These are the same three equations

These are the same three equations in two unknowns. Now the problem is: Find numbers
u and v that multiply the first and second columns to produce b. The system is solvable
exactly when such coefficients exist, and the vector (u,v) is the solution x.
We are saying that the attainable right-hand sides b are all combinations of the columns
of A. One possible right-hand side is the first column itself; the weights are u = 1 and
v = 0. Another possibility is the second column: u = 0 and v = 1. A third is the righthand
side b = 0. With u = 0 and v = 0, the vector b = 0 will always be attainable.
We can describe all combinations of the two columns geometrically: Ax = b can be
solved if and only if b lies in the plane that is spanned by the two column vectors (Figure
2.1). This is the thin set of attainable b. If b lies off the plane, then it is not a combination
of the two columns. In that case Ax = b has no solution.
What is important is that this plane is not just a subset of R
3
it is a subspace. It is
the column space of A, consisting of all combinations of the columns. It is denoted by
C(A). Requirements (i) and (ii) for a subspace of R
m are easy to check:
(i) Suppose b and b
0
lie in the column space, so that Ax = b for some x and Ax0 = b
0
for some x
0
. Then A(x + x
0
) = b + b
0
, so that b + b
0
is also a combination of the
columns. The column space of all attainable vectors b is closed under addition.
(ii) If b is in the column space C(A), so is any multiple cb. If some combination
of columns produces b (say Ax = b), then multiplying that combination by c will
produce cb. In other words, A(cx) = cb.
For another matrix A, the dimensions in Figure 2.1 may be very different. The smallest
possible column space (one vector only) comes from the zero matrix A = 0. The
2.1 Vector Spaces and Subspaces 81
only combination of the columns is b = 0. At the other extreme, suppose A is the 5 by
5 identity matrix. Then C(I) is the whole of R
5
; the five columns of I can combine to
produce any five-dimensional vector b. This is not at all special to the identity matrix.
Any 5 by 5 matrix that is nonsingular will have the whole of R
5
as its column space.
For such a matrix we can solve Ax = b by Gaussian elimination; there are five pivots.
Therefore every b is in C(A) for a nonsingular matrix.
You can see how Chapter 1 is contained in this chapter. There we studied n by n
matrices whose column space is R
n
. Now we allow singular matrices, and rectangular
matrices of any shape. Then C(A) can be somewhere between the zero space and
the whole space R
m. Together with its perpendicular space, it gives one of our two
approaches to understanding Ax = b.

Kết quả (Việt) 2:

Đây là ba phương trình giống nhau trong hai ẩn. Bây giờ vấn đề là: Tìm số
u và v là nhân cột đầu tiên và thứ hai để sản xuất b. Hệ thống này là giải được
chính xác khi nào hệ số như vậy tồn tại, và vector (u, v) là giải pháp x.
Chúng tôi đang nói rằng có thể đạt được cánh tay phải bên b là tất cả các kết hợp của các cột
của A. Một bên tay phải có thể là cột đầu tiên chính nó; trọng lượng là u = 1 và
v = 0. Một khả năng khác là cột thứ hai: u = 0 và v = 1. Một phần ba là tay phải
phía b = 0. Với u = 0 và v = 0, vectơ b = 0 Sẽ luôn có thể đạt được.
Chúng tôi có thể mô tả tất cả các kết hợp của hai cột hình học: Ax = b có thể được
giải quyết nếu và chỉ nếu b nằm trong mặt phẳng đó được mở rộng ra bởi hai vectơ cột (Hình
2.1). Đây là bộ mỏng đạt được b. Nếu b nằm xuống máy bay, sau đó nó không phải là một sự kết hợp
của hai cột. Trong trường hợp đó Ax = b không có giải pháp.
Điều quan trọng là chiếc máy bay này không chỉ là một tập hợp con của R
3
là một không gian con. Đó là
không gian của cột A, bao gồm tất cả các kết hợp của các cột. Nó được ký hiệu là
C (A). Yêu cầu (i) và (ii) cho một không gian con của R
m là dễ dàng để kiểm tra:
(i) Giả sử b và b
0
nằm trong không gian cột, do đó Ax = b cho một số x và Ax0 = b
0
cho một số x
0
. Sau đó A (x + x
0) = b + b 0, do đó b + b 0 cũng là một sự kết hợp của các cột. Các không gian cột của tất cả các vectơ đạt b được đóng theo ngoài. (Ii) Nếu b là trong không gian cột C (A), như vậy là bất kỳ nhiều cb. Nếu một số sự kết hợp của các cột tạo b (nói Ax = b), sau đó nhân kết hợp đó bằng c sẽ sản xuất cb. Nói cách khác, A (cx) = cb. Đối với một ma trận A, kích thước trong hình 2.1 có thể rất khác nhau. Nhỏ nhất cột không gian có thể (một vector chỉ) đến từ zero ma trận A = 0. 2.1 Không gian Vector và Subspaces 81 chỉ sự kết hợp của các cột là b = 0. Ở thái cực khác, giả sử A là 5 bởi ma trận 5 sắc . Sau đó, C (I) là toàn bộ của R 5; các năm cột của tôi có thể kết hợp để sản xuất bất kỳ năm chiều vector b. Đây không phải là ở tất cả các đặc biệt để nhận dạng ma trận. Bất kỳ 5 của 5 ma trận đó là nonsingular sẽ có toàn bộ của R 5 là không gian cột của nó. Đối với một ma trận như thế chúng ta có thể giải quyết Ax = b bằng cách khử Gauss; có năm trụ. Do đó mỗi b là trong C (A) cho một ma trận nonsingular. Bạn có thể xem như thế nào Chương 1 được chứa trong chương này. Hiện chúng tôi đã nghiên cứu n bởi n ma trận mà không gian cột là R n. Bây giờ chúng ta cho phép các ma trận số ít, và hình chữ nhật ma trận hình dạng bất kỳ. Sau đó, C (A) có thể là một nơi nào đó giữa không gian zero và toàn bộ không gian R m. Cùng với không gian vuông góc của nó, nó sẽ cho một trong hai chúng ta cách tiếp cận để hiểu Ax = b.