một bề mặt đóng S, tích phân làviết làsMột Á da:SLưu ý rằng điều này là di tiểu từ một tích phân đường dẫn đóng cửa đường. Khi con đườnghội nhập đóng cửa, tích phân đường viết nó như làsÁ ds;Ànơi À speci ® es đóng cửa đường dẫn, và d s là một phần tử của chiều dài dọc theo các nhất địnhđường dẫn. Theo quy ước, ds thực hiện tích cực theo hướng mà đường làđi qua. Ở đây chúng tôi chỉ xem xét đơn giản đóng đường cong. Một đơn giản đóng cửađường cong không giao nhau chính nó bất cứ nơi nào.Định lý Gauss' (định lý phân kỳ)Định lý này liên quan tích phân bề mặt của một chức năng nhất định véc tơ và khối lượngtích phân của phân kỳ của véc tơ mà. Nó đã được giới thiệu bởi Joseph LouisLagrange và là ® rst được sử dụng trong ý nghĩa hiện đại của George Green. Gauss'37 PHÂN TÍCH VECTOR VÀ TENSORtên là liên kết với định lý này vì tác phẩm rộng rãi trên tổngvấn đề của tích phân đôi và ba.Nếu một liên tục, di erentiable vector ® eld A là de ® ned trong một kết nối đơnvùng của khối lượng V giáp S bề mặt đóng, sau đó định lý phát biểu rằngsrÁAdVMột da Á; 1:78VSnơi dV dxDXDX. Một khu vực kết nối đơn giản V có tính chất mà mỗi123đơn giản đóng đường cong bên trong nó có thể được liên tục thu nhỏ đến một điểm mà không cầnrời khỏi khu vực. Để chứng minh điều này, chúng tôi ® rst viết3@ArÁAdVdV;tôi@xVVtôitôi 1sau đó tích hợp bên đối với xtrong khi giữ xxhằng số,123do đó tổng kết sự đóng góp từ một cây gậy của cắt ngang dxDX(Hình 1,20).23Thanh cắt mặt S tại các điểm P và Q và vì vậy de ® nes haiCác yếu tố của khu vực d mộtvà da:PQss@A@AQQ11dVDXDXDXDXDXdA;@x@x231231V1SP1SPmà chúng tôi đã sử dụng quan hệ dA@A=@xDXdọc theo thanh. Cuối cùng1111hội nhập bên tay phải có thể được thực hiện cùng một lúc và chúng tôi cós@A1dVAQ ÀAP dxDX;1123@xV1Snơi AQ là bắt giá trị của Ađánh giá tại tọa độ của Q điểm,11và tương tự như vậy cho mộtP.1Các thành phần của các yếu tố bề mặt d một mà nằm trong x-hướng1daDXDXtại điểm Q, và daÀdxDXtại trang điểm Dấu trừ123123Con số 1,20. Một ống vuông của cắt ngang dxDX.2338 ĐỊNH LÝ VECTOR HỘI NHẬP VÀ TÍCH PHÂNphát sinh từ xthành phần của da tại P là theo hướng tiêu cực x.Wecan11bây giờ viết lại tích phân trên như@AdVAQ daAP da;11111@xV1SSQPnơi Sbiểu thị rằng phần của bề mặt mà xthành phần của cácQ1ra ngoài bình thường để da yếu tố bề mặtở x tích cực-chỉ đạo, và S11Pđó là phần của bề mặt cho da mà là bắtlà theo hướng tiêu cực. Các1tích phân với bề mặt hai sau đó kết hợp để mang lại tích phân mặt trên toàn bộbề mặt S (nếu bề mặt là su ciently lõm, có thể có một số như vậy là ngaytay nd một phần trái tay của các bề mặt):s@A1dVAda:11@xV1STương tự như vậy chúng tôi có thể đánh giá xvà xCác thành phần. Tổng hợp tất cả các với nhau,23chúng ta có định lý Gauss':ss@AtôidVAdahoặcrÁAdVMột Á a: d@xtôitôitôiVSVStôitôiChúng tôi đã chứng minh định lý Gauss' cho một khu vực kết nối đơn (một khối lượngbao bọc bởi một bề mặt duy nhất), nhưng chúng tôi có thể mở rộng bằng chứng để nhân kết nốikhu vực (một khu vực bao quanh

Kết quả (Việt) 2:

VECTOR VÀ PHÂN TÍCH tensor
với các biểu thức tương tự cho RA A
u
và Ra Một
u
. Thêm này lại với nhau,
2
2
3
3
chúng tôi nhận được RAA trong cong trực giao phối:
!
!
u
@
u
@
RAA
À @
A
h
A
h
À @
A
h
A
h
1
2
3
3
2
2
1
1
3
3
h
h
u
@ u
h
h
u
u
2
3
2
3
3
1
3
1
!
u
@
3
@ À
A
h
A
h
: 1:64
2
2
1
1
h
h
u
u
1
2
1
2
Điều này có thể được viết ở dạng yếu tố quyết định :
_
_
_
_
h
u
h
u
h
u
_
_
1
1
2
2
3
3
_
_
_
_
@
@
@
_
_
RAA 1
: 1:65
_
_
u
u
u
h
h
h
_
_
1
2
3
1
2
3
_
_
_
_
A
h
A
h
A
h
1
1
2
2
3
3
Bây giờ chúng ta bày tỏ sự Laplacian trong tọa độ cong trực giao. Từ
phương trình. (1,58) và (1,6 2), chúng tôi có
_
_
_
r_ grad _ 1
u
1
u 1
u
;
1
3
h
u
h
u
h
u
1
1
2
2
3
3
!
@
RAA div A 1
h
h
A
@
h
h
A
@
h
h
A
:
2
3
1
3
1
2
1
2
3
h
h
h
u
u
u
1
2
3
1
2
3
Nếu A r_, sau đó A
1 = h
@ _ @ = u
, i 1, 2, 3; và
i
i
i
RAA rÁr_ r
_
2
__
__
__
!
@
h
h
_
h
h
_
h
h
_
2
3
3
1
1
2
1
@
@
: 1:66
h
h
h
u
h
u
u
h
u
u
h
u
1
2
3
1
1
1
2
2
2
3
3
3
hệ thống trực giao đặc biệt phối hợp
có ít nhất chín trực giao đặc biệt phối hợp hệ thống, phổ biến nhất
những người thân và hữu ích là những hình trụ và hình cầu tọa độ; chúng tôi giới thiệu những
hai tọa độ trong phần này.
Hình trụ phối _; _; z
u
_; u
_; u
zY và
u
e
;
u
đ
u
e
:
1
2
3
1
_
2
_
3
z
Từ hình. 1,17, chúng ta thấy rằng
x
_cos _; x
_ _ tội lỗi; x
z
1
2
3
32 ĐẶC BIỆT trực giao phối hợp hệ thống Hình 1.17. Tọa độ hình trụ. nơi _! 0; 0 _ 2_; AI <z <I: Các hình vuông của các yếu tố chiều dài hồ quang được đưa ra bởi 2 2 2 ds h D_ h d _ h dz : 2 2 2 2 1 2 3 Để ®nd các yếu tố quy mô h , chúng tôi nhận thấy rằng ds dr Á dr nơi 2 i r _ cos _e _sin _e ze : 1 2 3 Như vậy ds dr Á dr d _ _ _ d dz : 2 2 2 2 2 2 tương đương hai ds , chúng tôi ®nd các yếu tố quy mô: h h 1; h h _; h h 1: 1:67 1 _ 2 _ 3 z Từ phương trình. (1,58), (1.62), (1.64) và (1,66), chúng tôi ®nd gradient, phân kỳ, curl, và Laplacian trong trụ phối: @ È È Re @ 1 @ È ; 1:68 _ _ z _ e _ _ e ze nơi È È _; _; z là một chức năng vô hướng; ! @ _ RAA 1 A Y 1:69 _ z _ _ _A _ @ z _A 33 VECTOR VÀ PHÂN TÍCH tensor nơi AA e A e A e Y _ _ _ _ z z _ _ _ _ e _e e _ _ _ _ z _ _ _ _ @ @ @ _ _ RAA 1 Y 1:70 _ _ _ _ z _ _ _ _ _ _ A _A A _ _ _ z và __ @ @ È È 2 2 2 r È 1 1 @ : 1:71 _ _ @_ È _ _ _ z 2 2 2 tọa độ cầu r; _; _ u r; u _; u _y u e ; u e ; u e 1 2 3 1 r 2 _ 3 _ Từ hình. 1.18 chúng ta thấy rằng x r sin cos _ _; x r tội lỗi tội lỗi _ _; x cos r _: 1 2 3 Bây giờ 2 2 2 ds h dr h d _ h d _ 2 2 2 2 1 2 3 nhưng rr sin cos _ _ e r tội lỗi tội lỗi _ _ e r cos _ e ; 1 2 3 Hình 1,18. . Tọa độ cầu 34 VECTOR HỘI NHẬP VÀ lý INTEGRAL để ds dr Á dr dr r d _ r sin _ _ d : 2 2 2 2 2 2 2 2 tương đương hai ds , chúng tôi ®nd các yếu tố quy mô: h h 1, h h r, 1 r 2 _ h h r sin _. Sau đó chúng tôi ®nd, từ phương trình. (1,58), (1.62), (1.64) và (1,66), các 3 _ gradient, phân kỳ, curl, và Laplacian trong tọa độ cầu: @ È 1 @ È 1 @ È Re e e e r r _ r sin _ _ Y 1:72 r _ _ ! _ RAA 1 A r @ rA Y 1:73 2 r _ r _ tội lỗi tội lỗi _ @ rr _ tội _A _ 2 _ _ _ _ e r e r sin _ e _ _ r _ _ _ _ _ @ @ @ _ _ _ RAA 1 Y 1:74 _ _ r _ _ r sin _ 2 _ _ _ _ _ _ A RA r sin _A r r _ 45 __ __ @ È @ È 2 2 2 r È 1 @ 1 : 1:75 r tội lỗi tội lỗi _ _ @ rr r _ tội lỗi _ @ È _ tội lỗi _ _ 2 2 Vector hội nhập và thiếu lý Có thảo luận vector di erentiation, bây giờ chúng ta chuyển sang một cuộc thảo luận về vector hội nhập. Sau de®ning các khái niệm về dòng, bề mặt, và tích phân lượng ®elds vector, chúng tôi tiến tới định lý quan trọng không thể thiếu của Gauss, Stokes, và Green. Sự tích hợp của một véc tơ, mà là một chức năng của một vô hướng đơn u , có thể tiến hành như tích hợp vô hướng thông thường. Cho một vector A u A u e A u e A u e ; 1 1 2 2 3 3 rồi ?? ?? ?? ?? A u du e A u du e A u du e A u du B; 1 1 2 2 3 3 trong đó B là một hằng số của hội nhập, một vector không đổi. Bây giờ xem xét việc tách rời của sản phẩm vô hướng của một vector A x ; x ; x ) và dr giữa giới hạn 1 2 3 P x ; x ; x ) và P x ; x ; x : 1 1 2 3 2 1 2 3 35 VECTOR VÀ PHÂN TÍCH tensor ?? ?? P P 2 2 A Á dr A e A e A e Á dx e dx e dx e 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 P P 1 1 ?? ?? P P 2 2 A x ; x ; x dx A x ; x ; x dx 1 1 2 3 1 2 1 2 3 2 P P 1 1 ?? P 2 A x ; x ; x dx : 3 1 2 3 3 P 1 Mỗi tách rời ở phía bên tay phải đòi hỏi để thực hiện nó hơn một kiến thức cạnh của các giới hạn. Trong thực tế, ba tích ở phía bên tay phải không hoàn toàn de®ned vì trong tích ®rst, ví dụ, chúng ta không phải là giá trị bí của x và x trong A : 2 3 1 ?? P 2 I A x ; x ; x dx : 1:76 1 1 1 2 3 1 P 1 Điều cần thiết là một tuyên bố như x fx ; x gx 1:77 2 1 3 1 mà speci®es x , x cho mỗi giá trị của x . Các tích phân nay giảm tới 2 3 1 A x ; x ; x A x ; fx ; gx B x để tôi thiếu trở thành 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 cũng de®ned. Nhưng giá trị của nó phụ thuộc vào những hạn chế trong phương trình. (1,77). Các con- straints định các đường dẫn trên x x và x x máy bay kết nối các điểm khởi đầu 1 2 3 1 P đến điểm cuối P . Các x hội nhập (1,76) được tiến hành theo các 1 2 1 lối đi. Nó là một con đường phụ thuộc vào tách rời và được gọi là một dòng integ thiên (hay một con đường không thể thiếu). Nó rất hữu ích để giữ trong tâm trí rằng: khi số lượng hội nhập biến là ít hơn so với số lượng các biến trong tích phân, tích phân chưa hoàn toàn de®ned và nó là con đường-dep endent. Tuy nhiên, nếu các sản phẩm vô hướng A Á dr là tương đương với một di erential chính xác, A Á DRD 'r' Á dr, sự tích hợp chỉ phụ thuộc vào các giới hạn và do đó là con đường độc lập: ?? ?? P P 2 2 A Á dr d '' À ' : 2 1 P P 1 1 A vector ®eld A conser- trong đó có trên tài sản (con đường độc lập) được gọi là vative. Rõ ràng là không thể thiếu trên các dòng là số không, dọc theo con đường gần, và curl của một vector ®eld bảo thủ là không r  a ra r '0. Một điển hình ví dụ về một ®eld vector bảo thủ trong cơ học là một lực lượng bảo thủ. Các bề mặt không thể thiếu của một hàm vector A x ; x ; x trên bề mặt S là một 1 2 3 lượng quan trọng; nó được de®ned được ?? A da Á; S 36 VECTOR HỘI NHẬP VÀ lý INTEGRAL Hình 1.19. Bề mặt không thể thiếu trên một bề mặt S. nơi bề mặt biểu tượng không thể thiếu là viết tắt của một tích gấp đôi so với một số s bề mặt S, và da là một phần tử của diện tích bề mặt (Hình. 1.19), một số lượng véc tơ. Chúng tôi thuộc tính để daa độ da và cũng là một hướng tương ứng bình thường, n, để bề mặt ở các điểm trong câu hỏi, do đó da nda: Các bình thường n cho một bề mặt có thể được đưa đến nằm ở một trong hai hướng có thể. Nhưng nếu da là một phần của một mặt kín , dấu hiệu của n liên quan đến da như vậy là lựa chọn mà nó chỉ ra phía ngoài đi từ bên trong. Trong tọa độ hình chữ nhật, chúng tôi có thể viết da e da e da e da e dx dx e dx dx e dx dx : 1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 Nếu một tích bề mặt là được đánh giá qua một mặt kín S, tích phân được viết như là A da Á: S Lưu ý rằng đây là di erent từ một dây chuyền khép kín con đường không thể thiếu. Khi con đường hội nhập được đóng lại, dòng không thể thiếu là viết nó như là một ds Á; À mà À speci®es con đường khép kín, và ds là một yếu tố của chiều dài dọc theo cho con đường. Theo quy ước, ds được lấy tích cực theo hướng mà trong đó các con đường được đi qua. Ở đây chúng ta chỉ xem xét những đường cong khép kín đơn giản. Một kín đơn giản đường cong không cắt bất cứ nơi nào mình. Định lý Gauss '(định lý divergence) Định lý này liên quan tích bề mặt của một hàm vector cho trước và khối lượng không thể thiếu của sự phân kỳ của vector đó. Nó được giới thiệu bởi Joseph Louis Lagrange và được ®rst dùng trong ý nghĩa hiện đại của George Green. Gauss ' 37 VECTOR VÀ PHÂN TÍCH tensor tên gắn liền với định lý này vì công việc rộng lớn của mình vào chung vấn đề về tích phân đôi và gấp ba lần. Nếu một liên tục, di erentiable vector ®eld A được de®ned trong một kết nối đơn giản khu vực của khối V giáp bởi một bề mặt S khép kín, sau đó định lý nói rằng ?? s rÁAdV A Á da; 1:78 V S nơi dV dx dx dx . Một đơn giản kết nối khu vực V có các tài sản mà mỗi 1 2 3 đơn giản đường cong khép kín bên trong nó có thể được liên tục bị thu hẹp đến một điểm mà không cần rời khỏi khu vực. Để chứng minh điều này, chúng tôi ®rst viết ?? ?? 3 A rÁAdV dV; i x V V i i 1 sau đó tích hợp phía bên tay phải đối với x trong khi vẫn giữ x x liên tục, 1 2 3 do đó tổng hợp các đóng góp từ một thanh chéo phần dx dx . (. Hình 1.20) 2 3 Các que cắt bề mặt S tại điểm P và Q và do đó de®nes hai yếu tố diện tích da và da : P Q ?? s ?? s ? ? A A Q Q 1 1 dV dx dx dx dx dx dA ; x x 2 3 1 2 3 1 V 1 S P 1 S P , nơi chúng tôi đã sử dụng các mối quan hệ dA A = @ x dx dọc theo que . The last 1 1 1 1 tích hợp ở phía bên tay phải có thể được thực hiện cùng một lúc và chúng tôi có ?? s A 1 dV A Q AA P dx dx ; 1 1 2 3 x V 1 S đó A Q biểu thị giá trị của Một đánh giá ở các tọa độ của điểm Q, 1 1 và tương tự cho A P. 1 Các thành phần của phần tử bề mặt da mà nằm trong x -direction là 1 da dx dx tại điểm Q, và da ADX dx tại điểm P. Các dấu trừ 1 2 3 1 2 3 Hình 1.20. Một ống vuông của mặt cắt ngang dx dx . 2 3 38 VECTOR HỘI NHẬP VÀ lý INTEGRAL phát sinh kể từ khi x thành phần của da tại P là theo hướng tiêu cực x .Wecan 1 1 giờ viết lại không thể thiếu trên như ?? ?? ?? @ Một dV A Q da A P da ; 1 1 1 1 1 x V 1 S S Q P trong đó S biểu thị rằng phần của bề mặt mà x thành phần của Q 1 bề ngoài bình thường đến các yếu tố bề mặt da là trong tích cực x -direction, và S 1 1 P biểu thị rằng phần của bề mặt da mà là theo hướng tiêu cực. Các 1 hai tích bề mặt sau đó kết hợp để mang lại bề mặt tích phân trên toàn bộ bề mặt S (nếu bề mặt lõm su ?? ciently, có thể có nhiều như quyền tay một thứ phần tay trái của bề mặt): ?? s @ A 1 dV A da : 1 1 x V 1 S Tương tự như vậy chúng ta có thể đánh giá x và x thành phần. Tổng hợp tất cả này lại với nhau, 2 3 chúng tôi có Gauss 'định lý: ?? s ?? s A i DV A da hoặc rÁAdV A Á da: x i i i V S V S i i Chúng tôi đã chứng minh Gauss 'lý cho một chỉ đơn giản là nối kết khu vực (một khối lượng bao bọc bởi một bề mặt), nhưng chúng ta có thể mở rộng bằng chứng để một nhân kết nối khu vực (khu vực giáp 67 1 _ 2 _ 3 z Từ phương trình. (1,58), (1.62), (1.64) và (1,66), chúng tôi ®nd gradient, phân kỳ, curl, và Laplacian trong trụ phối: @ È È Re @ 1 @ È ; 1:68 _ _ z _ e _ _ e ze nơi È È _; _; z là một chức năng vô hướng; ! @ _ RAA 1 A Y 1:69 _ z _ _ _A _ @ z _A 33 VECTOR VÀ PHÂN TÍCH tensor nơi AA e A e A e Y _ _ _ _ z z _ _ _ _ e _e e _ _ _ _ z _ _ _ _ @ @ @ _ _ RAA 1 Y 1:70 _ _ _ _ z _ _ _ _ _ _ A _A A _ _ _ z và __ @ @ È È 2 2 2 r È 1 1 @ : 1:71 _ _ @_ È _ _ _ z 2 2 2 tọa độ cầu r; _; _ u r; u _; u _y u e ; u e ; u e 1 2 3 1 r 2 _ 3 _ Từ hình. 1.18 chúng ta thấy rằng x r sin cos _ _; x r tội lỗi tội lỗi _ _; x cos r _: 1 2 3 Bây giờ 2 2 2 ds h dr h d _ h d _ 2 2 2 2 1 2 3 nhưng rr sin cos _ _ e r tội lỗi tội lỗi _ _ e r cos _ e ; 1 2 3 Hình 1,18. . Tọa độ cầu 34 VECTOR HỘI NHẬP VÀ lý INTEGRAL để ds dr Á dr dr r d _ r sin _ _ d : 2 2 2 2 2 2 2 2 tương đương hai ds , chúng tôi ®nd các yếu tố quy mô: h h 1, h h r, 1 r 2 _ h h r sin _. Sau đó chúng tôi ®nd, từ phương trình. (1,58), (1.62), (1.64) và (1,66), các 3 _ gradient, phân kỳ, curl, và Laplacian trong tọa độ cầu: @ È 1 @ È 1 @ È Re e e e r r _ r sin _ _ Y 1:72 r _ _ ! _ RAA 1 A r @ rA Y 1:73 2 r _ r _ tội lỗi tội lỗi _ @ rr _ tội _A _ 2 _ _ _ _ e r e r sin _ e _ _ r _ _ _ _ _ @ @ @ _ _ _ RAA 1 Y 1:74 _ _ r _ _ r sin _ 2 _ _ _ _ _ _ A RA r sin _A r r _ 45 __ __ @ È @ È 2 2 2 r È 1 @ 1 : 1:75 r tội lỗi tội lỗi _ _ @ rr r _ tội lỗi _ @ È _ tội lỗi _ _ 2 2 Vector hội nhập và thiếu lý Có thảo luận vector di erentiation, bây giờ chúng ta chuyển sang một cuộc thảo luận về vector hội nhập. Sau de®ning các khái niệm về dòng, bề mặt, và tích phân lượng ®elds vector, chúng tôi tiến tới định lý quan trọng không thể thiếu của Gauss, Stokes, và Green. Sự tích hợp của một véc tơ, mà là một chức năng của một vô hướng đơn u , có thể tiến hành như tích hợp vô hướng thông thường. Cho một vector A u A u e A u e A u e ; 1 1 2 2 3 3 rồi ?? ?? ?? ?? A u du e A u du e A u du e A u du B; 1 1 2 2 3 3 trong đó B là một hằng số của hội nhập, một vector không đổi. Bây giờ xem xét việc tách rời của sản phẩm vô hướng của một vector A x ; x ; x ) và dr giữa giới hạn 1 2 3 P x ; x ; x ) và P x ; x ; x : 1 1 2 3 2 1 2 3 35 VECTOR VÀ PHÂN TÍCH tensor ?? ?? P P 2 2 A Á dr A e A e A e Á dx e dx e dx e 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 P P 1 1 ?? ?? P P 2 2 A x ; x ; x dx A x ; x ; x dx 1 1 2 3 1 2 1 2 3 2 P P 1 1 ?? P 2 A x ; x ; x dx : 3 1 2 3 3 P 1 Mỗi tách rời ở phía bên tay phải đòi hỏi để thực hiện nó hơn một kiến thức cạnh của các giới hạn. Trong thực tế, ba tích ở phía bên tay phải không hoàn toàn de®ned vì trong tích ®rst, ví dụ, chúng ta không phải là giá trị bí của x và x trong A : 2 3 1 ?? P 2 I A x ; x ; x dx : 1:76 1 1 1 2 3 1 P 1 Điều cần thiết là một tuyên bố như x fx ; x gx 1:77 2 1 3 1 mà speci®es x , x cho mỗi giá trị của x . Các tích phân nay giảm tới 2 3 1 A x ; x ; x A x ; fx ; gx B x để tôi thiếu trở thành 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 cũng de®ned. Nhưng giá trị của nó phụ thuộc vào những hạn chế trong phương trình. (1,77). Các con- straints định các đường dẫn trên x x và x x máy bay kết nối các điểm khởi đầu 1 2 3 1 P đến điểm cuối P . Các x hội nhập (1,76) được tiến hành theo các 1 2 1 lối đi. Nó là một con đường phụ thuộc vào tách rời và được gọi là một dòng integ thiên (hay một con đường không thể thiếu). Nó rất hữu ích để giữ trong tâm trí rằng: khi số lượng hội nhập biến là ít hơn so với số lượng các biến trong tích phân, tích phân chưa hoàn toàn de®ned và nó là con đường-dep endent. Tuy nhiên, nếu các sản phẩm vô hướng A Á dr là tương đương với một di erential chính xác, A Á DRD 'r' Á dr, sự tích hợp chỉ phụ thuộc vào các giới hạn và do đó là con đường độc lập: ?? ?? P P 2 2 A Á dr d '' À ' : 2 1 P P 1 1 A vector ®eld A conser- trong đó có trên tài sản (con đường độc lập) được gọi là vative. Rõ ràng là không thể thiếu trên các dòng là số không, dọc theo con đường gần, và curl của một vector ®eld bảo thủ là không r  a ra r '0. Một điển hình ví dụ về một ®eld vector bảo thủ trong cơ học là một lực lượng bảo thủ. Các bề mặt không thể thiếu của một hàm vector A x ; x ; x trên bề mặt S là một 1 2 3 lượng quan trọng; nó được de®ned được ?? A da Á; S 36 VECTOR HỘI NHẬP VÀ lý INTEGRAL Hình 1.19. Bề mặt không thể thiếu trên một bề mặt S. nơi bề mặt biểu tượng không thể thiếu là viết tắt của một tích gấp đôi so với một số s bề mặt S, và da là một phần tử của diện tích bề mặt (Hình. 1.19), một số lượng véc tơ. Chúng tôi thuộc tính để daa độ da và cũng là một hướng tương ứng bình thường, n, để bề mặt ở các điểm trong câu hỏi, do đó da nda: Các bình thường n cho một bề mặt có thể được đưa đến nằm ở một trong hai hướng có thể. Nhưng nếu da là một phần của một mặt kín , dấu hiệu của n liên quan đến da như vậy là lựa chọn mà nó chỉ ra phía ngoài đi từ bên trong. Trong tọa độ hình chữ nhật, chúng tôi có thể viết da e da e da e da e dx dx e dx dx e dx dx : 1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 Nếu một tích bề mặt là được đánh giá qua một mặt kín S, tích phân được viết như là A da Á: S Lưu ý rằng đây là di erent từ một dây chuyền khép kín con đường không thể thiếu. Khi con đường hội nhập được đóng lại, dòng không thể thiếu là viết nó như là một ds Á; À mà À speci®es con đường khép kín, và ds là một yếu tố của chiều dài dọc theo cho con đường. Theo quy ước, ds được lấy tích cực theo hướng mà trong đó các con đường được đi qua. Ở đây chúng ta chỉ xem xét những đường cong khép kín đơn giản. Một kín đơn giản đường cong không cắt bất cứ nơi nào mình. Định lý Gauss '(định lý divergence) Định lý này liên quan tích bề mặt của một hàm vector cho trước và khối lượng không thể thiếu của sự phân kỳ của vector đó. Nó được giới thiệu bởi Joseph Louis Lagrange và được ®rst dùng trong ý nghĩa hiện đại của George Green. Gauss ' 37 VECTOR VÀ PHÂN TÍCH tensor tên gắn liền với định lý này vì công việc rộng lớn của mình vào chung vấn đề về tích phân đôi và gấp ba lần. Nếu một liên tục, di erentiable vector ®eld A được de®ned trong một kết nối đơn giản khu vực của khối V giáp bởi một bề mặt S khép kín, sau đó định lý nói rằng ?? s rÁAdV A Á da; 1:78 V S nơi dV dx dx dx . Một đơn giản kết nối khu vực V có các tài sản mà mỗi 1 2 3 đơn giản đường cong khép kín bên trong nó có thể được liên tục bị thu hẹp đến một điểm mà không cần rời khỏi khu vực. Để chứng minh điều này, chúng tôi ®rst viết ?? ?? 3 A rÁAdV dV; i x V V i i 1 sau đó tích hợp phía bên tay phải đối với x trong khi vẫn giữ x x liên tục, 1 2 3 do đó tổng hợp các đóng góp từ một thanh chéo phần dx dx . (. Hình 1.20) 2 3 Các que cắt bề mặt S tại điểm P và Q và do đó de®nes hai yếu tố diện tích da và da : P Q ?? s ?? s ? ? A A Q Q 1 1 dV dx dx dx dx dx dA ; x x 2 3 1 2 3 1 V 1 S P 1 S P , nơi chúng tôi đã sử dụng các mối quan hệ dA A = @ x dx dọc theo que . The last 1 1 1 1 tích hợp ở phía bên tay phải có thể được thực hiện cùng một lúc và chúng tôi có ?? s A 1 dV A Q AA P dx dx ; 1 1 2 3 x V 1 S đó A Q biểu thị giá trị của Một đánh giá ở các tọa độ của điểm Q, 1 1 và tương tự cho A P. 1 Các thành phần của phần tử bề mặt da mà nằm trong x -direction là 1 da dx dx tại điểm Q, và da ADX dx tại điểm P. Các dấu trừ 1 2 3 1 2 3 Hình 1.20. Một ống vuông của mặt cắt ngang dx dx . 2 3 38 VECTOR HỘI NHẬP VÀ lý INTEGRAL phát sinh kể từ khi x thành phần của da tại P là theo hướng tiêu cực x .Wecan 1 1 giờ viết lại không thể thiếu trên như ?? ?? ?? @ Một dV A Q da A P da ; 1 1 1 1 1 x V 1 S S Q P trong đó S biểu thị rằng phần của bề mặt mà x thành phần của Q 1 bề ngoài bình thường đến các yếu tố bề mặt da là trong tích cực x -direction, và S 1 1 P biểu thị rằng phần của bề mặt da mà là theo hướng tiêu cực. Các 1 hai tích bề mặt sau đó kết hợp để mang lại bề mặt tích phân trên toàn bộ bề mặt S (nếu bề mặt lõm su ?? ciently, có thể có nhiều như quyền tay một thứ phần tay trái của bề mặt): ?? s @ A 1 dV A da : 1 1 x V 1 S Tương tự như vậy chúng ta có thể đánh giá x và x thành phần. Tổng hợp tất cả này lại với nhau, 2 3 chúng tôi có Gauss 'định lý: ?? s ?? s A i DV A da hoặc rÁAdV A Á da: x i i i V S V S i i Chúng tôi đã chứng minh Gauss 'lý cho một chỉ đơn giản là nối kết khu vực (một khối lượng bao bọc bởi một bề mặt), nhưng chúng ta có thể mở rộng bằng chứng để một nhân kết nối khu vực (khu vực giáp 67 1 _ 2 _ 3 z Từ phương trình. (1,58), (1.62), (1.64) và (1,66), chúng tôi ®nd gradient, phân kỳ, curl, và Laplacian trong trụ phối: @ È È Re @ 1 @ È ; 1:68 _ _ z _ e _ _ e ze nơi È È _; _; z là một chức năng vô hướng; ! @ _ RAA 1 A Y 1:69 _ z _ _ _A _ @ z _A 33 VECTOR VÀ PHÂN TÍCH tensor nơi AA e A e A e Y _ _ _ _ z z _ _ _ _ e _e e _ _ _ _ z _ _ _ _ @ @ @ _ _ RAA 1 Y 1:70 _ _ _ _ z _ _ _ _ _ _ A _A A _ _ _ z và __ @ @ È È 2 2 2 r È 1 1 @ : 1:71 _ _ @_ È _ _ _ z 2 2 2 tọa độ cầu r; _; _ u r; u _; u _y u e ; u e ; u e 1 2 3 1 r 2 _ 3 _ Từ hình. 1.18 chúng ta thấy rằng x r sin cos _ _; x r tội lỗi tội lỗi _ _; x cos r _: 1 2 3 Bây giờ 2 2 2 ds h dr h d _ h d _ 2 2 2 2 1 2 3 nhưng rr sin cos _ _ e r tội lỗi tội lỗi _ _ e r cos _ e ; 1 2 3 Hình 1,18. . Tọa độ cầu 34 VECTOR HỘI NHẬP VÀ lý INTEGRAL để ds dr Á dr dr r d _ r sin _ _ d : 2 2 2 2 2 2 2 2 tương đương hai ds , chúng tôi ®nd các yếu tố quy mô: h h 1, h h r, 1 r 2 _ h h r sin _. Sau đó chúng tôi ®nd, từ phương trình. (1,58), (1.62), (1.64) và (1,66), các 3 _ gradient, phân kỳ, curl, và Laplacian trong tọa độ cầu: @ È 1 @ È 1 @ È Re e e e r r _ r sin _ _ Y 1:72 r _ _ ! _ RAA 1 A r @ rA Y 1:73 2 r _ r _ tội lỗi tội lỗi _ @ rr _ tội _A _ 2 _ _ _ _ e r e r sin _ e _ _ r _ _ _ _ _ @ @ @ _ _ _ RAA 1 Y 1:74 _ _ r _ _ r sin _ 2 _ _ _ _ _ _ A RA r sin _A r r _ 45 __ __ @ È @ È 2 2 2 r È 1 @ 1 : 1:75 r tội lỗi tội lỗi _ _ @ rr r _ tội lỗi _ @ È _ tội lỗi _ _ 2 2 Vector hội nhập và thiếu lý Có thảo luận vector di erentiation, bây giờ chúng ta chuyển sang một cuộc thảo luận về vector hội nhập. Sau de®ning các khái niệm về dòng, bề mặt, và tích phân lượng ®elds vector, chúng tôi tiến tới định lý quan trọng không thể thiếu của Gauss, Stokes, và Green. Sự tích hợp của một véc tơ, mà là một chức năng của một vô hướng đơn u , có thể tiến hành như tích hợp vô hướng thông thường. Cho một vector A u A u e A u e A u e ; 1 1 2 2 3 3 rồi ?? ?? ?? ?? A u du e A u du e A u du e A u du B; 1 1 2 2 3 3 trong đó B là một hằng số của hội nhập, một vector không đổi. Bây giờ xem xét việc tách rời của sản phẩm vô hướng của một vector A x ; x ; x ) và dr giữa giới hạn 1 2 3 P x ; x ; x ) và P x ; x ; x : 1 1 2 3 2 1 2 3 35 VECTOR VÀ PHÂN TÍCH tensor ?? ?? P P 2 2 A Á dr A e A e A e Á dx e dx e dx e 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 P P 1 1 ?? ?? P P 2 2 A x ; x ; x dx A x ; x ; x dx 1 1 2 3 1 2 1 2 3 2 P P 1 1 ?? P 2 A x ; x ; x dx : 3 1 2 3 3 P 1 Mỗi tách rời ở phía bên tay phải đòi hỏi để thực hiện nó hơn một kiến thức cạnh của các giới hạn. Trong thực tế, ba tích ở phía bên tay phải không hoàn toàn de®ned vì trong tích ®rst, ví dụ, chúng ta không phải là giá trị bí của x và x trong A : 2 3 1 ?? P 2 I A x ; x ; x dx : 1:76 1 1 1 2 3 1 P 1 Điều cần thiết là một tuyên bố như x fx ; x gx 1:77 2 1 3 1 mà speci®es x , x cho mỗi giá trị của x . Các tích phân nay giảm tới 2 3 1 A x ; x ; x A x ; fx ; gx B x để tôi thiếu trở thành 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 cũng de®ned. Nhưng giá trị của nó phụ thuộc vào những hạn chế trong phương trình. (1,77). Các con- straints định các đường dẫn trên x x và x x máy bay kết nối các điểm khởi đầu 1 2 3 1 P đến điểm cuối P . Các x hội nhập (1,76) được tiến hành theo các 1 2 1 lối đi. Nó là một con đường phụ thuộc vào tách rời và được gọi là một dòng integ thiên (hay một con đường không thể thiếu). Nó rất hữu ích để giữ trong tâm trí rằng: khi số lượng hội nhập biến là ít hơn so với số lượng các biến trong tích phân, tích phân chưa hoàn toàn de®ned và nó là con đường-dep endent. Tuy nhiên, nếu các sản phẩm vô hướng A Á dr là tương đương với một di erential chính xác, A Á DRD 'r' Á dr, sự tích hợp chỉ phụ thuộc vào các giới hạn và do đó là con đường độc lập: ?? ?? P P 2 2 A Á dr d '' À ' : 2 1 P P 1 1 A vector ®eld A conser- trong đó có trên tài sản (con đường độc lập) được gọi là vative. Rõ ràng là không thể thiếu trên các dòng là số không, dọc theo con đường gần, và curl của một vector ®eld bảo thủ là không r  a ra r '0. Một điển hình ví dụ về một ®eld vector bảo thủ trong cơ học là một lực lượng bảo thủ. Các bề mặt không thể thiếu của một hàm vector A x ; x ; x trên bề mặt S là một 1 2 3 lượng quan trọng; nó được de®ned được ?? A da Á; S 36 VECTOR HỘI NHẬP VÀ lý INTEGRAL Hình 1.19. Bề mặt không thể thiếu trên một bề mặt S. nơi bề mặt biểu tượng không thể thiếu là viết tắt của một tích gấp đôi so với một số s bề mặt S, và da là một phần tử của diện tích bề mặt (Hình. 1.19), một số lượng véc tơ. Chúng tôi thuộc tính để daa độ da và cũng là một hướng tương ứng bình thường, n, để bề mặt ở các điểm trong câu hỏi, do đó da nda: Các bình thường n cho một bề mặt có thể được đưa đến nằm ở một trong hai hướng có thể. Nhưng nếu da là một phần của một mặt kín , dấu hiệu của n liên quan đến da như vậy là lựa chọn mà nó chỉ ra phía ngoài đi từ bên trong. Trong tọa độ hình chữ nhật, chúng tôi có thể viết da e da e da e da e dx dx e dx dx e dx dx : 1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 Nếu một tích bề mặt là được đánh giá qua một mặt kín S, tích phân được viết như là A da Á: S Lưu ý rằng đây là di erent từ một dây chuyền khép kín con đường không thể thiếu. Khi con đường hội nhập được đóng lại, dòng không thể thiếu là viết nó như là một ds Á; À mà À speci®es con đường khép kín, và ds là một yếu tố của chiều dài dọc theo cho con đường. Theo quy ước, ds được lấy tích cực theo hướng mà trong đó các con đường được đi qua. Ở đây chúng ta chỉ xem xét những đường cong khép kín đơn giản. Một kín đơn giản đường cong không cắt bất cứ nơi nào mình. Định lý Gauss '(định lý divergence) Định lý này liên quan tích bề mặt của một hàm vector cho trước và khối lượng không thể thiếu của sự phân kỳ của vector đó. Nó được giới thiệu bởi Joseph Louis Lagrange và được ®rst dùng trong ý nghĩa hiện đại của George Green. Gauss ' 37 VECTOR VÀ PHÂN TÍCH tensor tên gắn liền với định lý này vì công việc rộng lớn của mình vào chung vấn đề về tích phân đôi và gấp ba lần. Nếu một liên tục, di erentiable vector ®eld A được de®ned trong một kết nối đơn giản khu vực của khối V giáp bởi một bề mặt S khép kín, sau đó định lý nói rằng ?? s rÁAdV A Á da; 1:78 V S nơi dV dx dx dx . Một đơn giản kết nối khu vực V có các tài sản mà mỗi 1 2 3 đơn giản đường cong khép kín bên trong nó có thể được liên tục bị thu hẹp đến một điểm mà không cần rời khỏi khu vực. Để chứng minh điều này, chúng tôi ®rst viết ?? ?? 3 A rÁAdV dV; i x V V i i 1 sau đó tích hợp phía bên tay phải đối với x trong khi vẫn giữ x x liên tục, 1 2 3 do đó tổng hợp các đóng góp từ một thanh chéo phần dx dx . (. Hình 1.20) 2 3 Các que cắt bề mặt S tại điểm P và Q và do đó de®nes hai yếu tố diện tích da và da : P Q ?? s ?? s ? ? A A Q Q 1 1 dV dx dx dx dx dx dA ; x x 2 3 1 2 3 1 V 1 S P 1 S P , nơi chúng tôi đã sử dụng các mối quan hệ dA A = @ x dx dọc theo que . The last 1 1 1 1 tích hợp ở phía bên tay phải có thể được thực hiện cùng một lúc và chúng tôi có ?? s A 1 dV A Q AA P dx dx ; 1 1 2 3 x V 1 S đó A Q biểu thị giá trị của Một đánh giá ở các tọa độ của điểm Q, 1 1 và tương tự cho A P. 1 Các thành phần của phần tử bề mặt da mà nằm trong x -direction là 1 da dx dx tại điểm Q, và da ADX dx tại điểm P. Các dấu trừ 1 2 3 1 2 3 Hình 1.20. Một ống vuông của mặt cắt ngang dx dx . 2 3 38 VECTOR HỘI NHẬP VÀ lý INTEGRAL phát sinh kể từ khi x thành phần của da tại P là theo hướng tiêu cực x .Wecan 1 1 giờ viết lại không thể thiếu trên như ?? ?? ?? @ Một dV A Q da A P da ; 1 1 1 1 1 x V 1 S S Q P trong đó S biểu thị rằng phần của bề mặt mà x thành phần của Q 1 bề ngoài bình thường đến các yếu tố bề mặt da là trong tích cực x -direction, và S 1 1 P biểu thị rằng phần của bề mặt da mà là theo hướng tiêu cực. Các 1 hai tích bề mặt sau đó kết hợp để mang lại bề mặt tích phân trên toàn bộ bề mặt S (nếu bề mặt lõm su ?? ciently, có thể có nhiều như quyền tay một thứ phần tay trái của bề mặt): ?? s @ A 1 dV A da : 1 1 x V 1 S Tương tự như vậy chúng ta có thể đánh giá x và x thành phần. Tổng hợp tất cả này lại với nhau, 2 3 chúng tôi có Gauss 'định lý: ?? s ?? s A i DV A da hoặc rÁAdV A Á da: x i i i V S V S i i Chúng tôi đã chứng minh Gauss 'lý cho một chỉ đơn giản là nối kết khu vực (một khối lượng bao bọc bởi một bề mặt), nhưng chúng ta có thể mở rộng bằng chứng để một nhân kết nối khu vực (khu vực giáp Những bình thường n cho một bề mặt có thể được đưa đến nằm ở một trong hai hướng có thể. Nhưng nếu da là một phần của một mặt kín, dấu hiệu của n liên quan đến da như vậy là lựa chọn mà nó chỉ ra phía ngoài đi từ bên trong. Trong tọa độ hình chữ nhật, chúng tôi có thể viết da e da e da e da e dx dx e dx dx e dx dx : 1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 Nếu một tích bề mặt là được đánh giá qua một mặt kín S, tích phân được viết như là A da Á: S Lưu ý rằng đây là di erent từ một dây chuyền khép kín con đường không thể thiếu. Khi con đường hội nhập được đóng lại, dòng không thể thiếu là viết nó như là một ds Á; À mà À speci®es con đường khép kín, và ds là một yếu tố của chiều dài dọc theo cho con đường. Theo quy ước, ds được lấy tích cực theo hướng mà trong đó các con đường được đi qua. Ở đây chúng ta chỉ xem xét những đường cong khép kín đơn giản. Một kín đơn giản đường cong không cắt bất cứ nơi nào mình. Định lý Gauss '(định lý divergence) Định lý này liên quan tích bề mặt của một hàm vector cho trước và khối lượng không thể thiếu của sự phân kỳ của vector đó. Nó được giới thiệu bởi Joseph Louis Lagrange và được ®rst dùng trong ý nghĩa hiện đại của George Green. Gauss ' 37 VECTOR VÀ PHÂN TÍCH tensor tên gắn liền với định lý này vì công việc rộng lớn của mình vào chung vấn đề về tích phân đôi và gấp ba lần. Nếu một liên tục, di erentiable vector ®eld A được de®ned trong một kết nối đơn giản khu vực của khối V giáp bởi một bề mặt S khép kín, sau đó định lý nói rằng ?? s rÁAdV A Á da; 1:78 V S nơi dV dx dx dx . Một đơn giản kết nối khu vực V có các tài sản mà mỗi 1 2 3 đơn giản đường cong khép kín bên trong nó có thể được liên tục bị thu hẹp đến một điểm mà không cần rời khỏi khu vực. Để chứng minh điều này, chúng tôi ®rst viết ?? ?? 3 A rÁAdV dV; i x V V i i 1 sau đó tích hợp phía bên tay phải đối với x trong khi vẫn giữ x x liên tục, 1 2 3 do đó tổng hợp các đóng góp từ một thanh chéo phần dx dx . (. Hình 1.20) 2 3 Các que cắt bề mặt S tại điểm P và Q và do đó de®nes hai yếu tố diện tích da và da : P Q ?? s ?? s ? ? A A Q Q 1 1 dV dx dx dx dx dx dA ; x x 2 3 1 2 3 1 V 1 S P 1 S P , nơi chúng tôi đã sử dụng các mối quan hệ dA A = @ x dx dọc theo que . The last 1 1 1 1 tích hợp ở phía bên tay phải có thể được thực hiện cùng một lúc và chúng tôi có ?? s A 1 dV A Q AA P dx dx ; 1 1 2 3 x V 1 S đó A Q biểu thị giá trị của Một đánh giá ở các tọa độ của điểm Q, 1 1 và tương tự cho A P. 1 Các thành phần của phần tử bề mặt da mà nằm trong x -direction là 1 da dx dx tại điểm Q, và da ADX dx tại điểm P. Các dấu trừ 1 2 3 1 2 3 Hình 1.20. Một ống vuông của mặt cắt ngang dx dx . 2 3 38 VECTOR HỘI NHẬP VÀ lý INTEGRAL phát sinh kể từ khi x thành phần của da tại P là theo hướng tiêu cực x .Wecan 1 1 giờ viết lại không thể thiếu trên như ?? ?? ?? @ Một dV A Q da A P da ; 1 1 1 1 1 x V 1 S S Q P trong đó S biểu thị rằng phần của bề mặt mà x thành phần của Q 1 bề ngoài bình thường đến các yếu tố bề mặt da là trong tích cực x -direction, và S 1 1 P biểu thị rằng phần của bề mặt da mà là theo hướng tiêu cực. Các 1 hai tích bề mặt sau đó kết hợp để mang lại bề mặt tích phân trên toàn bộ bề mặt S (nếu bề mặt lõm su ?? ciently, có thể có nhiều như quyền tay một thứ phần tay trái của bề mặt): ?? s @ A 1 dV A da : 1 1 x V 1 S Tương tự như vậy chúng ta có thể đánh giá x và x thành phần. Tổng hợp tất cả này lại với nhau, 2 3 chúng tôi có Gauss 'định lý: ?? s ?? s A i DV A da hoặc rÁAdV A Á da: x i i i V S V S i i Chúng tôi đã chứng minh Gauss 'lý cho một chỉ đơn giản là nối kết khu vực (một khối lượng bao bọc bởi một bề mặt), nhưng chúng ta có thể mở rộng bằng chứng để một nhân kết nối khu vực (khu vực giáp Những bình thường n cho một bề mặt có thể được đưa đến nằm ở một trong hai hướng có thể. Nhưng nếu da là một phần của một mặt kín, dấu hiệu của n liên quan đến da như vậy là lựa chọn mà nó chỉ ra phía ngoài đi từ bên trong. Trong tọa độ hình chữ nhật, chúng tôi có thể viết da e da e da e da e dx dx e dx dx e dx dx : 1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 Nếu một tích bề mặt là được đánh giá qua một mặt kín S, tích phân được viết như là A da Á: S Lưu ý rằng đây là di erent từ một dây chuyền khép kín con đường không thể thiếu. Khi con đường hội nhập được đóng lại, dòng không thể thiếu là viết nó như là một ds Á; À mà À speci®es con đường khép kín, và ds là một yếu tố của chiều dài dọc theo cho con đường. Theo quy ước, ds được lấy tích cực theo hướng mà trong đó các con đường được đi qua. Ở đây chúng ta chỉ xem xét những đường cong khép kín đơn giản. Một kín đơn giản đường cong không cắt bất cứ nơi nào mình. Định lý Gauss '(định lý divergence) Định lý này liên quan tích bề mặt của một hàm vector cho trước và khối lượng không thể thiếu của sự phân kỳ của vector đó. Nó được giới thiệu bởi Joseph Louis Lagrange và được ®rst dùng trong ý nghĩa hiện đại của George Green. Gauss ' 37 VECTOR VÀ PHÂN TÍCH tensor tên gắn liền với định lý này vì công việc rộng lớn của mình vào chung vấn đề về tích phân đôi và gấp ba lần. Nếu một liên tục, di erentiable vector ®eld A được de®ned trong một kết nối đơn giản khu vực của khối V giáp bởi một bề mặt S khép kín, sau đó định lý nói rằng ?? s rÁAdV A Á da; 1:78 V S nơi dV dx dx dx . Một đơn giản kết nối khu vực V có các tài sản mà mỗi 1 2 3 đơn giản đường cong khép kín bên trong nó có thể được liên tục bị thu hẹp đến một điểm mà không cần rời khỏi khu vực. Để chứng minh điều này, chúng tôi ®rst viết ?? ?? 3 A rÁAdV dV; i x V V i i 1 sau đó tích hợp phía bên tay phải đối với x trong khi vẫn giữ x x liên tục, 1 2 3 do đó tổng hợp các đóng góp từ một thanh chéo phần dx dx . (. Hình 1.20) 2 3 Các que cắt bề mặt S tại điểm P và Q và do đó de®nes hai yếu tố diện tích da và da : P Q ?? s ?? s ? ? A A Q Q 1 1 dV dx dx dx dx dx dA ; x x 2 3 1 2 3 1 V 1 S P 1 S P , nơi chúng tôi đã sử dụng các mối quan hệ dA A = @ x dx dọc theo que . The last 1 1 1 1 tích hợp ở phía bên tay phải có thể được thực hiện cùng một lúc và chúng tôi có ?? s A 1 dV A Q AA P dx dx ; 1 1 2 3 x V 1 S đó A Q biểu thị giá trị của Một đánh giá ở các tọa độ của điểm Q, 1 1 và tương tự cho A P. 1 Các thành phần của phần tử bề mặt da mà nằm trong x -direction là 1 da dx dx tại điểm Q, và da ADX dx tại điểm P. Các dấu trừ 1 2 3 1 2 3 Hình 1.20. Một ống vuông của mặt cắt ngang dx dx . 2 3 38 VECTOR HỘI NHẬP VÀ lý INTEGRAL phát sinh kể từ khi x thành phần của da tại P là theo hướng tiêu cực x .Wecan 1 1 giờ viết lại không thể thiếu trên như ?? ?? ?? @ Một dV A Q da A P da ; 1 1 1 1 1 x V 1 S S Q P trong đó S biểu thị rằng phần của bề mặt mà x thành phần của Q 1 bề ngoài bình thường đến các yếu tố bề mặt da là trong tích cực x -direction, và S 1 1 P biểu thị rằng phần của bề mặt da mà là theo hướng tiêu cực. Các 1 hai tích bề mặt sau đó kết hợp để mang lại bề mặt tích phân trên toàn bộ bề mặt S (nếu bề mặt lõm su ?? ciently, có thể có nhiều như quyền tay một thứ phần tay trái của bề mặt): ?? s @ A 1 dV A da : 1 1 x V 1 S Tương tự như vậy chúng ta có thể đánh giá x và x thành phần. Tổng hợp tất cả này lại với nhau, 2 3 chúng tôi có Gauss 'định lý: ?? s ?? s A i DV A da hoặc rÁAdV A Á da: x i i i V S V S i i Chúng tôi đã chứng minh Gauss 'lý cho một chỉ đơn giản là nối kết khu vực (một khối lượng bao bọc bởi một bề mặt), nhưng chúng ta có thể mở rộng bằng chứng để một nhân kết nối khu vực (khu vực giáp