Taking care to observe the correct

Taking care to observe the correct algebraic sign convention, Equation 2.32 is
now used to relate the applied nodal forces f1 and f2 to the nodal displacements
u1 and u2. Observing that, if Equation 2.32 has a positive sign, the element is in
tension and nodal force f2 must be in the positive coordinate direction while
nodal force f1 must be equal and opposite for equilibrium; therefore,
f1 = −
AE
L
(u2 − u1) (2.33)
f2 =
AE
L
(u2 − u1) (2.34)
Hutton: Fundamentals of
Finite Element Analysis
2. Stiffness Matrices,
Spring and Bar Elements
Text © The McGraw−Hill
Companies, 2004
2.3 Elastic Bar, Spar/Link/Truss Element 35
Equations 2.33 and 2.34 are expressed in matrix form as
AE
L
− 11 1 −1  u u1 2  =  f f1 2  (2.35)
Comparison of Equation 2.35 to Equation 2.4 shows that the stiffness matrix for
the bar element is given by
[ke] =
AE
L
− 11 1 −1  (2.36)
As is the case with the linear spring, we observe that the element stiffness matrix
for the bar element is symmetric, singular, and of order 2 × 2 in correspondence
with two nodal displacements or degrees of freedom. It must be emphasized that
the stiffness matrix given by Equation 2.36 is expressed in the element coordinate system, which in this case is one-dimensional. Application of this element
formulation to analysis of two- and three-dimensional structures is considered in
the next chapter.
Figure 2.7a depicts a tapered elastic bar subjected to an applied tensile load P at one end
and attached to a fixed support at the other end. The cross-sectional area varies linearly
from A0 at the fixed support at x = 0 to A0/2 at x = L. Calculate the displacement of the
end of the bar (a) by modeling the bar as a single element having cross-sectional area
equal to the area of the actual bar at its midpoint along the length, (b) using two bar
elements of equal length and similarly evaluating the area at the midpoint of each, and
(c) using integration to obtain the exact solution.
■ Solution
(a) For a single element, the cross-sectional area is 3A0/4 and the element “spring
constant” is
k =
AE
L
=
3A0 E
4L
and the element equations are
3A0 E
4L
− 11 − −1 1   U U1 2  =  F P 1 
The element and nodal displacements are as shown in Figure 2.7b. Applying the
constraint condition U1 = 0, we find
U2 =
4PL
3A0 E
= 1.333
PL
A0 E
as the displacement at x = L.
(b) Two elements of equal length L/2 with associated nodal displacements are
depicted in Figure 2.7c. For element 1, A1 = 7A0/8 so
k1 =
A1E
L 1
=
7A0 E
8(L/2)
=
7A0 E
4L
EXAMPLE 2.

Kết quả (Việt) 1:

Chăm sóc để quan sát các quy ước chính xác dấu hiệu đại số, phương trình 2,32 làbây giờ sử dụng liên quan đến ứng dụng lực nút f1 và f2 để nút displacementsU1 và u2. Quan sát rằng, nếu phương trình 2,32 có một dấu hiệu tích cực, các yếu tố là trongcăng thẳng và lực nút f2 phải theo hướng tích cực phối hợp trong khinodal lực f1 phải bằng nhau và ngược lại cho cân bằng; do đó,F1 = −AEL(u2 − u1) (2,33)F2 =AEL(u2 − u1) (2.34)Hutton: Nguyên tắc cơ bản củaPhân tích phần tử hữu hạn2. ma trận độ cứng,Mùa xuân và Bar yếu tốVăn bản © McGraw−HillCông ty, năm 20042.3 đàn hồi Bar, nguyên tố liên kết/Spar kèo: 35Phương trình 2,33 và 2,34 được thể hiện ở dạng ma trận làAEL − 11 1 −1 u u1 2 = f f1 2 (2,35)So sánh các phương trình 2,35 để phương trình 2.4 cho thấy rằng ma trận độ cứng chothanh nguyên tố được cho bởi[ke] =AEL − 11 1 −1 (2.36)Như là trường hợp với mùa xuân tuyến tính, chúng tôi quan sát mà ma trận độ cứng phần tửthanh nguyên tố là đối xứng, số ít, và thứ tự 2 × 2 trong thư từvới hai nút displacements hay bậc tự do. Nó phải nhấn mạnh rằngma trận độ cứng cho bởi phương trình 2,36 được thể hiện trong hệ tọa độ nguyên tố, mà trong trường hợp này là hết. Các ứng dụng của nguyên tố nàycông thức để phân tích của hai và ba dimensional cấu trúc được coi là trongchương kế tiếp.Hình 2.7a mô tả một quầy bar đàn hồi giảm dần phải chịu một áp dụng độ bền kéo tải P ở một đầuvà gắn liền với một hỗ trợ cố định ở đầu bên kia. Diện tích mặt cắt khác nhau tuyến tínhtừ A0 tại hỗ trợ cố định tại x = 0 đến A0/2 tại x = L. tính toán trọng lượng rẽ nước của cáckết thúc của quầy bar (a) bởi mô hình hóa thanh như là một yếu tố duy nhất có diện tích mặt cắttương đương với diện tích thực tế thanh tại trung điểm của nó dọc theo chiều dài, (b) sử dụng hai thanhCác yếu tố tương đương chiều dài và tương tự như vậy đánh giá khu vực tại trung điểm của mỗi người, và(c) bằng cách sử dụng tích hợp để có được giải pháp chính xác.■ giải pháp(a) đối với một yếu tố duy nhất, diện tích mặt cắt là 3A0/4 và các yếu tố "mùa xuânliên tục"làk =AEL=3A0 E4Lvà các yếu tố phương trình3A0 E4L − 11 −1 − 1 U U1 2 = F P 1Các yếu tố và nút displacements là như minh hoạ trong hình 2.7B. Áp dụng cáchạn chế tình trạng U1 = 0, chúng tôi tìm thấyU2 =4PL3A0 E= 1.333PLA0 Enhư trọng lượng rẽ nước tại x = L.(b) hai yếu tố bằng chiều dài L/2 với liên kết nút displacementsđược mô tả trong hình 2,7 c. Phần tử 1, A1 = 7A0/8 vậyK1 =A1EL 1=7A0 E8(L/2)=7A0 E4LVÍ DỤ 2.

Kết quả (Việt) 2:

Chăm sóc để quan sát ước dấu đại số chính xác, phương trình 2.32 là
đang được sử dụng để liên quân f1 nút áp dụng và f2 để các chuyển nút
u1 và u2. Quan sát rằng, nếu phương trình 2.32 có một dấu hiệu tích cực, yếu tố là
sự căng thẳng và lực lượng nút f2 phải tích cực phối hợp chỉ đạo trong khi
f1 lực nút phải bằng nhau và ngược lại cho cân bằng; do đó,
f1 = -
AE
L
(u2 - u1) (2.33)
f2 =
AE
L
(u2 - u1) (2.34)
Hutton: Cơ sở của
phần tử hữu hạn phân tích
2. Độ cứng Ma trận,
mùa xuân và Bar Elements
Tiêu © The McGraw-Hill
Companies, 2004
2.3 Elastic Bar, Spar / Link / Truss tử 35
phương trình 2.33 và 2.34 được thể hiện dưới dạng ma trận như
AE
L? - 11 1 -1 ?? u u1 2? =? f f1 2? (2.35)
So sánh các phương trình 2.35 để phương trình 2.4 cho thấy rằng các ma trận độ cứng cho
các yếu tố thanh được cho bởi
[ke] =
AE
L? - 11 1 -1? (2,36)
Như là trường hợp với mùa xuân tuyến tính, chúng tôi nhận thấy rằng các ma trận phần cứng
cho các phần tử thanh là đối xứng, số ít, và trật tự 2 × 2 trong tương ứng
với hai chuyển vị nút hoặc bậc tự do. Cần phải nhấn mạnh rằng
các ma trận độ cứng cho bởi phương trình 2,36 được thể hiện trong phần tử hệ thống, mà trong trường hợp này là một chiều phối hợp. Áp dụng các yếu tố này
xây dựng để phân tích cấu trúc hai và ba chiều được xem xét trong
các chương tiếp theo.
Hình 2.7a mô tả một thanh đàn hồi thon chịu một cường độ tải P áp dụng ở một đầu
và gắn liền với một sự hỗ trợ cố định ở đầu kia . Diện tích mặt cắt ngang thay đổi tuyến tính
từ A0 tại ngưỡng hỗ trợ cố định tại x = 0 đến A0 / 2 tại x = L. Tính toán sự dịch chuyển của
phần cuối của thanh (a) bằng cách mô hình thanh như một yếu tố duy nhất có mặt cắt ngang diện tích
bằng diện tích của thanh thực tế tại trung điểm của nó dọc theo chiều dài, (b) sử dụng hai thanh
yếu tố chiều dài bằng nhau và tương tự như đánh giá các khu vực tại trung điểm của mỗi người, và
(c) sử dụng tích hợp để có được những giải pháp chính xác.
■ giải pháp
(a) Đối với một yếu tố duy nhất, diện tích mặt cắt ngang là 3A0 / 4 và yếu tố "mùa xuân
không đổi" là
k =
AE
L
=
3A0 E
4L
và các phương trình phần tử là
3A0 E
4L? - 11 - -1 1? ? U U1 2? =? FP 1?
Các yếu tố và chuyển vị nút được như trong hình 2.7b. Áp dụng các
điều kiện ràng buộc U1 = 0, ta tìm
U2 =
4PL
3A0 E
= 1.333
PL
A0 E
như sự dịch chuyển tại x = L.
(b) Hai yếu tố của bằng chiều dài L / 2 với chuyển vị nút có liên quan được
mô tả trong hình 2.7c. Đối với phần 1, A1 = 7A0 / 8 nên
k1 =
A1E
L 1
=
7A0 E
8 (L / 2)
=
7A0 E
4L
VÍ DỤ 2.