14IT doJ = (fx - dt f)it dt00 (9)wh

14
IT d
oJ = (fx - dt f)it dt
0
0 (9)
which by the Fundamental Lemma gives the Euler equation
(6)
QED
Written out in full, with fx~ ~ - axa~ etc., (6) is
(10)
(6) or (10) is called the Euler, or Euler-Lagrange equation whose
integral curves are the extremals of the functional.
Note that (10) implies that f(x,x,t) has continuous first
and second derivatives with respect to all its arguments, at all points
(x,t) where f .. 1- 0. If f .. = 0, J(x) is said to be a degenerate :r;x :r;x
functional.
~ote finally that the Euler equation only gives necessary,not
sufficient conditions. The problem of sufficient conditions in the
Calculus of Variations is very complicated. It will be discussed later.
Example 2.1
1
Find the extremal of Jo (ax2 + bt)dt, given x(O) o,
x(l) = 2, a # 0.
The integrand is f(x) = a±2 + bt. Euler equation gives
fx - ~ fx = o - ~ 2a± = o
i.e., 2afl = 0 or x = 0 since a 1- 0. Integrating this we obtain
~(t) = c and x(t) = ct + d where c and d are the constants to be

Kết quả (Việt) 1:

14NÓ doJ = (fx - dt f) nó dt00 (9)mà theo bổ đề cơ bản Langlands cho phương trình Euler(6)QEDViết ra đầy đủ, với fx ~ ~-axa ~ vv, (6)(10)(6) hoặc (10) được gọi là Euler, hoặc phương trình Euler-Lagrange màtích phân đường cong là extremals của các chức năng.Lưu ý rằng (10) ngụ ý rằng f(x,x,t) đã liên tục đầu tiênvà thứ hai derivatives đối với tất cả các đối số của nó, tại tất cả các điểm(x, t) nơi f... 1 - 0. Nếu f... = 0, J(x) được gọi là một thoái hóa: r; x: r; xchức năng.~ ote cuối cùng rằng phương trình Euler chỉ cung cấp cho cần thiết, khôngđủ điều kiện. Vấn đề của các điều kiện đủ trong cácPhép tính biến phân là rất phức tạp. Nó sẽ được thảo luận sau này.Ví dụ 2.11Tìm game của Jo (ax2 + bt) dt, cho x(O) o,x(l) = 2, một # 0.Integrand là f (x) = a±2 + bt. phương trình Euler choFX - ~ fx = o - ~ 2a± = oVí dụ, 2afl = 0 hoặc x = 0 kể từ 1 0. Tích hợp này chúng tôi có được~(t) = c và x(t) = ct + d nơi c và d là hằng số phải

Kết quả (Việt) 2:

14
IT d
OJ = (fx - dt f) dt
0
0 (9)
mà theo Bổ đề cơ bản cho các phương trình Euler
(6)
QED
viết ra đầy đủ, với fx ~ ~ - ~ AXA vv, (6) là
(10)
(6) hoặc (10) được gọi là Euler, hay Euler-Lagrange phương trình có
đường cong không thể thiếu là các cực trị của các chức năng.
Lưu ý rằng (10) ngụ ý rằng f (x, x, t) có liên tục đầu tiên
và thứ hai các dẫn xuất đối với tất cả các đối số của nó, tại tất cả các điểm với
(x, t) trong đó f .. 1- 0. Nếu f .. = 0, J (x) được cho là một thoái hóa: r; x: r; x
chức năng .
~ ote cuối cùng mà các phương trình Euler chỉ cho cần thiết, không
đủ điều kiện. Các vấn đề về đủ điều kiện trong
Calculus của biến rất phức tạp. Nó sẽ được thảo luận sau.
Ví dụ 2.1
1
Tìm các extremal của Jo (AX2 + bt) dt, x cho trước (O) o,
x (l) = 2, a # 0.
Các tích phân là f (x) = a ± 2 + bt. Euler phương trình cho
fx - ~ fx = o - ~ 2a = ± o
ie, 2afl = 0 hoặc x = 0 vì một 1- 0. Tích hợp này, chúng tôi được sự
~ (t) = c và x (t) = ct + d nơi c và d là các hằng số để được