On the connectedness properties of

On the connectedness properties of the attractors of iterated
function systems
Dan Dumitru
Spiru Haret University of Bucharest,
Department of Mathematics and Computer Science,
Bucharest, Romania
[e-mail]
Abstract
This paper is a survey and treats some of the topological properties of
the attractors of iterated function systems (finite and infinite) such as
connectedness, arcwise connectedness, locally arcwise connectedness and
other properties of this type.
Keywords: attractors, iterated function systems, connectednes, arcwise
connectedness.
MSC 2010 Classification: 28A80.
1. INTRODUCTION
We start with a metric space (X, d) and we denote by K(X) the set of
nonempty compact subsets of X, by B(X) the set of nonempty bounded and
closed subsets of X and by P(X) the set of nonempty subsets of X. For a set
A ⊂ X we denote by d(A) the diameter of A, that is d(A) = supx,y∈A d(x, y).
Definition 1.1. Let (X, d) be a metric space. The application h :
K(X)×K(X) −→ [0, +∞) defined by h(A, B) = max(d(A, B), d(B, A)), where
d(A, B) = supx∈A d(x, B) = supx∈A (infy∈B d(x, y)) is called the Hausdorff-
Pompeiu metric.
Proposition 1.1. ([1], [5], [19]) Let (X, dX) and (Y, dY ) two metric
spaces. Then:
1) If H and K are two nonempty subsets of X then hX(H, K) = hX(H, K),
where hX is the the Hausdorff-Pompeiu semidistance associated to distance
dX.
2) If (Hi)i∈I and (Ki)i∈I are two families of nonempty subsets of X then
hX (∪i∈IHi
, ∪i∈IKi) = hX

∪i∈IHi
, ∪i∈IKi


≤ supi∈I hX(Hi
, Ki).
3) If H and K are two nonempty subsets of X and f : X −→ Y a function
then hY (f(K), f(H)) ≤ Lip(f) · hX(K, H).
4) If (Hn)n≥1 ⊂ P(X) is a sequence of sets of X, and H ∈ P(X) is a set such
that hX(H, Hn) −→ 0, then a element x ∈ X belongs to H if and only if
there exists xn ∈ Hn for every n ≥ 1 such that xn −→ x

Kết quả (Việt) 2:

Trên các thuộc tính nối kết của attractors của lặp
hệ thống chức năng
Dan Dumitru
Spiru Haret Đại học Bucharest,
Khoa Toán và Khoa học Máy tính,
Bucharest, Romania
[e-mail]
Tóm tắt
Bài viết này là một cuộc điều tra và xử lý một số tính chất topo của
các attractors của các hệ thống chức năng lặp (hữu hạn và vô hạn) như
nối kết, arcwise connectedness, tại địa phương arcwise kết nối và
các tài sản khác thuộc loại này.
Từ khóa: attractors, hệ thống chức năng lặp, connectednes, arcwise
. connectedness
MSC 2010 Phân loại:. 28A80
1. GIỚI THIỆU
Chúng tôi bắt đầu với một không gian metric (X, d) và chúng ta biểu thị bởi K (X) tập hợp các
tập con compact khác rỗng của X, bằng B (X) tập hợp khác rỗng giáp và
đóng các tập con của X và P (X) tập các tập con khác rỗng của X. Đối với một tập
A ⊂ X, chúng ta biểu thị bởi d (A) đường kính của A, đó là d (A) = supx, y∈A d (x, y).
Định nghĩa 1.1. Hãy (X, d) là một không gian metric. Các ứng dụng h:
K (X) x K (X) - → [0, + ∞) được xác định bởi h (A, B) = max (d (A, B), d (B, A)), nơi
d ( A, B) = supx∈A d (x, B) = supx∈A (infy∈B d (x, y)) được gọi là Hausdorff-
Pompeiu metric.
Dự luật 1.1. ([1], [5], [19]) Hãy (X, DX) và (Y, dY) hai số liệu
không gian. Sau đó:
1) Nếu H và K là hai tập con khác rỗng của X sau đó hX (H, K) = hX (H, K),
nơi hX là các semidistance Hausdorff-Pompeiu liên quan đến khoảng cách
DX.
2) Nếu (Hi) i ∈I và (Ki) i∈I là hai gia đình của các tập con khác rỗng của X sau đó
hX (∪i∈IHi
, ∪i∈IKi) = hX ∪i∈IHi , ∪i∈IKi ? ≤ supi∈I hX (Hi , Ki). 3) Nếu H và K là hai tập con khác rỗng của X và f: X - → Y là một chức năng sau đó HY (f (K), f (H)) ≤ Lip (f) · hX (K, H). 4) Nếu (Hn) n≥1 ⊂ P (X) là một chuỗi các bộ X và H ∈ P (X) là một tập hợp như thế mà hX (H, Hn) - → 0, sau đó một phần tử x ∈ X thuộc về H nếu và chỉ nếu tồn tại xn ∈ Hn cho mọi n ≥ 1 sao cho xn - → x