We leave t he proof to t he reader.

We leave t he proof to t he reader.
An importa nt special case of Proposition 3.4 is obtained by taki ng t he dual mod ule M* = horn ( M R , R R ) of a right R-module M . We showed at t he beginning of our discussion that the right-module M can be considered in a natural way as an R'-R-bimodule for R' End M . Also R = RR R. Hence, by Proposition 3.4, 1/l* is an R-R'-bimod ule if we define
(60) ( ry* )x = r( y* x ), ( y*r' )x = y*( r' x )

for r E R, r' E R' , y* E M*, x E !vl.
We now consider tensor products for bimodules. Given sM R and RN T we can form t he tensor prod uct wit h respect to R of t he right module M and t he left mod ule N . Then we have

PROPOSITION 3.6. The tensor product 5 M R® R N T is an S-T-bimodu /e if we define sz = (s® l )z and zt = z( l ® t) f(>r z e: 5M R® RN T . H ere s is the endomorphism x .-. sx of M R and t is the end omorphism y --> yt of RN .


The verification is immediate and is left to the reader.
Propositions 3.4, 3.5, and 3.6 show one advantage in dealing with bimodules rather than with one-sided mod ules: Tensoring or "homing" of bimodules having a common ring in the right place yields bimodules. It is interesting to see what happens when one iterates these processes. A first result of this sort is an associativity of tensor products, which we give in

PROPOSITION 3.7. We hcwe an R-U -bimodu /e isomorphism of ( RM s® sN r)® rPu onto RM s®( 5N r® rPu) such that
( x® y )® z .-. x®( y® z )

for x E M , y E N , z E P.


Proof: For s E S we have

xs® (y® z ) = x® s( y® z ) = x® (s® 1) (y® z ) = x® (sy® z ).

Hence for fixed z, fz( x, y ) x®( y® z ) is a balanced product of M and N . Hence we have a group homomorphism of M ®N into M ® ( N ® P ) sending x® y .-. x® (y® z ). This maps L:x;®Y ; --> L:x;® (y;® z ). Now define
f ('[.x;® Y ;, z) = I x;®( y ®z). This defines a balanced product of M ® N as
right T-module and P as left T-mod ule. Then we have a group homomor­ phism of ( M ® N )® P into M ®( N ® P ) such that ( x® y )® z --> x®( y® z ). It is clear t hat t his is, in fact, an R- U- bimodule homomorphism. In a similar

Kết quả (Việt) 1:

chúng ta để lại t ông bằng chứng để t ông đọc.
một importa nt trường hợp đặc biệt của đề xuất 3,4 thu được bằng cách Taki ng t ông kép mod ULE m * = sừng (mr, rr) của quyền r-mô-đun m. chúng tôi cho thấy tại t ông bắt đầu các cuộc thảo luận của chúng tôi là phải mô-đun m có thể được xem xét một cách tự nhiên như một r'-r-bimodule cho r 'cuối m. cũng r = rr r. do đó, bằng cách đề xuất 3.4, 1 / l * là một ULE r-r'-bimod nếu chúng ta định nghĩa
(60) (ry *) x = r (y * x), (y * r ') x = y * (r' x)

cho RER, r 'er', y * em *, xe vl!.
bây giờ chúng ta xem xét các sản phẩm tensor cho bimodules. cho sm r và rn t chúng ta có thể hình thành t ông tensor sản UCT wit h đối với r của t ông đúng mô-đun m và t ông rời mod ULE n. sau đó chúng tôi có

đề xuất 3.6. các mr ® RNT tensor sản phẩm 5 là một st-bimodu / e nếu chúng ta định nghĩa sz = (s ® l) z và ZT = z (l ® t) f (> rze:5m r ® rn t. h ere s là tự đồng cấu x. -. sx của mr và t là kết thúc omorphism y -..> yt của rn


việc xác minh là ngay lập tức và được để lại cho người đọc
mệnh đề 3.4, 3.5, và 3.6 cho thấy một lợi thế trong việc đối phó với bimodules chứ không phải với một mặt ules mod: tensoring hoặc "dẫn đường" của bimodules có một vòng chung ở đúng nơi sản lượng bimodules.nó là thú vị để xem những gì sẽ xảy ra khi một trong các quá trình lặp. một kết quả đầu tiên của loại này là một kết hợp của các sản phẩm tensor, mà chúng tôi cung cấp cho trong

đề xuất 3.7. chúng tôi hcwe một đẳng cấu ru-bimodu / đ (rm s ® sn r) ® RPU vào rm s ® (5n r ® RPU) như vậy mà
(x ® y) ® z. -. . x ® (y ® z)

cho xem, yên, ze p


bằng chứng: cho ses chúng tôi có

xs ® (y ® z) = x ® s (y ® z) = x ® (s ® 1) (y ® z) = x ® (sy ® z).

do đó z cố định, fz (x, y ) x ® (y ® z) là một sản phẩm cân bằng của m và n. do đó chúng tôi có một đồng cấu nhóm m ® n vào m ® (n ® p) gửi x ® y. -. x ® (y ® z). bản đồ này l: x; ® y; -> l: x; ® (y; ® z). bây giờ xác định
f ('[x;. ® y;, z) = x i; ® (y ® z). này định nghĩa một sản phẩm cân bằng của ® n
đúng như t-mô-đun và p như trái t-mod ULE m.sau đó chúng tôi có một nhóm homomor phism của (m ® n) ® p vào m ® (n ® p) sao cho (x ® y) ® z -> x ® (y ® z). rõ ràng mũ t t là, trên thực tế, một r-u-bimodule đồng cấu của mình. trong một tương tự

Kết quả (Việt) 2:

Chúng tôi rời khỏi t ông chứng minh để t ông đọc.
một tr nt trường hợp đặc biệt của Döï Luaät 3.4 thu được bằng taki ng t ông kép mod ule M * = sừng (M R, R R) của một M R-mô-đun phải. Chúng tôi cho thấy tại t ông bắt đầu của cuộc thảo luận của chúng tôi rằng M quyền-mô-đun có thể được xem xét một cách tự nhiên là một R '- R - bimodule r' kết thúc M. Cũng R = RR R. Hence, bởi Döï Luaät 3.4, 1 / l * là một R-R'-bimod ule nếu chúng tôi xác định
(60) (ry *) x = r (y * x), (y * r') x = y * (r' x)

r E R, r' E R', y * M E *, x E! vl.
chúng tôi bây giờ xem xét tensor sản phẩm cho bimodules. Tôn cho sM R và RN T chúng tôi có thể hình thành t ông tensor prod Đại học giao thông wit h trọng r của t ông mô-đun phải M và t ông rời mod ule N. Sau đó chúng tôi có

Döï Luaät 3.6. Sản phẩm tensor 5 M R ® R N T là một đ S-T-bimodu nếu chúng tôi xác định sz = (s ® l) z và zt = z (l ® t) f (> r z e: 5M R ® RN T. H ere s là endomorphism x.-. SX M R và t là end omorphism y--> yt RN.


việc xác minh là ngay lập tức và còn lại để đọc.
đề xuất 3.4, 3.5, và 3,6 Hiển thị một lợi thế trong việc đối phó với bimodules hơn là với một mặt mod ules: Tensoring hay "dẫn" của bimodules có một vòng phổ biến ở đúng nơi sản lượng bimodules. Nó là thú vị để xem những gì sẽ xảy ra khi một iterates các quá trình này. Một kết quả đầu tiên của loại này là một associativity sản phẩm tensor, chúng tôi cung cấp cho trong

Döï Luaät 3.7. Chúng tôi hcwe một chiếc ru - bimodu đ đẳng cấu của (RM s ® sN r) ® rPu vào RM s ® (5N r ® rPu) như vậy mà
(x ® y) ® z.-. x ® (y ® z)

cho x E M, y E N, z E P.


bằng chứng: cho s E S hiện có

XS ® (y ® z) = x ® s (y ® z) = x ® (s ® 1) (y ® z) = x ® (sy ® z).

Hence Addon cố định z, fz (x, y) x ® (y ® z) là một sản phẩm cân bằng của M và N. Do đó chúng tôi có một phép đồng cấu nhóm M ® n vào M ® (N ® P) gửi x ® y.-. x ® (y ® z). Điều này bản đồ L:x; ® Y; --> L:x; ® (y; ® z). Bây giờ xác định
f ('[.x; ® Y; z) = tôi x; ® (y ® z). Điều này xác định một sản phẩm cân bằng của M ® N là
phải T-mô-đun và P là trái T-mod ule. Sau đó chúng tôi có một nhóm homomor­ phism (M ® n) ® P vào M ® (N ® P) như vậy đó (x ® y) ® z--> x ® (y ® z). Nó là rõ ràng t mũ t của ông là, trong thực tế, một phép đồng cấu R - U-bimodule. Trong một tương tự