circumscribed circle of triangle AD

circumscribed circle of triangle ADE is equal to the distance between the centers of the inscribed and circumscribed circles of triangle ABC.

§2. Right triangles
5.15. In triangle ABC, angle ∠C is a right one. Prove that r = a+b−c and rc = a+b+c .
2 2
In triangle ABC, let M be the midpoint of side AB. Prove that CM = 12 AB if and only if ∠ACB = 90◦.

Consider trapezoid ABCD with base AD. The bisectors of the outer angles at vertices A and B meet at point P and the bisectors of the angles at vertices C and D meet at point Q. Prove that the length of segment P Q is equal to a half perimeter of the trapezoid.

In an isosceles triangle ABC with base AC bisector CD is drawn. The line that passes through point D perpendicularly to DC intersects AC at point E. Prove that

EC = 2AD.

The sum of angles at the base of a trapezoid is equal to 90◦. Prove that the segment that connects the midpoints of the bases is equal to a half difference of the bases.

In a right triangle ABC, height CK from the vertex C of the right angle is drawn and in triangle ACK bisector CE is drawn. Prove that CB = BE.

In a right triangle ABC with right angle ∠C, height CD and bisector CF are drawn; let DK and DL be bisectors in triangles BDC and ADC. Prove that CLF K is a square.

On hypothenuse AB of right triangle ABC, square ABP Q is constructed outwards.

Let α = ∠ACQ, β = ∠QCP and γ = ∠P CB. Prove that cos β = cos α • cos γ. See also Problems 2.65, 5.62.

§3. The equilateral triangles

5.23. From a point M inside an equilateral triangle ABC perpendiculars M P , M Q and M R are dropped to sides AB, BC and CA, respectively. Prove that

Kết quả (Việt) 1:

đường tròn của tam giác ADE là tương đương với khoảng cách giữa các trung tâm của vòng tròn và circumscribed ghi của tam giác ABC.§2. Bên phải hình tam giác 5.15. trong tam giác ABC, góc ∠C là một trong những quyền. Chứng minh rằng r = a + b−c và rc = a + b + c.2 2 Trong tam giác ABC, M là trung điểm cạnh AB. chứng minh rằng CM cho = 12 AB nếu và chỉ nếu ∠ACB = 90◦. Hãy xem xét các hình thang ABCD với cơ sở quảng cáo. Bisectors góc bên ngoài tại đỉnh A và B đáp ứng tại điểm P và bisectors góc ở đỉnh C và D gặp nhau tại điểm Q. chứng minh rằng độ dài của đoạn P Q là tương đương với một nửa chu vi của hình thang. Trong một tam giác isosceles ABC với cơ sở AC bisector CD được rút ra. Đường đi qua điểm D vành để DC cắt AC tại điểm E. chứng minh rằngEC = 2AD. Tổng của các góc độ tại các cơ sở của một hình thang là tương đương với 90◦. Chứng minh rằng các phân đoạn nối midpoints trong những căn cứ là tương đương với một difference một nửa của các căn cứ. Trong một tam giác ABC, chiều cao CK từ đỉnh C ở góc bên phải được rút ra và tam giác ACK bisector CE là rút ra. Chứng minh rằng CB = BE. Trong một tam giác ABC với góc bên phải ∠C, chiều cao đĩa CD và bisector CF được rút ra; Hãy để DK và DL là bisectors trong tam giác BDC và ADC. Chứng minh rằng CLF K là một hình vuông. Ngày hypothenuse AB của tam giác ABC, vuông ABP Q xây dựng outwards.Hãy để α = ∠ACQ, β = ∠QCP và γ = ∠P CB. Chứng minh rằng cos β = cos α • cos γ. Xem thêm vấn đề 2,65, 5,62.§3. Hình tam giác cạnh đều nhau5.23. từ một điểm M trong một tam giác đều ABC perpendiculars M P, M Q và M R được thả xuống bên cạnh AB, BC và CA, tương ứng. Chứng minh rằng

Kết quả (Việt) 2:

đường tròn ngoại tiếp của tam giác ADE bằng với khoảng cách giữa các trung tâm của vòng tròn ghi và circumscribed của tam giác ABC.

§2. Ngay tam giác
5.15. Trong tam giác ABC, góc ∠C là một trong những quyền. Chứng minh rằng r = a + b-c và rc = a + b + c.
2 2
Trong tam giác ABC, để cho M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng CM = 12 AB khi và chỉ khi ∠ACB = 90◦.

Hãy xem xét ABCD thang với cơ sở AD. Các đường trung của các góc ngoài tại đỉnh A và B gặp nhau tại điểm P và đường trung của các góc tại đỉnh C và D gặp nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng độ dài của đoạn PQ là tương đương với một chu vi nửa của hình thang.

Trong một tam giác cân ABC với AC cơ sở phân giác CD được rút ra. Các dòng đi qua điểm D vuông góc với DC cắt AC tại điểm E. Chứng minh rằng

EC = 2AD.

Các tổng các góc ở đáy của một hình thang bằng 90◦. Chứng minh rằng các phân khúc nối các trung điểm của các căn cứ bằng một ff erence nửa di trong những căn cứ.

Trong một tam giác ABC, chiều cao CK từ đỉnh C của góc bên phải được rút ra và trong tam giác ACK phân giác CE được rút ra. Chứng minh rằng CB = BE.

Trong một tam giác ABC với góc ∠C, chiều cao đĩa CD và phân giác CF được rút ra; để cho DK và DL là đường trung trong tam giác BDC và ADC. Chứng minh rằng CLF K là một hình vuông.

Mở hypothenuse AB của tam giác ABC, vuông ABP Q được xây dựng hướng ra ngoài.

Hãy α = ∠ACQ, β = ∠QCP và γ = ∠P CB. Chứng minh rằng cos β = cos α • cos γ. Xem thêm vấn đề 2,65, 5,62.

§3. Các giác đều tam giác

5,23. Từ một điểm M bên trong một tam giác đều ABC vuông góc MP, MQ và MR được giảm xuống bên AB, BC và CA, tương ứng. Chứng minh rằng