It follows from Corollary 1.7 that

It follows from Corollary 1.7 that ˜ σ(U ˜) is open in S ˜. Hence if f is continuous, then f −1(˜ σ(U ˜)) is open in S by Lemma 2.1.1. Since σ is continuous,
the set (2.2), on which ˜ σ−1 ◦ f ◦ σ is defined, is then open.
Theorem 2.7. Let f: S → S ˜ be a map. If f is smooth (according to Definition 2.6.2) then it is continuous and σ ˜−1 ◦ f ◦ σ is smooth, for all charts σ
and σ ˜ on S and S ˜, respectively.
Conversely, assume that for each p ∈ S there exists a chart σ: U → S
around p, and a chart σ ˜: U ˜ → S ˜ around f(p), such that f(σ(U)) ⊂ σ ˜(U ˜) and
such that the coordinate expression σ ˜−1 ◦ f ◦ σ is smooth, then f is smooth.
Proof. Assume that f is smooth. It was remarked below Definition 2.6.1 that
then it is continuous. Hence (2.2) is open. It follows from Theorem 2.6 that
f ◦ σ is smooth for all charts σ on S. Hence its restriction to the set (2.2)
is also smooth, and it follows from Lemma 2.6 and Example 2.6.3 that the
composed map ˜ σ−1 ◦ f ◦ σ is smooth.
For the converse let p ∈ S be arbitrary and let σ and ˜ σ be as stated, such
that ˜ σ−1 ◦ f ◦ σ is smooth. The identity
f ◦ σ = ˜ σ ◦ (˜ σ−1 ◦ f ◦ σ),
shows that f ◦ σ is smooth. Since the charts σ for all p comprise an atlas for
S this implies that f is smooth, according to Theorem 2.6. 
By using the formulation of smoothness in Theorem 2.7, we can now generalize the notion. Let M and M ˜ be abstract manifolds, and let f: M → M ˜
be a continuous map. Assume σ: U → σ(U) ⊂ M and ˜ σ: U ˜ → σ ˜(U ˜) ⊂ M ˜ are
charts on the two manifolds, then as before
σ−1(f −1(˜ σ(U ˜))) ⊂ U
is an open subset of U, because f is continuous. Again we call the map
σ ˜−1 ◦ f ◦ σ,
which is defined on this set, the coordinate expression for f with respect to
the given charts.
Definition 2.7.2. Let f: M → M ˜ be a map between abstract manifolds.
Then f is called smooth if for each p ∈ S there exists a chart σ: U → M
around p, and a chart ˜ σ: U ˜ → M ˜ around f(p), such that f(σ(U)) ⊂ σ ˜(U ˜)
and such that the coordinate expression ˜ σ−1 ◦ f ◦ σ is smooth.
A bijective map f: M → M ˜ , is called a diffeomorphism if f and f −1 are
both smooth.
Notice that a smooth map M → M ˜ is continuous. This follows immediately from the definition above, by writing f = ˜ σ ◦ (˜ σ−1 ◦ f ◦ σ) ◦ σ−1 in a
neighborhood of each point.

Kết quả (Việt) 1:

Nó sau từ hệ luỵ 1.7 đó σ ˜ (U ˜) đang mở trong S ˜. Hence nếu f là liên tục, sau đó f −1 (˜ σ (U ˜)) đang mở trong S bởi bổ đề 2.1.1. Kể từ khi σ là liên tục,Các thiết lập (2,2), trên đó ˜ σ−1 ◦ f ◦ σ được xác định, sau đó là mở.Định lý 2,7. Hãy để f: S → S ˜ là bản đồ. Nếu f là mịn (theo định nghĩa 2.6.2) sau đó nó là liên tục và σ ˜−1 ◦ f ◦ σ là trơn, cho tất cả bảng xếp hạng σvà σ ˜ trên S và S ˜, tương ứng.Ngược lại, giả sử rằng cho mỗi ∈ p S có tồn tại một biểu đồ σ: U → SQuanh p, và một biểu đồ σ ˜: U ˜ → S ˜ xung quanh thành phố f(p), sao cho f(σ(U)) ⊂ σ ˜ (U ˜) vàđó là tọa độ biểu hiện σ ˜−1 ◦ f ◦ σ được mịn màng, sau đó f là mịn.Bằng chứng. Giả sử rằng f được trơn tru. Nó được nhận xét dưới đây định nghĩa 2.6.1 màsau đó nó là liên tục. Do đó (2,2) mở cửa. Nó sau từ định lý 2.6 màf ◦ σ là trơn cho tất cả bảng xếp hạng σ trên S. Hence hạn chế của nó để thiết lập (2,2)cũng được trơn tru, và nó sau từ bổ đề 2.6 và ví dụ 2.6.3 mà cácbao gồm bản đồ ˜ σ−1 ◦ f ◦ σ được trơn tru.Đối với trò chuyện cho p ∈ S tùy ý và để cho σ và ˜ σ như đã nêu, như vậyđó ˜ σ−1 ◦ f ◦ σ được trơn tru. Danh tínhf ◦ σ = ˜ σ ◦ (˜ σ−1 ◦ f ◦ σ),cho thấy rằng σ ◦ f được trơn tru. Kể từ khi bảng xếp hạng cho tất cả p σ bao gồm một bản đồ choS này ngụ ý rằng f được mịn màng, theo định lý 2.6. Bằng cách sử dụng công thức của êm ái trong định lý 2,7, bây giờ chúng tôi có thể tổng quát hóa khái niệm. Cho M và M ˜ là trừu tượng đa tạp, và cho f: M → M ˜là bản đồ liên tục. Giả sử σ: U → σ(U) ⊂ M và ˜ σ: U ˜ → σ ˜ (U ˜) ⊂ M ˜bảng xếp hạng trên đa tạp hai, sau đó là trước khiΣ−1 (f −1 (˜ σ (U ˜))) ⊂ Ulà một tập hợp con mở của U, do f là liên tục. Một lần nữa chúng tôi gọi bản đồΣ ˜−1 ◦ f ◦ σ,đó định nghĩa này thiết lập, biểu thức tọa độ cho f quan đếnCác bảng xếp hạng nhất định.Định nghĩa 2.7.2. Hãy để f: M → M ˜ là bản đồ giữa trừu tượng đa tạp.Sau đó f được gọi là mịn nếu cho mỗi ∈ p S có tồn tại một biểu đồ σ: U → MQuanh p, và một biểu đồ ˜ σ: U ˜ → M ˜ xung quanh thành phố f(p), sao cho f(σ(U)) ⊂ σ ˜ (U ˜)và như vậy là tọa độ biểu hiện ˜ σ−1 ◦ f ◦ σ mịn.Một song ánh bản đồ f: M → M ˜, được gọi là một diffeomorphism nếu f và f −1cả hai mịn.Nhận thấy rằng một bản đồ mịn M → M ˜ là liên tục. Điều này sau ngay lập tức từ định nghĩa ở trên, bằng văn bản f = ˜ σ ◦ (˜ σ−1 ◦ f ◦ σ) ◦ σ−1 trong mộtkhu phố của mỗi điểm.

Kết quả (Việt) 2:

Sau đó từ luỵ 1.7 mà ~ σ (U ~) là mở trong S ~. Do đó nếu f là liên tục, sau đó f -1 (~ σ (U ~)) là mở trong S của Bổ đề 2.1.1. Kể từ khi σ là liên tục,
tập (2.2), trên đó ~ σ-1 ◦ f ◦ σ được xác định, sau đó là mở.
Định lý 2.7. Cho f: S → S ~ là một bản đồ. Nếu f là mịn (theo Định nghĩa 2.6.2) sau đó nó là liên tục và σ ~-1 ◦ f ◦ σ được mịn màng, cho tất cả các bảng xếp hạng σ
và σ ~ trên S và S ~, tương ứng.
Ngược lại, giả sử rằng đối với mỗi p ∈ S có tồn tại một σ biểu đồ: U → S
xung quanh p, và một biểu đồ σ ~: U ~ → S ~ khoảng f (p), sao cho f (σ (U)) ⊂ σ ~ (U ~) và
như vậy mà các biểu hiện σ phối hợp ~-1 ◦ f ◦ σ là mịn, sau đó f là trơn tru.
Proof. Giả sử f là trơn tru. Nó đã nhận xét ​​ở dưới Định nghĩa 2.6.1 mà
sau đó nó là liên tục. Do đó (2.2) được mở. Sau đó từ Định lý 2.6 rằng
f ◦ σ được mịn màng cho tất cả các bảng xếp hạng σ trên S. Do hạn chế của mình để tập (2.2)
cũng là trơn tru, và nó sau từ Bổ đề 2.6 và 2.6.3 Ví dụ rằng các
bản đồ sáng tác ~ σ-1 ◦ f ◦ σ là trơn tru.
Đối với let converse p ∈ S là tùy ý và để cho σ và ~ σ được như đã nêu, như vậy
mà ~ σ-1 ◦ f ◦ σ là trơn tru. Danh tính
f ◦ σ = σ ~ ◦ (~ σ-1 ◦ f ◦ σ),
cho thấy rằng f ◦ σ là trơn tru. Kể từ khi σ bảng xếp hạng cho tất cả các p bao gồm một tập bản đồ cho
S này ngụ ý rằng f là trơn tru, theo Định lý 2.6. ?
Bằng cách sử dụng các công thức trơn trong định lý 2.7, bây giờ chúng ta có thể khái quát các khái niệm. Gọi M và M ~ được đa tạp trừu tượng, và để cho f: M → M ~
là một bản đồ liên tục. Giả σ: U → σ (U) ⊂ M và ~ σ: U ~ → σ ~ (U ~) ⊂ M ~ là
bảng xếp hạng trên hai đa tạp, sau đó như trước
σ-1 (f -1 (~ σ (U ~ ))) ⊂ U
là một tập con mở của U, vì f là liên tục. Một lần nữa chúng ta gọi là bản đồ
σ ~-1 ◦ f ◦ σ,
được xác định trên tập này, khái niệm phối hợp cho f đối với
các bảng xếp hạng được đưa ra.
Định nghĩa 2.7.2. Cho f:. M → M ~ là một bản đồ giữa các đa tạp trừu tượng
Sau đó f được gọi là mượt nếu cho mỗi p ∈ S có tồn tại một σ biểu đồ: U → M
quanh p, và một biểu đồ ~ σ: U ~ → M ~ khoảng f (p), sao cho f (σ (U)) ⊂ σ ~ (U ~)
và như vậy mà phối hợp biểu hiện ~ σ-1 ◦ f ◦ σ là trơn tru.
Một bản đồ f song ánh: M → M ~, được gọi là một diffeomorphism nếu f và f -1 là
cả mịn.
Chú ý rằng một bản đồ trơn M → M ~ là liên tục. Điều này ngay lập tức sau từ định nghĩa trên, bằng cách viết f = ~ σ ◦ (~ σ-1 ◦ f ◦ σ) ◦ σ-1 trong một
khu phố của mỗi điểm.