Manifolds in Euclidean space 31.2 E

Manifolds in Euclidean space 3
1.2 Embedded parametrizations
We introduce a property of parametrizations, which essentially means that
there are no self intersections. Basically this means that the parametrization
is injective, but we shall see that injectivity alone is not sufficient to ensure the behavior we want, and we shall supplement injectivity with another
condition.
Definition 1.2.1. Let A ⊂ Rm and B ⊂ Rn. A map f: A → B which is
continuous, bijective and has a continuous inverse is called a homeomorphism.
The sets A and B are metric spaces, with the same distance functions
as the surrounding Euclidean spaces, and the continuity of f and f −1 is
assumed to be with respect to these metrics.
Definition 1.2.2. A regular parametrized manifold σ: U → Rn which is a
homeomorphism U → σ(U), is called an embedded parametrized manifold.
In particular this definition applies to curves and surfaces, and thus we
can speak of embedded parametrized curves and embedded parametrized
surfaces.
In addition to being smooth and regular, the condition on σ is thus that
it is injective and that the inverse map σ(x) 7→ x is continuous σ(U) → U.
Since the latter condition of continuity is important in the following, we shall
elaborate a bit on it.
Definition 1.2.3. Let A ⊂ Rn. A subset B ⊂ A is said to be relatively
open if it has the form B = A ∩ W for some open set W ⊂ Rn.
For example, the interval B = [0; 1[ is relatively open in A = [0, ∞[, since
it has the form A∩W with W =]−1, 1[. As another example, let A = {(x, 0)}
be the x-axis in R2. A subset B ⊂ A is relatively open if and only if it has
the form U × {0} where U ⊂ R is open (of course, no subsets of the axis
are open in R2, except the empty set). If A is already open in Rn, then the
relatively open subsets are just the open subsets.
It is easily seen that B ⊂ A is relatively open if and only if it is open in
the metric space of A equipped with the distance function of Rn.
The continuity of σ(x) 7→ x from σ(U) to U means by definition that every
open subset V ⊂ U has an open preimage in σ(U). The preimage of V by this
map is σ(V ), hence the condition is that V ⊂ U open implies σ(V ) ⊂ σ(U)
open. By the preceding remark and definition this is equivalent to require
that for each open V ⊂ U there exists an open set W ⊂ Rn such that
σ(V ) = σ(U) ∩ W. (1.1)
The importance of this condition is illustrated in Example 1.2.2 below.
Notice that a reparametrization τ = σ ◦ φ of an embedded parametrized
manifold is again embedded. Here φ: W → U is a diffeomorphism of open

Kết quả (Việt) 1:

Đa tạp trong không gian Euclid 31.2 nhúng parametrizationsChúng tôi giới thiệu một tài sản của parametrizations, mà về cơ bản có nghĩa làkhông có không có nút giao thông tự. Về cơ bản, điều này có nghĩa là mà parametrizationlà phải, nhưng chúng ta sẽ thấy rằng injectivity một mình là không đủ để đảm bảo hành vi mà chúng tôi muốn, và chúng tôi sẽ bổ sung injectivity với nhauđiều kiện.Định nghĩa 1.2.1. Cho phép một ⊂ Rm và B ⊂ Rn. Một bản đồ f: một → B mà làsong ánh liên tục, và có một liên tục nghịch đảo được gọi là một phép đồng phôi.Các tập A và B là không gian metric, với các chức năng cùng một khoảng cáchnhư các không gian Euclide xung quanh, và liên tục của f và f −1 làgiả định là đối với các số liệu này.Định nghĩa 1.2.2. Một thường xuyên parametrized đa tạp σ: U → Rn là mộtphép đồng phôi U → σ(U), được gọi là một đa tạp nhúng parametrized.Đặc biệt định nghĩa này áp dụng cho đường cong và bề mặt, và vì thế chúng tôicó thể nói về đường cong nhúng parametrized và nhúng parametrizedbề mặt.Ngoài việc được mịn màng và thường xuyên, các điều kiện trên σ là như vậy mànó là phải và nghịch đảo bản đồ σ(x) 7→ x là liên tục σ(U) → U.Kể từ khi các điều kiện sau này liên tục là quan trọng trong sau đây, chúng tôi sẽxây dựng một chút về nó.Định nghĩa 1.2.3. Cho phép một Rn ⊂. Một tập hợp con B ⊂ A được gọi là tương đốimở nếu nó có dạng B = A ∩ W cho một số tập mở W ⊂ Rn.Ví dụ, khoảng B = [0; 1 [tương đối mở cửa trong A = [0, ∞ [, kể từ khinó có hình thức A∩W với W =] −1, 1 [. Một ví dụ khác, để cho A = {(x, 0)}là trục x trong R2. Một tập hợp con B ⊂ A là tương đối mở nếu và chỉ nếu nó cóhình thức U × {0} nơi U ⊂ R là mở (dĩ nhiên, không có con của các trụcđược mở trong R2, ngoại trừ tập rỗng). Nếu A là đã mở trong Rn, sau đó, cáctương đối mở tập con là chỉ là các tập con mở.Nó dễ dàng nhìn thấy rằng B ⊂ A là tương đối mở nếu và chỉ nếu nó đang mở trongkhông gian metric của A được trang bị với hàm khoảng cách của Rn.Sự liên tục của σ(x) 7→ x từ σ(U) để U có nghĩa là theo định nghĩa đó mỗimở tập con V ⊂ U có một preimage mở trong σ(U). Preimage V bằng cách nàybản đồ là σ (V), do đó các điều kiện là V ⊂ U mở ngụ ý σ (V) ⊂ σ(U)mở. Bởi nhận xét và định nghĩa trước đây là tương đương để yêu cầucho mỗi mở V ⊂ U có tồn tại một mở thiết lập W ⊂ Rn sao choΣ (V) = Σ(U) ∩ W. (1.1)Tầm quan trọng của tình trạng này được minh họa trong ví dụ 1.2.2 dưới đây.Nhận thấy rằng một reparametrization τ = σ ◦ φ của một parametrized nhúngđa tạp nhúng một lần nữa. Ở đây φ: W → U là một diffeomorphism mở

Kết quả (Việt) 2:

Sự đa dạng trong không gian Euclide 3
1.2 parametrizations nhúng
Chúng tôi giới thiệu một tài sản của parametrizations, mà về cơ bản có nghĩa là
không có tự ngã tư. Về cơ bản điều này có nghĩa rằng các parametrization
là đơn ánh, nhưng chúng ta sẽ thấy rằng injectivity một mình là không đủ để đảm bảo các hành vi mà chúng ta muốn, và chúng tôi sẽ bổ sung injectivity với một
điều kiện.
Định nghĩa 1.2.1. Cho A ⊂ B ⊂ Rm và Rn. Một f đồ: A → B
là. Liên tục, song ánh và có một nghịch đảo liên tục được gọi là một đồng phôi
Các bộ A và B là không gian metric, với các chức năng cùng một khoảng cách
là không gian Euclide xung quanh, và sự liên tục của f và f - 1 được
cho là liên quan đến các số liệu. với
Definition 1.2.2. A thường xuyên parametrized đa dạng σ: U → Rn là một
đồng phôi U → σ (U), được gọi là một đa tạp parametrized nhúng.
Đặc biệt định nghĩa này áp dụng cho các đường cong và bề mặt, và do đó chúng ta
có thể nói về những đường cong parametrized nhúng và nhúng parametrized
bề mặt .
Ngoài việc trơn tru và thường xuyên, các điều kiện về σ là như vậy, mà
nó là đơn ánh và rằng σ xạ ngược (x) 7 → x là liên tục σ (U) → U.
Vì điều kiện sau liên tục là quan trọng trong sau đây, chúng ta sẽ
xây dựng một chút về nó.
Định nghĩa 1.2.3. Cho A ⊂ Rn. Một tập con B ⊂ A được cho là tương đối
mở nếu nó có dạng B = A ∩ W cho một số thiết lập mở W ⊂ Rn.
Ví dụ, khoảng thời gian B = [0; 1 [là tương đối cởi mở trong A = [0, ∞ [, kể từ khi
nó có A∩W mẫu với W =] - 1, 1 [. Một ví dụ khác, để cho A = {(x, 0)}
là trục x trong R2. Một tập con B ⊂ A là tương đối cởi mở khi và chỉ khi nó có
dạng U × {0} trong đó U ⊂ R là mở (tất nhiên, không có các tập hợp con của các trục
được mở trong R2, ngoại trừ các tập rỗng). Nếu A đã được mở trong Rn, sau đó các
tập con tương đối mở chỉ là tập con mở.
Nó có thể dễ dàng nhìn thấy rằng B ⊂ A là tương đối cởi mở khi và chỉ khi nó được mở trong
không gian metric của A được trang bị các chức năng khoảng cách của Rn .
Tính liên tục của σ (x) 7 → x từ σ (U) để U có nghĩa là theo định nghĩa là mỗi
tập con mở V ⊂ U có một preimage mở trong σ (U). Các preimage của V bằng cách này
đồ là σ (V), do đó tình trạng này là V ⊂ U mở ngụ ý σ (V) ⊂ σ (U)
mở. Bởi những nhận xét ​​trước và định nghĩa này là tương đương với đòi hỏi
rằng đối với mỗi V mở ⊂ U có tồn tại một tập mở W ⊂ Rn như vậy mà
σ (V) = σ (U) ∩ W. (1.1)
Tầm quan trọng của tình trạng này là minh họa trong ví dụ 1.2.2 dưới đây.
Chú ý rằng một reparametrization τ = σ ◦ φ của một parametrized nhúng
đa dạng là một lần nữa nhúng. Dưới đây φ: W → U là một diffeomorphism mở