Solutions of the paradox[edit]Sever

Solutions of the paradox[edit]
Several approaches have been proposed for solving the paradox.
Expected utility theory[edit]
The classical resolution of the paradox involved the explicit introduction of a utility function, an expected utility hypothesis, and the presumption of diminishing marginal utility of money.
In Daniel Bernoulli's own words:
The determination of the value of an item must not be based on the price, but rather on the utility it yields…. There is no doubt that a gain of one thousand ducats is more significant to the pauper than to a rich man though both gain the same amount.
A common utility model, suggested by Bernoulli himself, is the logarithmic function U(w) = ln(w) (known as “log utility”). It is a function of the gambler’s total wealth w, and the concept of diminishing marginal utility of money is built into it. The expected utility hypothesis posits that a utility function exists whose expected net change is a good criterion for real people's behavior. For each possible event, the change in utility ln(wealth after the event) - ln(wealth before the event) will be weighted by the probability of that event occurring. Let c be the cost charged to enter the game. The expected utility of the lottery now converges to a finite value:

This formula gives an implicit relationship between the gambler's wealth and how much he should be willing to pay to play (specifically, any c that gives a positive expected utility). For example, with log utility a millionaire should be willing to pay up to $10.94, a person with $1000 should pay up to $5.94, a person with $2 should pay up to $2, and a person with $0.60 should borrow $0.87 and pay up to $1.47.
Before Daniel Bernoulli published, in 1728, another Swiss mathematician, Gabriel Cramer, had already found parts of this idea (also motivated by the St. Petersburg Paradox) in stating that
the mathematicians estimate money in proportion to its quantity, and men of good sense in proportion to the usage that they may make of it.
He demonstrated in a letter to Nicolas Bernoulli [3] that a square root function describing the diminishing marginal benefit of gains can resolve the problem. However, unlike Daniel Bernoulli, he did not consider the total wealth of a person, but only the gain by the lottery.
This solution by Cramer and Bernoulli, however, is not completely satisfying, since the lottery can easily be changed in a way such that the paradox reappears. To this aim, we just need to change the game so that it gives the (even larger) payoff . Again, the game should be worth an infinite amount. More generally, one can find a lottery that allows for a variant of the St. Petersburg paradox for every unbounded utility function, as was first pointed out by Menger (Menger 1934).
Recently, expected utility theory has been extended to arrive at more behavioral decision models. In some of these new theories, as in cumulative prospect theory, the St. Petersburg paradox again appears in certain cases, even when the utility function is concave, but not if it is bounded (Rieger & Wang 2006).
Probability weighting[edit]
Nicolas Bernoulli himself proposed an alternative idea for solving the paradox. He conjectured that people will neglect unlikely events (de Montmort 1713). Since in the St. Petersburg lottery only unlikely events yield the high prizes that lead to an infinite expected value, this could resolve the paradox. The idea of probability weighting resurfaced much later in the work on prospect theory by Daniel Kahneman and Amos Tversky. However, their experiments indicated that, very much to the contrary, people tend to overweight small probability events. Therefore the proposed solution by Nicolas Bernoulli is nowadays not considered to be satisfactory.[according to whom?]
Cumulative prospect theory is one popular generalization of expected utility theory that can predict many behavioral regularities (Tversky & Kahneman 1992). However, the overweighting of small probability events introduced in cumulative prospect theory may restore the St. Petersburg paradox. Cumulative prospect theory avoids the St. Petersburg paradox only when the power coefficient of the utility function is lower than the power coefficient of the probability weighting function (Blavatskyy 2005). Intuitively, the utility function must not simply be concave, but it must be concave relative to the probability weighting function to avoid the St. Petersburg paradox.
Rejection of mathematical expectation[edit]
Various authors, including Jean le Rond d'Alembert and John Maynard Keynes, have rejected maximization of expectation (even of utility) as a proper rule of conduct. Keynes, in particular, insisted that the relative risk of an alternative could be sufficiently high to reject it even were its expectation enormous.
Answer by sampling[edit]
There is one mathematically correct answer with sampling by William Feller (obtained in 1937). Sufficient knowledge of probability theory and statistics is necessary to fully understand Feller's answer. However, it can be understood intuitively because it uses the technique "to play this game with a great number of people, and to then calculate the expectation from the sample". According to this technique, if the expectation of a game diverges, the assumption that the game can be played in infinite time is necessary and if the number of times of the game is limited, the expectation converges to a much smaller value.
Finite St. Petersburg lotteries[edit]
The classical St. Petersburg lottery assumes that the casino has infinite resources. This assumption is unrealistic, particularly in connection with the paradox, which involves the reactions of ordinary people to the lottery. Of course, the resources of an actual casino (or any other potential backer of the lottery) are finite. More importantly, the expected value of the lottery only grows logarithmically with the resources of the casino. As a result, the expected value of the lottery, even when played against a casino with the largest resources realistically conceivable, is quite modest. If the total resources (or total maximum jackpot) of the casino are W dollars, then L = floor(log2(W)) is the maximum number of times the casino can play before it no longer covers the next bet. The expected value E of the lottery then becomes:

The following table shows the expected value E of the game with various potential bankers and their bankroll W (with the assumption that if you win more than the bankroll you will be paid what the bank has):
Banker Bankroll Expected value of lottery
Friendly game $100 $7.5625
Millionaire $1,000,000 $20.91
Billionaire $1,000,000,000 $30.86
Bill Gates (2008)
$67,000,000,000[4]
$36.95
U.S. GDP (2007)
$13.8 trillion[5]
$44.57
World GDP (2007)
$54.3 trillion[5]
$46.54
Googolaire
$10100 $333.14
A rational person might not find the lottery worth even the modest amounts in the above table, suggesting that the naive decision model of the expected return causes essentially the same problems as for the infinite lottery. Even so, the possible discrepancy between theory and reality is far less dramatic.
The assumption of infinite resources can produce other apparent paradoxes in economics. In the martingale betting system, a gambler betting on a tossed coin doubles his bet after every loss, so that an eventual win would cover all losses; in practice, this requires the gambler's bankroll to be infinite. The gambler's ruin concept shows a gambler playing a negative expected value game will eventually go broke, regardless of his betting system.

Kết quả (Việt) 1:

Giải pháp của nghịch lý [sửa]Một số phương pháp đã được đề xuất để giải quyết nghịch lý.Lý thuyết dự kiến Tiện ích [sửa]Cổ điển giải quyết nghịch lý liên quan đến việc giới thiệu rõ ràng của một chức năng hữu ích, một giả thuyết dự kiến Tiện ích và giả định giảm bớt các tiện ích cận biên của tiền.Nói cách riêng của Daniel Bernoulli:Xác định giá trị của một mục không phải được dựa trên giá cả, nhưng thay vào tiện ích nó mang lại... Có là không có nghi ngờ rằng một tăng 1.000 ducat là quan trọng hơn cho người ăn xin hơn để một người đàn ông giàu mặc dù cả hai đạt được cùng một số tiền.Một mô hình Tiện ích phổ biến, đề xuất bởi Bernoulli mình, là hàm lôgarít U(w) = ln(w) (được biết đến như là "đăng nhập Tiện ích"). Nó là một chức năng của các con bạc tất cả sự giàu có, và khái niệm giảm bớt các tiện ích cận biên của tiền được xây dựng vào nó. Giả thuyết Tiện ích dự kiến posits rằng một chức năng tiện ích tồn tại mà thay đổi net dự kiến sẽ là một tiêu chí tốt cho hành vi của những người thực sự. Cho mỗi sự kiện có thể, sự thay đổi trong Tiện ích ln (cải sau sự kiện) - ln (sự giàu có trước khi sự kiện này) sẽ được tính bởi xác suất của sự kiện đó xảy ra. Cho c là chi phí trả để tham gia các trò chơi. Các tiện ích dự kiến của xổ số bây giờ hội tụ thành một giá trị hữu hạn: Công thức này cung cấp cho một mối quan hệ tiềm ẩn giữa sự giàu có của các con bạc và bao nhiêu ông nên sẵn sàng để trả tiền để chơi (đặc biệt, bất kỳ c cung cấp cho một tiện ích dự kiến sẽ tích cực). Ví dụ, với tiện ích đăng nhập một triệu phú nên sẵn sàng trả lên đến $10.94, một người với $1.000 phải trả tiền lên đến $5,94, một người với $2 phải trả tiền lên đến $2, và một người với $0,60 nên vay $0,87 và trả tiền lên đến $1.47.Trước khi xuất bản Daniel Bernoulli, năm 1728, một nhà toán học người Thụy sĩ, Gabriel Cramer, đã đã tìm thấy một phần của ý tưởng này (cũng thúc đẩy bởi những nghịch lý Peterburg) trong nói rằngCác nhà toán học ước tính tiền theo tỷ lệ số lượng của nó, và người đàn ông tốt ý nghĩa theo tỷ lệ sử dụng mà họ có thể làm cho nó.Ông đã chứng minh trong một bức thư cho Nicolas Bernoulli [3] một chức năng bậc hai mô tả quá ít lợi ích cận biên của lợi nhuận có thể giải quyết vấn đề. Tuy nhiên, không giống như Daniel Bernoulli, ông đã không xem xét tất cả sự giàu có của một người, nhưng chỉ đạt được bằng cách xổ số.Giải pháp này bởi Cramer và Bernoulli, Tuy nhiên, không phải là hoàn toàn thoả mãn, kể từ khi xổ số có thể dễ dàng được thay đổi trong một cách, như vậy mà nghịch lý lại xuất hiện. Đến mục tiêu này, chúng tôi chỉ cần thay đổi các trò chơi để nó mang lại cho phần thưởng (lớn hơn). Một lần nữa, các trò chơi nên giá trị một số lượng vô hạn. Nói chung, người ta có thể tìm thấy một xổ số kiến thiết cho phép cho một biến thể của nghịch lý St. Petersburg cho mọi chức năng chặn Tiện ích, như lần đầu tiên đã được chỉ ra bởi Menger (Menger năm 1934).Gần đây, lý thuyết dự kiến Tiện ích đã được mở rộng đến nhiều quyết định hành vi mô hình. Trong một số những lý thuyết mới, như trong lý thuyết khách hàng tiềm năng tích lũy, nghịch lý St. Petersburg lại xuất hiện trong một số trường hợp, ngay cả khi các chức năng tiện ích là lõm, nhưng không nếu nó bị chặn (Rieger & Wang 2006).Xác suất cân [sửa]Nicolas Bernoulli tự đề xuất một ý tưởng thay thế cho việc giải quyết nghịch lý. Ông phỏng đoán rằng mọi người sẽ bỏ bê không sự kiện (de Montmort 1713). Kể từ khi xổ số St. Petersburg chỉ sự kiện không mang lại các giải thưởng cao dẫn đến một giá trị kỳ vọng vô hạn, điều này có thể giải quyết nghịch lý. Ý tưởng của xác suất nặng do nhiều sau này trong các tác phẩm về viễn cảnh lý thuyết của Daniel Kahneman và Amos Tversky. Tuy nhiên, thử nghiệm của họ chỉ ra rằng, rất nhiều để trái, người dân có xu hướng thừa cân sự kiện xác suất nhỏ. Do đó các giải pháp được đề xuất bởi Nicolas Bernoulli hiện nay không được coi là thỏa đáng.[theo ai?]Khách hàng tiềm năng tích lũy lý thuyết là một phổ biến tổng quát của lý thuyết dự kiến Tiện ích có thể dự đoán nhiều hành vi regularities (Tversky & Kahneman 1992). Tuy nhiên, overweighting sự kiện nhỏ xác suất giới thiệu khách hàng tiềm năng tích lũy về lý thuyết có thể khôi phục nghịch lý St. Petersburg. Lý thuyết khách hàng tiềm năng tích lũy tránh nghịch lý St. Petersburg chỉ khi hệ quyền lực của các chức năng tiện ích là thấp hơn hệ quyền lực của xác suất hệ số chức năng (Blavatskyy năm 2005). Trực giác, các chức năng tiện ích không phải chỉ đơn giản là lõm, nhưng nó phải được lõm tương đối so với xác suất hệ số chức năng để tránh những nghịch lý St. Petersburg.Từ chối của toán học kỳ vọng [sửa]Tác giả khác nhau, bao gồm cả Jean le Rond d'Alembert và John Maynard Keynes, đã từ chối tối đa hóa của kỳ vọng (ngay cả các tiện ích) theo quy định thích hợp hành vi. Keynes, trong đó, nhấn mạnh rằng nguy cơ tương đối của một thay thế có thể là đủ cao để từ chối nó thậm chí được kỳ vọng của nó rất lớn.Trả lời bằng cách lấy mẫu [sửa]Đó là một câu trả lời chính xác về mặt toán học với mẫu bởi William Feller (thu được trong năm 1937). Các kiến thức đầy đủ về lý thuyết xác suất và thống kê là cần thiết để hiểu đầy đủ của Feller câu trả lời. Tuy nhiên, nó có thể được hiểu bằng trực giác vì nó sử dụng các kỹ thuật "để chơi trò chơi này với một số lượng người lớn, và sau đó tính toán kỳ vọng từ mẫu". Theo kỹ thuật này, nếu kỳ vọng của một trò chơi diverges, giả định rằng các trò chơi có thể được chơi trong thời gian vô hạn là cần thiết và nếu số lần của trò chơi là hạn chế, những kỳ vọng hội tụ thành một giá trị nhỏ hơn nhiều.Hữu hạn St. Petersburg xổ số kiến thiết [sửa]Xổ số St. Petersburg cổ điển giả định rằng các casino có nguồn tài nguyên vô hạn. Giả định này là không thực tế, đặc biệt là liên quan đến nghịch lý liên quan đến các phản ứng của người dân bình thường với xổ số. Tất nhiên, các nguồn tài nguyên của một sòng bạc thực tế (hoặc bất kỳ khác backer tiềm năng của xổ số) là hữu hạn. Quan trọng hơn, giá trị kỳ vọng của xổ số chỉ phát triển logarithmically với các nguồn lực của các casino. Kết quả là, giá trị kỳ vọng của xổ số kiến thiết, ngay cả khi chơi chống lại một sòng bạc với các nguồn tài nguyên lớn nhất thực tế conceivable, là khá khiêm tốn. Nếu tất cả tài nguyên (hoặc tổng số tối đa jackpot) của các sòng bạc có W đô la, sau đó L = floor(log2(W)) là số lần các casino có thể chơi trước khi nó không còn bao gồm việc đặt cược tiếp theo, tối đa. Giá trị kỳ vọng E của xổ số sau đó sẽ trở thành: Bảng sau hiển thị giá trị kỳ vọng E của trò chơi với nhiều ngân hàng tiềm năng và W bankroll của họ (với giả định rằng nếu bạn giành chiến thắng nhiều hơn bankroll bạn sẽ được thanh toán ngân hàng có):Ngân hàng Bankroll mong đợi giá trị của xổ số kiến thiếtThân thiện trò chơi $100 $7.5625Triệu phú $1.000.000 $20.91Tỷ phú $1,000,000,000 $30.86Bill Gates (2008)$67,000,000,000 [4]$36.95US GDP (2007)$13.8 nghìn tỷ [5]$44.57Thế giới GDP (2007)$54,3 nghìn tỷ [5]$46.54Googolaire$10100 $333.14Một người hợp lý có thể không tìm thấy xổ số giá trị ngay cả số tiền khiêm tốn trong bảng trên, cho thấy rằng các mô hình quyết định ngây thơ của sự trở lại dự kiến sẽ gây ra chủ yếu là các vấn đề tương tự đối với xổ số vô hạn. Mặc dù vậy, sự khác biệt có thể giữa lý thuyết và thực tế là ít đáng kể.Giả định của nguồn tài nguyên vô hạn có thể sản xuất các nghịch lý rõ ràng trong kinh tế. Ở martingale betting hệ thống, một con bạc cược vào một đồng xu tossed đôi đặt cược của mình sau khi mất mỗi, do đó một chiến thắng cuối cùng sẽ bao gồm tất cả thiệt hại; trong thực tế, điều này đòi hỏi các con bạc bankroll là vô hạn. Các con bạc hủy hoại khái niệm cho thấy một con bạc chơi một trò chơi tiêu cực giá trị kỳ vọng cuối cùng sẽ đi phá vỡ, bất kể hệ thống cá cược của mình.

Kết quả (Việt) 2:

Giải pháp của nghịch lý [sửa]
Một số phương pháp đã được đề xuất để giải quyết các nghịch lý.
Dự kiến lý thuyết tiện ích [sửa]
Các giải pháp cổ điển của những nghịch lý liên quan đến việc giới thiệu rõ ràng của một chức năng tiện ích, một giả thuyết thỏa dụng kỳ vọng, và giả định giảm bớt ích cận biên tiền.
Theo cách nói của Daniel Bernoulli:
Việc xác định giá trị của một item không được dựa vào giá cả, mà là trên các tiện ích mà nó mang .... Không có nghi ngờ rằng một đạt một nghìn ducat có ý nghĩa hơn đối với người ăn xin hơn là một người đàn ông giàu có mặc dù cả hai đều đạt được số lượng tương tự.
Một mô hình tiện ích phổ biến, được đề xuất bởi Bernoulli mình, là hàm logarit U (w) = ln ( w) (được gọi là "đăng nhập tiện ích"). Đây là một chức năng của tổng w giàu có của con bạc, và các khái niệm giảm bớt ích cận biên của tiền được xây dựng vào nó. Giả thuyết thỏa dụng kỳ vọng thừa nhận rằng một chức năng tiện ích tồn tại mà dự kiến sẽ thay đổi ròng là một tiêu chí tốt cho hành vi con người thực của. Đối với mỗi sự kiện có thể, sự thay đổi trong ln tiện ích (tài sản sau sự kiện) - ln (tài sản trước khi sự kiện này) sẽ được cân bằng xác suất của sự kiện đó xảy ra. Hãy c là chi phí tính vào các trò chơi. Tiện ích dự kiến của giờ xổ số hội tụ tới một giá trị hữu hạn: Công thức này cho một mối quan hệ tiềm ẩn giữa sự giàu có của con bạc và bao nhiêu anh nên sẵn sàng trả tiền để chơi (cụ thể, bất kỳ c cung cấp cho một tiện ích kỳ vọng dương). Ví dụ, với tiện ích ghi một triệu phú nên sẵn sàng trả đến $ 10,94, một người có $ 1000 nên phải trả lên đến $ 5,94, một người có 2 $ nên trả lên đến $ 2, và một người có 0,60 $ nên vay mượn $ 0,87 và trả tiền lên đến $ 1,47 . Trước khi Daniel Bernoulli xuất bản, năm 1728, một nhà toán học Thụy Sĩ, Gabriel Cramer, đã tìm thấy một phần của ý tưởng này (cũng được thúc đẩy bởi các St. Petersburg Paradox) trong đó nêu rằng các nhà toán học ước lượng tiền tương ứng với số lượng của nó, và người đàn ông tốt cảm giác tương ứng với việc sử dụng rằng họ có thể làm cho nó. Ông đã chứng minh trong một bức thư gửi cho Nicolas [3] Bernoulli rằng một hàm căn bậc hai mô tả các lợi ích cận biên giảm dần của mức tăng có thể giải quyết vấn đề. Tuy nhiên, không giống như Daniel Bernoulli, ông đã không xem xét tổng số tài sản của một người, nhưng chỉ đạt được bằng cách xổ số. Giải pháp này bởi Cramer và Bernoulli, tuy nhiên, không phải là hoàn toàn thỏa mãn, kể từ xổ số có thể dễ dàng được thay đổi theo cách như vậy rằng nghịch lý lại xuất hiện. Để mục tiêu này, chúng ta chỉ cần thay đổi các trò chơi để nó mang lại cho (thậm chí lớn hơn) tiền chi trả. Một lần nữa, các trò chơi nên có giá trị giới hạn. Tổng quát hơn, người ta có thể tìm thấy một xổ số cho phép cho một biến thể của nghịch lý St. Petersburg cho mỗi chức năng tiện ích vô biên, như lần đầu tiên được chỉ ra bởi Menger (Menger 1934). Gần đây, lý thuyết thỏa dụng kỳ vọng đã được mở rộng để đi đến hành vi hơn mô hình quyết định. Trong một số các lý thuyết mới, như trong lý thuyết triển vọng tích lũy, nghịch lý St. Petersburg lần nữa xuất hiện trong một số trường hợp, ngay cả khi các chức năng tiện ích là lõm, nhưng nếu nó được bao bọc (Rieger & Wang 2006). Xác suất trọng [sửa] Nicolas Bernoulli mình đề xuất một ý tưởng thay thế cho việc giải quyết các nghịch lý. Ông phỏng đoán rằng mọi người sẽ bỏ qua các sự kiện khó (de Montmort 1713). Vì trong xổ số St. Petersburg chỉ các sự kiện không mang lại các giải thưởng cao dẫn đến một giá trị kỳ vọng vô hạn, điều này có thể giải quyết các nghịch lý. Ý tưởng về khả nặng xuất hiện trở lại sau nhiều trong công việc trên học thuyết triển bởi Daniel Kahneman và Amos Tversky. Tuy nhiên, thí nghiệm của họ chỉ ra rằng, rất nhiều ngược lại, mọi người có xu hướng thừa cân sự kiện xác suất nhỏ. Do đó các giải pháp được đề xuất bởi Nicolas Bernoulli ngày nay không được coi là đạt yêu cầu. [Theo ai?] thuyết triển vọng tích lũy là một khái quát phổ biến của lý thuyết thỏa dụng kỳ vọng có thể dự đoán nhiều quy tắc ứng xử (Tversky & Kahneman 1992). Tuy nhiên, các overweighting các sự kiện xác suất nhỏ giới thiệu về lý thuyết triển vọng tích lũy có thể khôi phục lại nghịch lý St. Petersburg. Thuyết triển vọng tích lũy tránh được nghịch lý St. Petersburg chỉ khi hệ số công suất của các chức năng tiện ích là thấp hơn so với các hệ số sức mạnh của các hàm xác suất trọng (Blavatskyy 2005). Bằng trực giác, chức năng tiện ích không chỉ đơn giản là lõm, nhưng nó phải được lõm tương đối so với các hàm xác suất trọng để tránh St. Petersburg nghịch lý. Từ chối kỳ vọng toán học [sửa] tác giả khác nhau, trong đó có Jean le Rond d'Alembert và John Maynard Keynes, đã bác bỏ tối đa hóa sự mong đợi (kể cả các tiện ích) như là một quy tắc ứng xử thích hợp. Keynes, đặc biệt nhấn mạnh rằng nguy cơ tương đối của một sự thay thế có thể là đủ cao để từ chối nó thậm chí là kỳ vọng của nó rất lớn. trả lời bằng cách lấy mẫu [sửa] Có một câu trả lời chính xác về mặt toán học với lấy mẫu bởi William Feller (thu được trong năm 1937). Kiến thức đầy đủ về lý thuyết xác suất và thống kê là cần thiết để hiểu đầy đủ câu trả lời của Feller. Tuy nhiên, nó có thể được hiểu bằng trực giác bởi vì nó sử dụng các kỹ thuật "để chơi trò chơi này với một số lượng lớn của người dân, và sau đó tính toán sự mong đợi từ mẫu". Theo kỹ thuật này, nếu kỳ vọng của một trò chơi phân kỳ, giả định rằng các trò chơi có thể được chơi trong thời gian vô hạn là cần thiết và nếu số lần của trò chơi là có hạn, kỳ vọng hội tụ tới một giá trị nhỏ hơn nhiều. Finite St. Petersburg xổ số [sửa] Các cổ điển St. Petersburg xổ số giả định rằng các casino có nguồn tài nguyên vô hạn. Giả định này là không thực tế, đặc biệt là trong mối liên hệ với những nghịch lý, trong đó bao gồm các phản ứng của những người bình thường đến xổ số. Tất nhiên, các nguồn lực của một sòng bạc thực tế (hoặc bất kỳ người ủng hộ tiềm năng khác của xổ số) là hữu hạn. Quan trọng hơn, giá trị kỳ vọng của xổ số chỉ phát triển theo hàm mũ với các nguồn lực của casino. Kết quả là, giá trị kỳ vọng của xổ số kiến thiết, ngay cả khi chơi với một casino với nguồn tài nguyên lớn nhất trên thực tế có thể tưởng tượng, là khá khiêm tốn. Nếu tổng các nguồn lực (hoặc tổng số jackpot tối đa) của casino là USD W, sau đó L = sàn (log2 (W)) là số lần tối đa các casino có thể chơi trước khi nó không còn bao gồm các cược tiếp theo. Dự kiến giá trị E của xổ số kiến thiết sau đó trở thành: Bảng sau đây cho thấy các giá trị kỳ vọng E của trò chơi với các ngân hàng tiềm năng khác nhau và bankroll W của họ (với giả định rằng nếu bạn giành chiến thắng nhiều hơn so với bankroll bạn sẽ được trả những gì các ngân hàng có) : Banker Bankroll Giá trị kỳ vọng của xổ số thân trò chơi 100 $ 7,5625 $ Millionaire $ 1.000.000 $ 20,91 tỷ phú $ 1000000000 $ 30,86 Bill Gates (2008) $ 67000000000 [4] $ 36,95 Mỹ GDP (2007) $ 13800000000000 [5] $ 44,57 Thế giới GDP (2007) $ 54300000000000 [5] $ 46,54 Googolaire $ 10.100 $ 333,14 Một người có lý trí có thể không tìm xổ số trị giá thậm chí số tiền khiêm tốn trong bảng trên, cho thấy rằng các mô hình quyết định ngây thơ của lợi nhuận kỳ vọng gây ra chủ yếu các vấn đề tương tự như đối với xổ số vô hạn. Mặc dù vậy, sự khác biệt có thể có giữa lý thuyết và thực tế là ít hơn đáng kể. Các giả thiết về nguồn tài nguyên vô hạn có thể tạo ra những nghịch lý rõ ràng khác trong kinh tế. Trong các hệ thống cá cược martingale, một con bạc đặt cược vào một đồng xu ném đôi đặt cược của mình sau mỗi lần mất mát, do đó, một chiến thắng cuối cùng sẽ bao gồm tất cả các khoản lỗ; trong thực tế, điều này đòi hỏi bankroll của con bạc là vô hạn. Khái niệm hủy hoại của con bạc cho thấy một con bạc chơi một trò chơi tiêu cực giá trị kỳ vọng cuối cùng sẽ thất bại, bất kể hệ thống cá cược của mình.