The steady-state points, y¯, are ob

The steady-state points, y¯, are obtained by solving

y¯ − ry¯(1 − y¯) = 0


Simplifying gives


y¯. 1 − r
r


.
+ y¯ = 0


The two steady-state points are

y¯ = 0 (19.6)

and


y¯ =

r − 1 (19.7)
r


A strictly positive steady-state equilibrium exists only if r > 1. We will therefore assume that r> 1. If r ≤ 1, then the steady states are 0 and negative respectively, which are of no interest in economics.
To determine the stability properties of these two equilibria, we apply theorem 19.1, which requires that we evaluate the derivative of equation (19.5) at the points y¯. We get


dyt+1 r
dyt =

− 2ryt

.r at y¯ = 0
= 2 − r at y¯ = (r − 1)/r



This result tells us that the point y¯ = 0 is unstable given our assumption that r > 1; the point y¯ = (r − 1)/r is locally stable only if |2 − r| < 1. Expressed differently, the positive steady-state point is locally stable if and only if

1 < r < 3

Let’s draw the phase diagram for this difference equation. We know that the graph cuts through the 45◦ line at the points 0 and (r − 1)/r. From our calculation of the slope, we know that the graph peaks at y = 1/2 (where the slope is 0). This information, plus a quick calculation that shows that the second derivative of the function is negative (= −2r), assures us that the graph is hill-shaped. Whether the peak of the graph occurs to the left or right of the point y¯ = (r − 1)/r depends on whether r is larger or smaller than 2. If smaller than 2 (but larger than 1), the graph intersects the 45◦ line to the left of the peak. As a result, the slope of the
graph is positive at the stable steady-state point. The more interesting cases arise when r > 2, which makes the slope of the graph negative at the steady-state point. Figure 19.5 shows the phase diagram for the case in which 2

Kết quả (Việt) 1:

Trạng thái ổn định điểm, y¯, thu được bằng cách giải quyết y¯ − ry¯ (y¯ 1 −) = 0 Đơn giản hóa cho y¯. 1 − rr .+ y¯ = 0 Hai trạng thái ổn định điểmy¯ = 0 (19.6)và y¯ = r − 1 (19.7)r Một trạng thái ổn định cân bằng tích cực nghiêm tồn tại chỉ nếu r > 1. Chúng tôi do đó sẽ giả định rằng r > 1. Nếu r ≤ 1, sau đó tăng kỳ là 0 và âm tương ứng, mà là không quan tâm đến kinh tế.Để xác định tính ổn định của các cân bằng hai, chúng tôi áp dụng định lý 19.1, đòi hỏi rằng chúng tôi đánh giá đạo hàm của phương trình (19.5) tại y¯ điểm. Chúng tôi nhận được DYT + 1 rDYT = − 2ryt ma tại y¯ = 0= 2 − r tại y¯ = (r − 1) /r Kết quả này cho chúng ta biết rằng y¯ điểm = 0 là không ổn định cho chúng tôi giả định rằng r > 1; điểm y¯ = (r − 1) /r là ổn định cục bộ chỉ nếu |2 − r| < 1. Thể hiện một cách khác nhau, trạng thái ổn định điểm tích cực là ổn định tại địa phương nếu và chỉ nếu1 < r < 3Hãy vẽ biểu đồ pha cho phương trình khác biệt này. Chúng ta biết rằng biểu đồ cắt giảm thông qua các dòng 45◦ tại điểm 0 và (r − 1) / r. Từ của chúng tôi tính toán độ dốc, chúng ta biết rằng đồ thị đỉnh tại y = 1/2 (nơi dốc là 0). Thông tin này, cộng với một phép tính nhanh cho thấy rằng hàm chức năng, thứ hai là tiêu cực (= −2r), đảm bảo chúng tôi rằng đồ thị là hình hill. Cho dù đỉnh của đồ thị xảy ra ở bên trái hoặc bên phải của điểm y¯ = (r − 1) /r phụ thuộc vào r là lớn hơn hoặc nhỏ hơn 2. Nếu nhỏ hơn 2 (nhưng lớn hơn 1), đồ thị giao cắt đường 45◦ ở bên trái của đỉnh cao. Kết quả là, độ dốc của cácđồ thị là tích cực tại thời điểm ổn định trạng thái ổn định. Phát sinh trường hợp thú vị hơn khi là > 2, mà làm cho độ dốc của đồ thị tiêu cực tại điểm trạng thái ổn định. Hình 19.5 cho thấy biểu đồ pha cho các trường hợp trong đó 2

Kết quả (Việt) 2:

Các điểm trạng thái ổn định, Y, thu được bằng cách giải Y - Ry (1 - y) = 0 đơn giản hóa cho y. 1 - r r . + Y = 0 Hai điểm trạng thái ổn định là y = 0 (19,6) và y = r - 1 (19,7) r A cân bằng trạng thái ổn định nghiêm dương chỉ tồn tại nếu r> 1. Chúng tôi do đó sẽ cho rằng r> 1. Nếu r ≤ 1, sau đó các quốc gia ổn định là 0 và âm tương ứng, đó là không quan tâm về kinh tế. Để xác định các tính chất ổn định của hai điểm cân bằng này, chúng tôi áp dụng định lý 19.1, trong đó đòi hỏi chúng ta đánh giá đạo hàm của phương trình (19.5) tại các điểm y. Chúng tôi nhận được dyt + 1 r dyt = - 2ryt .r tại y = 0 = 2 - r tại y = (r - 1) / r Kết quả này cho chúng ta biết rằng các điểm y = 0 là không ổn định cho giả thiết rằng r > 1; các điểm y = (r - 1) / r là ổn định tại địa phương chỉ khi | 2 - r | <1. Bày tỏ sự khác biệt, điểm trạng thái ổn định tích cực là địa phương ổn định nếu và chỉ nếu 1 <r <3 Chúng ta hãy vẽ biểu đồ pha cho phương trình khác biệt này. Chúng ta biết rằng các vết cắt đồ thị thông qua các dòng 45◦ tại các điểm 0 và (r - 1) / r. Từ tính toán của chúng ta về độ dốc, chúng ta biết rằng các đỉnh đồ thị tại y = 1/2 (nơi độ dốc là 0). Những thông tin này, cộng với một tính toán nhanh chóng cho thấy rằng đạo hàm thứ hai của hàm là âm (= -2r), đảm bảo với chúng tôi rằng đồ thị là đồi hình. Cho dù các đỉnh của đồ thị xuất hiện ở bên trái hoặc bên phải của điểm y = (r - 1) / r phụ thuộc vào việc r là lớn hơn hoặc nhỏ hơn 2. Nếu nhỏ hơn 2 (nhưng lớn hơn 1), các giao cắt đồ thị các 45◦ dòng bên trái của đỉnh. Kết quả là, độ dốc của đồ thị là tích cực tại các điểm trạng thái ổn định ổn định. Các trường hợp thú vị hơn phát sinh khi r> 2, mà làm cho độ dốc của đồ thị tiêu cực tại các điểm trạng thái ổn định. Hình 19.5 cho thấy sơ đồ giai đoạn cho các trường hợp trong đó có 2