The results agree with the right si

The results agree with the right side of the original system, so (29,16,3) is a solution
of the system. ■
Example 1 illustrates how operations on equations in a linear system correspond to operations on the appropriate rows of the augmented matrix. The three basic operations listed earlier correspond to the following operations on the augmented matrix.
ELEMENTARY R0W OPERATIONS
1. (Replacement) Replace one row by the sum of itself and a multiple of another row.
2. (Interchange) Interchange two rows.
3. (Scaling) Multiply all entries in a row by a nonzero constant.
Row operations can be applied to any matrix, not merely to one that arises as the augmented matrix of a linear system. Two matrices are called row equivalent if there is a sequence of elementary row operations that transforms one matrix into the other.
It is important to note that row operations are reversible. If two rows are inter- changed, they can be retumed to their original positions by another interchange. If a row is scaled by a nonzero constant c, then multiplying the new row by 1/c produces the original row. Finally, consider a replacement operation involving two rows —say, rows 1 and 2—and suppose that c times row 1 is added to row 2 to produce a new row 2. To “reverse” this operation, add —c times row 1 to (new) row 2 and obtain the original row 2. See Exercises 29-32 at the end of this section. 
At the moment, we are interested in row operations on the augmented matrix of a system of linear equations. Suppose a system is changed to a new one via row opera- tions. By considering each type of row operation, you can see that any solution of the original system remains a solution of the new system. Conversely, since the original system can be produced via row operations on the new system, each solution of the new system is also a solution of the original system. This discussionjustifies the following statement.
If the augmented matrices of two linear systems are row equivalent, then the two systems have the same solution set.
Though Example 1 is lengthy, you will find that after some practice, the calculations go quickly. Row operations in the text and exercises will usually be extremely easy to perform, allowing you to focus on the underlying concepts. Still, you must leam to perform row operations accurately because they will be used throughout the text.
The rest of this section shows how to use row operations to determine the size of a solution set, without completely solving the linear system.
Existence and Uniqueness Questions
Section 1.2 will show why a solution set for a linear system contains either no solutions, one solution, or infinitely many solutions. Answers to the following two questions will determine the nature of the solution set for a linear system.
To determine which possibility is true for a particular system, we ask two questions.
TWO FUNDAMENTAL QUESTIONS ABOUT A LINEAR SYSTEM
1. Is the system consistent; that is, does at least one solution existl
2. If a solution exists, is it the only one; that is, is the solution uniquel
These two questions will appear throughout the text, in many different guises. This section and the next will show how to answer these questions via row operations on the augmented matrix.
EXAMPLE 2 Determine if the following system is consistent:
x1 — 2X2 + x3 = 0
2x2 — 8x3 = 8
■4x1 + 5X2 + 9X3 = —9
SOLUTION This is the system from Example 1. Suppose that we have performed the row operations necessary to obtain the triangular form

Kết quả (Việt) 1:

Kết quả đồng ý với bên trong hệ thống ban đầu, do đó (29,16,3) là một giải phápcủa hệ thống. ■Ví dụ 1 minh họa làm thế nào các hoạt động trên các phương trình trong một hệ thống tuyến tính tương ứng với các hoạt động trên các hàng thích hợp của ma trận tăng cường. Ba hoạt động cơ bản được liệt kê trước đó tương ứng với các hoạt động sau đây trên ma trận tăng cường.R0W TIỂU HỌC HOẠT ĐỘNG1. (thay thế) thay thế một hàng số tiền của chính nó, và một bội số của khác hàng. 2. (interchange) trao đổi hai hàng.3. (rộng) nhân tất cả các mục trong một hàng của một nonzero hằng.Hàng hoạt động có thể được áp dụng cho bất kỳ ma trận, không chỉ đến một trong đó phát sinh như là ma trận bổ sung của một hệ thống tuyến tính. Hai ma trận được gọi là hàng tương đương nếu có một chuỗi các hoạt động tiểu học hàng biến một ma trận thành khác.Nó là quan trọng cần lưu ý rằng hàng hoạt động có thể đảo ngược. Nếu hai hàng inter - thay đổi, họ có thể là retumed để vị trí ban đầu của họ bởi một trao đổi. Nếu một hàng được chia tỷ lệ bởi một c liên tục nonzero, sau đó nhân hàng mới bởi 1/c sản xuất ban đầu hàng. Cuối cùng, hãy xem xét một chiến dịch thay thế liên quan đến hai hàng — nói, hàng 1 và 2 — và giả sử rằng c lần liên tiếp 1 được thêm vào hàng 2 để sản xuất một dòng mới 2. Để "đảo ngược" thao tác này, thêm — c lần hàng 1 để hàng (mới) 2 và có được ban đầu hàng 2. Xem bài tập 29-32 vào cuối phần này. Tại thời điểm này, chúng tôi đang quan tâm đến hàng hoạt động trên ma trận bổ sung của một hệ thống phương trình tuyến tính. Giả sử một hệ thống được thay đổi thành một hình mới thông qua hàng opera-tions. Bằng cách xem xét từng loại hàng hoạt động, bạn có thể thấy rằng bất kỳ giải pháp của hệ thống ban đầu vẫn còn một giải pháp hệ thống mới. Ngược lại, kể từ khi hệ thống gốc có thể được sản xuất thông qua hàng hoạt động trên hệ thống mới, mỗi giải pháp hệ thống mới cũng là một giải pháp của hệ thống gốc. Này discussionjustifies các câu sau đây.Nếu tăng cường ma trận của hai hệ thống tuyến tính hàng tương đương, sau đó hai hệ thống có các giải pháp tương tự thiết lập.Mặc dù ví dụ 1 là dài, bạn sẽ thấy rằng sau khi một số thực hành, các tính toán đi một cách nhanh chóng. Hàng hoạt động trong các văn bản và bài tập sẽ thường rất dễ dàng để thực hiện, cho phép bạn tập trung vào các khái niệm cơ bản. Tuy nhiên, bạn phải leam để thực hiện hàng hoạt động một cách chính xác bởi vì họ sẽ được sử dụng trong các văn bản.Phần còn lại của phần này cho thấy làm thế nào để sử dụng hàng hoạt động để xác định kích thước của bộ giải pháp, mà không hoàn toàn giải quyết hệ thống tuyến tính.Sự tồn tại và tính độc đáo câu hỏi1.2 phần sẽ hiển thị tại sao một giải pháp thiết lập cho một hệ thống tuyến tính chứa không có giải pháp, một giải pháp hoặc vô hạn đếm được nhiều giải pháp. Câu trả lời cho các câu hỏi sau hai sẽ xác định bản chất của các giải pháp thiết lập cho một hệ thống tuyến tính.Để xác định khả năng mà là đúng cho một hệ thống cụ thể, chúng tôi yêu cầu hai câu hỏi.HAI CÂU HỎI CƠ BẢN VỀ MỘT HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH1. là hệ thống phù hợp; có nghĩa là, có ít nhất một giải pháp existl2. nếu một giải pháp tồn tại, là nó duy nhất; có nghĩa là, là giải pháp uniquelHai câu hỏi sẽ xuất hiện trong văn bản, trong nhiều nhà Guise khác nhau. Phần này và tiếp theo sẽ hiển thị làm thế nào để trả lời những câu hỏi thông qua hàng hoạt động trên ma trận tăng cường.Ví dụ 2 xác định nếu hệ thống sau đây phù hợp:x 1-2 X 2 + x 3 = 02 x 2-8 x 3 = 8■4x1 + 5 X 2 + 9 X 3 =-9Giải pháp này là hệ thống từ ví dụ 1. Giả sử rằng chúng tôi đã thực hiện các hoạt động hàng cần thiết để có được những hình thức tam giác

Kết quả (Việt) 2:

Các kết quả đồng ý với phía bên phải của hệ thống ban đầu, vì vậy (29,16,3) là một giải pháp
của hệ thống. ■
Ví dụ 1 minh họa cách hoạt động trên các phương trình trong một hệ thống tuyến tính tương ứng với các hoạt động trên các hàng thích hợp của ma trận tăng cường. Ba hoạt động cơ bản được liệt kê trước đó tương ứng với các hoạt động sau đây trên ma trận tăng cường.
ELEMENTARY R0W HOẠT ĐỘNG
1. (Thay thế) Thay thế một hàng bằng tổng của chính nó và một bội số của các dòng khác.
2. (Interchange) Interchange hai hàng.
3. (Scaling) Nhân tất cả các mục trong một hàng bằng một hằng số khác không.
hoạt động Row có thể được áp dụng cho bất kỳ ma trận, không chỉ đơn thuần là một phát sinh là ma trận tăng cường của một hệ thống tuyến tính. Hai ma trận được gọi là hàng tương đương nếu có một chuỗi các hoạt động hàng tiểu mà biến đổi một ma trận vào khác.
Điều quan trọng là cần lưu ý rằng các hoạt động hàng có thể đảo ngược. Nếu hai hàng được liên thay đổi, chúng có thể được retumed vị trí ban đầu của họ bằng cách trao đổi khác. Nếu một hàng được thu nhỏ lại bởi một hằng số c khác không, sau đó nhân hàng mới bằng 1 / c sản xuất hàng ban đầu. Cuối cùng, hãy xem xét một hoạt động thay thế liên quan đến hai hàng -say, dòng 1 và 2 và giả sử rằng lần c hàng 1 được thêm vào hàng 2 để sản xuất một hàng mới 2. "đảo ngược" hoạt động này, thêm lần -c hàng 1 với (mới) dòng 2 và có được bản gốc dòng 2. Xem bài tập 29-32 ở cuối phần này. 
Hiện tại, chúng tôi đang quan tâm đến các hoạt động hàng trên ma trận tăng cường của một hệ phương trình tuyến tính. Giả sử một hệ thống được thay đổi thành một cái mới thông qua các hoạt động hợp hàng. Bằng cách xem xét từng loại hoạt động liên tiếp, bạn có thể thấy rằng bất kỳ giải pháp của hệ thống ban đầu vẫn còn là một giải pháp của hệ thống mới. Ngược lại, kể từ khi hệ thống ban đầu có thể được sản xuất thông qua các hoạt động liên tiếp trên các hệ thống mới, mỗi giải pháp của hệ thống mới cũng là một giải pháp của hệ thống ban đầu. Đây discussionjustifies các tuyên bố sau.
Nếu ma trận tăng cường của hai hệ thống tuyến tính là hàng tương đương, sau đó hai hệ thống có các thiết lập cùng một giải pháp.
Mặc dù Ví dụ 1 là dài, bạn sẽ thấy rằng sau khi một số thực hành, các tính toán đi một cách nhanh chóng. Hoạt động hàng trong các văn bản và các bài tập thường sẽ vô cùng dễ dàng để thực hiện, cho phép bạn tập trung vào các khái niệm cơ bản. Tuy nhiên, bạn phải Leam để thực hiện hoạt động hàng chính xác bởi vì họ sẽ được sử dụng xuyên suốt các văn bản.
Phần còn lại của phần này cho thấy làm thế nào để sử dụng các hoạt động hàng để xác định kích thước của một bộ giải pháp, mà không hoàn toàn giải quyết các hệ thống tuyến tính.
Sự tồn tại và độc đáo Các câu hỏi
Mục 1.2 sẽ cho thấy tại sao một bộ giải pháp cho một hệ thống tuyến tính có chứa hoặc không có các giải pháp, một trong những giải pháp, hoặc vô cùng nhiều giải pháp. Câu trả lời cho hai câu hỏi sau đây sẽ xác định bản chất của giải pháp thiết lập một hệ thống tuyến tính.
Để xác định khả năng nào là đúng đối với một hệ thống cụ thể, chúng tôi hỏi hai câu hỏi.
HAI CÂU HỎI CƠ BẢN VỀ HỆ THỐNG LINEAR
1. Là hệ thống nhất quán; đó là, làm ít nhất một giải pháp existl
2. Nếu một giải pháp tồn tại, nó là người duy nhất; nghĩa là, là giải pháp uniquel
Hai câu hỏi sẽ xuất hiện trên khắp các văn bản, trong rất nhiều dạng khác nhau. Phần này và phần tiếp theo sẽ hiển thị như thế nào để trả lời những câu hỏi thông qua các hoạt động hàng trên ma trận tăng cường.
VÍ DỤ 2 Xác định nếu hệ thống sau đây là phù hợp:
x1 - 2X2 + x3 = 0
2x2 - 8x3 = 8
■ 4x1 + 5X2 + 9X3 = - 9
SOLUTION Đây là hệ thống từ Ví dụ 1: Giả sử chúng ta đã thực hiện các hoạt động hàng cần thiết để có được mẫu hình tam giác