Explicit finite difference formulat

Explicit finite difference formulation for a general interior node reduces to T_node^(i+1) = ( T_left^i + T_top^i + T_right^i + T_bottom^i)/4, which has the interpretation that the temperature of an interior node at the new time step is simply the average of the temperatures of its neighboring nodes at the previous time step (Fig. 5-50).
The stability criterion that requires the coefficient of T_m^i in the T_m^(i+1) expression to be greater than or equal to zero for all nodes is equally valid for two or three dimensional cases and severely limits the size of the time step ∆t that can be used with the explicit method. In the case of transient two dimensional heat transfer in rectangular coordinates, the coefficient of T_m^i in the T_m^(i+1) expression is 1- 4τ, and thus the stability criterion for all interior nodes in this case is 1- 4τ > 0, or:
τ = α∆t/l^2 ≤ 1/4 (interior nodes, two dimensional heat
transfer in rectangular coordinates) (5-61)
where ∆x = ∆y = l. when the material of the medium and thus its thermal diffusivity α are known and the value of the mesh size l is specified, the largest allowable value of the time step ∆t can be determined from the relation above. Again the boundary nodes involving convection and/or radiation are more restrictive than the interior nodes and thus require smaller time steps. Therefore, the most restrictive boundary node should be used in the determination of the maximum allowable time step ∆t when a transient problem is solved with the explicit method.
The application of Eq.5-60 to each of the (M - 1) x (N – 1) interior nodes gives (M - 1) x (N – 1) equations. The remaining equations are obtained by applying the method to be boundary nodes unless, of course, the boundary temperatures are specified as being constant. The development of the transient finite difference formulation of boundary nodes in two (or three) dimensional problems is similar to be development in the one dimensional case discussed earlier. Again the region is partitioned between the nodes by forming volume elements around the nodes, and an energy balance is written for each boundary node on the basis of Eq.5-39. This is illustrated in example 5-7.
Example 5-7: transient two dimensional heat conduction in l-bars.
Consider two dimensional transient heat transfer in an l-shaped solid body that is initially at a uniform temperature of 900C and whose cross section is given in Figure 5-51. The thermal conductivity and diffusivity of the body are k = 15 W/m.0C and α = 3.2x10-6 m2/s, respectively, and heat is generated in the body at a rate of g ̇ = 2x106 W/m3. the left surface of the body is insulated, and the bottom surface is maintained at a uniform temperature of 900C at all times. At time t = 0, the entire top surface is subjected to convection to ambient air at T_∞ = 250C with a convection coefficient of h = 80 W/m2.0C, and the right surface is subjected to heat flux at a uniform rate of (q_R ) ̇ = 5000 W/m2. The nodal network of the problem consists of 15 equally spaced nodes with ∆x = ∆y = 1.2 cm, as shown in the figure. Five of the nodes are at the bottom surface, and thus their temperatures are known. Using the explicit method, determine the temperature at the top corner (node 3) of the body after 1, 3, 5, 10, and 60 min.

Kết quả (Việt) 1:

Rõ ràng sự khác biệt hữu hạn xây dựng cho một nút nội thất chung làm giảm đến T_node
(i 1) = (T_left
tôi T_top
tôi T_right
tôi T_bottom
tôi) / 4, trong đó có giải thích rằng nhiệt độ của một nút nội thất lúc đó mới bước là chỉ đơn giản là mức trung bình nhiệt độ của các nút lân cận lúc thời gian bước trước (hình 5-50).
Tiêu chuẩn ổn định đòi hỏi hệ số của T_m
tôi trong biểu hiện
(i 1) T_m được lớn hơn hoặc bằng 0 cho tất cả các nút đều hợp lệ cho hai hoặc ba trường hợp chiều và bị giới hạn kích thước của thời gian bước ∆t có thể được sử dụng với phương pháp rõ ràng. Trong trường hợp của trao đổi nhiệt chiều thoáng qua hai trong tọa độ hình chữ nhật, Hệ số T_m
tôi trong biểu hiện
(i 1) T_m là 1-4τ, và do đó tiêu chuẩn ổn định cho tất cả các nút bên trong trường hợp này là 1-4τ > 0, hoặc:
τ = α∆t/l
2 ≤ 1/4 (nội thất nút, hai chiều nhiệt
chuyển hình chữ nhật tọa độ) (5-61)
nơi ∆x = ∆y = l. khi các tài liệu của các phương tiện và vì thế α diffusivity nhiệt của nó được biết đến và giá trị của l kích thước lưới được chỉ định, giá trị cho phép lớn nhất của thời gian bước ∆t có thể được xác định từ mối quan hệ ở trên. Một lần nữa các nút biên giới liên quan đến sự đối lưu và/hoặc bức xạ hạn chế hơn so với các nút trang trí nội thất và do đó cần nhỏ hơn thời gian bước. Do đó, nút biên giới hạn chế nhất nên được sử dụng trong việc xác định thời gian cho phép tối đa bước ∆t khi một vấn đề tạm thời được giải quyết với phương pháp rõ ràng.
ứng dụng Eq.5-60 cho mỗi (M - 1) x (N-1) nội thất nút cho (M - 1) x (N-1) phương trình. Các phương trình còn lại được thu được bằng cách áp dụng các phương pháp là ranh giới nút trừ khi, tất nhiên, nhiệt độ ranh giới được quy định như là liên tục. Sự phát triển của việc xây dựng thoáng qua sự khác biệt hữu hạn của ranh giới nốt trong vấn đề chiều hai (hoặc ba) là tương tự như là phát triển trong một trường hợp chiều thảo luận trước đó. Một lần nữa vùng được phân chia giữa các nút bằng cách hình thành các khối lượng các yếu tố xung quanh các nút, và một sự cân bằng năng lượng được viết cho mỗi nút biên giới trên cơ sở Eq.5-39. Điều này được minh họa trong ví dụ 5-7.
ví dụ 5-7: thoáng qua hai chiều nhiệt dẫn trong l-quán bar.
xem xét hai chiều thoáng qua nhiệt chuyển giao trong một hình chữ l cơ thể rắn đó là ban đầu ở một nhiệt độ đồng nhất của 900C và có tiết diện được đưa ra trong hình 5-51. Độ dẫn nhiệt và diffusivity của cơ thể là k = 15 W/m.0C và α = 3.2x10-6 m2/s, tương ứng, và nhiệt được tạo ra trong cơ thể lệ g ̇ = 2 x 106 W/m3. mặt trái của cơ thể là cách điện, và bề mặt dưới cùng được duy trì ở một nhiệt độ đồng nhất của 900C mọi lúc. Tại thời gian t = 0, toàn bộ bề mặt hàng đầu phải chịu sự đối lưu không khí xung quanh tại T_∞ = 250C với một hệ số đối lưu của h = 80 W/m2.0C, và bề mặt bên phải phải chịu sự tuôn ra nhiệt độ đồng nhất (q_R) ̇ = 5000 W/m2. Nút mạng vấn đề bao gồm 15 nút bình đẳng với nhau với ∆x = ∆y = 1.2 cm, như minh hoạ trong hình. Năm trong số các nút bề mặt dưới cùng, và do đó nhiệt độ của họ được biết đến. Bằng cách sử dụng phương pháp rõ ràng, xác định nhiệt độ ở góc (nút 3) trên của cơ thể sau khi 1, 3, 5, 10, và 60 phút.

Kết quả (Việt) 2:

Rõ ràng hữu hạn xây dựng sự khác biệt cho một nút trang trí nội thất nói chung giảm xuống T_node ^ (i +1) = (T_left ^ i + T_top ^ i + T_right ^ i + T_bottom ^ i) / 4, trong đó có việc giải thích rằng nhiệt độ của một nút trang trí nội thất lúc mới bước đơn giản chỉ là mức trung bình của nhiệt độ của các nút lân cận của nó ở bước thời gian trước đó (Hình 5-50).
Tiêu chuẩn ổn định đòi hỏi phải có hệ số T_m ^ i trong biểu thức T_m ^ (i +1) là lớn hơn hoặc bằng số không cho tất cả các nút là giá trị ngang nhau cho hai hoặc ba trường hợp nghiêm trọng và chiều giới hạn kích thước của bước Δt thời gian đó có thể được sử dụng với phương pháp rõ ràng. Trong trường hợp của truyền nhiệt hai chiều thoáng qua trong tọa độ vuông góc, hệ số T_m ^ i trong T_m ^ (i +1) biểu hiện là 1 - 4τ, và do đó các tiêu chuẩn ổn định cho tất cả các nút nội thất trong trường hợp này là 1 - 4τ > 0, hoặc:
τ = αΔt / l ^ 2 ≤ 1/4 (các nút nội thất, hai chiều nhiệt
truyền trong tọa độ hình chữ nhật) (5-61)
nơi Δx = Δy = l. khi vật liệu của các phương tiện và do đó khuyếch tán α nhiệt của nó được biết đến và giá trị của kích thước mắt lưới l được chỉ định, giá trị cho phép lớn nhất của các bước thời gian Δt có thể được xác định từ mối quan hệ trên. Một lần nữa các nút ranh giới liên quan đến đối lưu và / hoặc bức xạ có nhiều hạn chế hơn so với các nút nội thất và do đó yêu cầu các bước thời gian nhỏ hơn. Vì vậy, các nút ranh giới hạn chế nhất nên được sử dụng trong việc xác định thời gian cho phép tối đa bước Δt khi một vấn đề tạm được giải quyết bằng phương pháp rõ ràng.
Việc áp dụng Eq.5-60 cho mỗi (M - 1) x (N - 1) nút nội thất cho (M - 1) x (N - 1) phương trình. Các phương trình còn lại thu được bằng cách áp dụng phương pháp này là các nút ranh giới trừ khi, tất nhiên, nhiệt độ ranh giới được xác định như là hằng số. Sự phát triển của thoáng qua hữu hạn xây dựng sự khác biệt của các nút ranh giới trong hai (hoặc ba) các vấn đề chiều tương tự như được phát triển trong trường hợp một chiều thảo luận trước đó. Một lần nữa khu vực được phân chia giữa các nút bằng cách hình thành các yếu tố lượng xung quanh các nút, và một sự cân bằng năng lượng được viết cho mỗi nút ranh giới trên cơ sở Eq.5-39. Điều này được minh họa trong ví dụ 5-7.
Ví dụ 5-7:. thoáng qua hai dẫn nhiệt trong chiều l-thanh
Hãy xem xét hai truyền nhiệt thoáng qua chiều trong một cơ thể rắn l-hình đó là ban đầu ở nhiệt độ 900C và thống nhất có mặt cắt ngang được đưa ra trong hình 5-51. Dẫn nhiệt và khuyếch tán của cơ thể là k = 15 W/m.0C và α = 3.2x10-6 m2 / s, tương ứng, và nhiệt được tạo ra trong cơ thể ở mức g ̇ = 2x106 W/m3. bề mặt trái của cơ thể được cách ly, và bề mặt đáy được duy trì ở nhiệt độ 900C thống nhất ở tất cả các lần. Tại thời điểm t = 0, toàn bộ bề mặt phải chịu sự đối lưu không khí môi trường xung quanh để ở T_ ∞ = 250C với một hệ số đối lưu của h = 80 W/m2.0C, và bề mặt bên phải là đối tượng để làm nóng thông với tốc độ thống nhất (q_R) ̇ = 5000 W/m2. Mạng lưới đầu mối của vấn đề bao gồm 15 nút cách đều nhau với Δx = Δy = 1,2 cm, như thể hiện trong hình. Năm trong số các nút là ở bề mặt dưới, và do đó nhiệt độ của họ được biết. Sử dụng phương pháp rõ ràng, xác định nhiệt độ ở góc trên cùng (nút 3) của cơ thể sau 1, 3, 5, 10, và 60 phút.