7.3. DESIGN CONSIDERATIONS 7-19ReIm

7.3. DESIGN CONSIDERATIONS 7-19
Re
Im
ζ = 0 ζ = 0.4
ζ = 0.7
ζ = 1
ζ = 1.2
(a) Eigenvalues
0 5 10 15
0
0.5
1
1.5
2
Normalized time ω0t
y
ζ
(b) Step responses
Figure 7.8: Step response for a second-order system. Normalized step responses for the
system (7.23) for ζ = 0, 0.4, 0.7, 1 and 1.2. As the damping ratio is increased, the rise time
of the system gets longer, but there is less overshoot. The horizontal axis is in scaled units
ω0t; higher values of ω0 result in a faster response (rise time and settling time).
to be underdamped. The natural response of the system is given by
y(t) = e−ζω0t
*
x10 cosωdt +
.ζω0
ωd
x10 +
1
ωd
x20/
sinωdt
+
,
where ωd = ω0
-1−ζ2 is called the damped frequency. For ζ ≪ 1, ωd ≈ ω0 de-
fines the oscillation frequency of the solution and ζ gives the damping rate relative
to ω0. The parameter ω0 is referred to as the natural frequency of the system,
stemming from the fact that for ζ = 0 the oscillation frequency is given by ω0.
Because of the simple form of a second-order system, it is possible to solve
for the step and frequency responses in analytical form. The solution for the step
response depends on the magnitude of ζ :
y(t) =
⎧
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
k
*
1−e−ζω0t cosωdt − √
ζ
1−ζ2 e−ζω0t sinωdt
+
, ζ < 1;
k (1−e−ω0t
(1+ω0t)), ζ = 1;
k
*
1− 1
2
.
√
ζ
ζ2−1
+1
/
e−ω0t(ζ−
√ζ2−1)
+1
2
.
√
ζ
ζ2−1 −1
/
e−ω0t(ζ+
√ζ2−1)
+
, ζ > 1,
(7.24)
where we have taken x(0) = 0. Note that for the lightly damped case (ζ < 1) we
have an oscillatory solution at frequency ωd.
Step responses of systems with k = 1 and different values of ζ are shown in
Figure 7.8. The shape of the response is determined by ζ , and the speed of the
response is determined by ω0 (included in the time axis scaling): the response is
faster if ω0 is larger.

Kết quả (Việt) 1:

7.3. THIẾT KẾ CÂN NHẮC 7-19ReImΖ = 0 Ζ = 0.4Ζ = 0,7Ζ = 1Ζ = 1,2(a) tuyến0 5 10 1500,511.52Thời gian bình thường ω0tyΖ(b) bước trả lờiHình 7.8: Bước đáp ứng cho một hệ thống thứ hai để. Chuẩn hoá các bước phản ứng đối với cácHệ thống (7.23) cho ζ = 0, 0.4, 0.7, 1 và 1,2. Vì tỷ lệ damping tăng lên, thời gian gia tăngcủa hệ thống được lâu hơn, nhưng không ít hơn vượt qua. Trục ngang là trong các đơn vị thu nhỏΩ0t; cao hơn giá trị của các ω0 gây ra một phản ứng nhanh hơn (tăng thời gian và thời gian giải quyết).để được underdamped. Phản ứng tự nhiên của hệ thống được đưa ra bởiy(t) = e−ζω0t*x10 cosωdt +.ΖΩ0Ωdx10 +1Ωdx20 /sinωdt+,nơi ωd = ω0-1−ζ2 được gọi là tần số năm. Cho ζ ≪ 1, ωd ≈ ω0 de-tiền phạt các tần số dao động của các giải pháp và ζ cho tỷ lệ damping liên quanđể ω0. Tham số ω0 được gọi là tần số riêng của hệ thống,bắt nguồn từ một thực tế cho ζ = 0 tần số dao động được cho bởi ω0.Vì các hình thức đơn giản của một hệ thống trật tự thứ hai, nó có thể giải quyếtcho các phản ứng bước và tần số trong phân tích mẫu. Giải pháp cho bướcphản ứng phụ thuộc vào độ lớn của ζ:y(t) =⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩k*1−e−ζω0t cosωdt − √Ζ1−ζ2 e−ζω0t sinωdt+, Ζ < 1;k (1−e−ω0t(1 + ω0t)), ζ = 1;k*1− 12.√ΖΖ2−1+ 1/e−ω0t (ζ−√Ζ2−1)+ 12.√ΖΖ2−1 −1/e−ω0t(ζ+√Ζ2−1)+, Ζ > 1,(7,24)nơi mà chúng tôi đã lấy x(0) = 0. Lưu ý rằng đối với trường hợp nhẹ năm (ζ < 1) chúng tôicó một giải pháp oscillatory tần số ωd.Bước phản ứng của hệ thống với k = 1 và các giá trị khác nhau của ζ sẽ được hiển thị trongHình 7.8. Hình dạng của các phản ứng được xác định bởi ζ, và tốc độ của cácphản ứng được xác định bởi ω0 (bao gồm trong các tỉ lệ trục thời gian): các phản ứng lànhanh hơn nếu ω0 là lớn hơn.

Kết quả (Việt) 2:

7.3. XEM XÉT KẾ 7-19
Re
Im
ζ = 0 ζ = 0.4
ζ = 0.7
ζ = 1
ζ = 1.2
(a) giá trị riêng
0 5 10 15
0
0.5
1
1.5
2
Bình thường thời gian ω0t
y
ζ
(b) phản ứng Bước
Hình 7.8: phản ứng Bước cho một hệ thống bậc hai. Đáp ứng bước bình thường hóa cho
hệ thống (7.23) cho ζ = 0, 0,4, 0,7, 1 và 1.2. Là tỷ lệ giảm xóc được tăng lên, thời gian tăng
của hệ thống kéo dài hơn, nhưng có ít vượt qua. Trục ngang là ở quy mô đơn vị
ω0t; giá trị cao hơn kết quả ω0 trong một phản ứng nhanh hơn (thời gian tăng và giải quyết thời gian).
để được underdamped. Các phản ứng tự nhiên của hệ thống được cho bởi
y (t) = e-ζω0t
*
x10 cosωdt +
.ζω0
ωd
x10 +
1
ωd
x20 /
sinωdt
+
,
nơi ωd = ω0
-1-ζ2 được gọi là tần số suy giảm độ lớn. Đối với ζ «1, ωd ≈ ω0 triển
phạt tần số dao động của các giải pháp và ζ cho tỷ lệ giảm xóc tương đối
để ω0. Các tham số ω0 được gọi là tần số tự nhiên của hệ thống,
xuất phát từ thực tế là cho ζ = 0 tần số dao động được cho bởi ω0.
Bởi vì hình thức đơn giản của một hệ thống bậc hai, nó có thể giải quyết
cho bước và tần số phản ứng trong mẫu phân tích. Các giải pháp cho các bước
phản ứng phụ thuộc vào độ lớn của ζ:
y (t) =
⎧
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
k
*
1-e-ζω0t cosωdt - √
ζ
1-ζ2 e-ζω0t sinωdt
+
, ζ <1;
k (1-e-ω0t
(1 + ω0t)), ζ = 1;
k
*
1- 1
2
.
√
ζ
ζ2-1
1
/
e-ω0t ( ζ-
√ζ2-1)
1
2
.
√
ζ
ζ2-1 -1
/
e-ω0t (ζ +
√ζ2-1)
+
, ζ> 1,
(7.24)
, nơi chúng tôi đã chụp x (0) = 0. Lưu ý rằng trong trường hợp hãm nhẹ (ζ <1), chúng tôi
có một giải pháp dao động ở tần số ωd.
Bước đáp ứng của hệ thống với k = 1 và các giá trị khác nhau của ζ được thể hiện trong
hình 7.8. Hình dạng của phản ứng được xác định bởi ζ, và tốc độ của
phản ứng được xác định bởi ω0 (bao gồm ở trên trục rộng thời gian): đáp ứng được
nhanh hơn nếu ω0 là lớn hơn.