The requirement to take account of

The requirement to take account of all possible directions of change in the x-vector is what complicates the algebra of the second-order conditions just as it complicates the determination of concavity and convexity (see section 11.4). The second-order partial fii tells us about the curvature of the function in the xi-direction. If the function value decreases with a move from (x∗,..., x∗) in
1 n
the xi-direction, as is necessary if this point is to be a maximum, then we have
fii(x∗,..., x∗) < 0. However, it is not sufficient to state this as a condition for
1 n
all i, because it takes no account of movements away from the x-vector that are
not in any xi-direction. For this, we require the total differential.
Given some function with continuous partial derivatives, its total differential for arbitrary changes dxi gives the change in the function in an arbitrary direc- tion. Suppose this function is the total differential dy. At the stationary point
(x∗,..., x∗), this total differential dy = df (x∗,..., x∗) = 0. If, for any (small)
1 n 1 n
movement away from this point dy becomes negative, that means the function is decreasing and (x∗,..., x∗) yields a maximum. If, for any (small) movement away,
1 n
dy becomes positive, this means the function value is increasing and (x∗,..., x∗)
1 n
yields a minimum. Thus sufficient conditions for a local maximum or minimum can be expressed in terms of what happens to dy as we move away from (x∗,..., x∗)
1 n
in any direction, namely in terms of the second-order differential d2y. We can put
this more formally as follows:


We have a function y = f(x1,..., xn) or y = f(x), with x = (x1,..., xn).
At a point x∗ consider the total differential

Kết quả (Việt) 1:

Yêu cầu để có các tài khoản của tất cả các hướng có thể thay đổi trong x-vector là gì phức tạp đại số trong những điều kiện thứ hai để cũng giống như nó làm phức tạp việc xác định lõm và convexity (xem phần 11,4). Fii một phần thứ hai để cho chúng ta biết về độ cong của các chức năng trong xi-hướng. Nếu các giá trị chức năng giảm với một di chuyển từ (x∗,..., x∗)1 nxi-hướng, như là cần thiết nếu điều này là để là tối đa, sau đó chúng tôi cóFii (x∗,..., x∗) < 0. Tuy nhiên, nó không phải là đủ để nhà nước này như là một điều kiện cho1 nTất cả tôi, bởi vì nó sẽ không có tài khoản của các phong trào từ x-vectorkhông có trong bất kỳ xi-hướng. Đối với điều này, chúng tôi yêu cầu tất cả vi phân.Đưa ra một số chức năng với liên tục một phần derivatives, vi phân của nó tất cả cho tùy ý thay đổi dxi cho sự thay đổi trong các chức năng trong một direc-tion tùy ý. Giả sử hàm này là vi sai dy tất cả. Tại thời điểm văn phòng phẩm(x∗,..., x∗), này vi sai dy tổng = df (x∗,..., x∗) = 0. Nếu, cho bất kỳ (nhỏ)1 n 1 ndi chuyển ra khỏi dy điểm này trở thành tiêu cực, mà có nghĩa là các chức năng đang giảm và (x∗,..., x∗) sản lượng tối đa. Nếu, cho bất kỳ phong trào (nhỏ)1 nDy trở nên tích cực, có nghĩa là chức năng giá trị gia tăng và (x∗,..., x∗)1 nsản lượng tối thiểu. Do đó các điều kiện đủ cho một địa phương tối đa hoặc tối thiểu có thể được thể hiện trong điều khoản của những gì sẽ xảy ra với dy như chúng tôi di chuyển ra khỏi (x∗,..., x∗)1 ntrong bất kỳ hướng nào, cụ thể là trong điều kiện thứ hai đặt hàng differential d2y. Chúng tôi có thể đặtnày chính thức như sau: Chúng tôi có một chức năng y = f (x1,..., xn) hoặc y = f (x) với x = (x1,..., xn).Tại một thời điểm x∗ xem xét tất cả vi

Kết quả (Việt) 2:

Các yêu cầu để lấy tài khoản của tất cả các hướng dẫn có thể thay đổi trong x-vector là gì phức tạp đại số của điều kiện thứ hai để chỉ vì nó làm phức tạp việc xác định lõm và lồi (xem mục 11.4). Các bậc hai phần FII cho chúng ta biết về độ cong của các chức năng trong xi-hướng. Nếu giá trị hàm giảm với một động thái từ (x *, ..., x *) trong
1 n
xi-hướng, như là cần thiết nếu điểm này là để có một tối đa, sau đó chúng tôi có
FII (x *, .. ., x *) <0. Tuy nhiên, nó không phải là đủ để nhà nước này như một điều kiện để
1 n
tất cả tôi, bởi vì nó sẽ không có tài khoản của các phong trào cách xa x-vector mà
không phải trong bất kỳ xi-hướng. Đối với điều này, chúng tôi yêu cầu sự khác biệt hoàn toàn.
Với một số chức năng với hàm riêng liên tục, tổng số khác biệt của nó thay đổi tùy ý DXi cho sự thay đổi trong chức năng trong một phương hướng tùy ý. Giả sử hàm này là tổng dy khác biệt. Tại các điểm dừng
(x *, ..., x *), tổng dy khác biệt này = df (x *, ..., x *) = 0. Nếu vì bất kỳ (nhỏ)
1 n 1 n
chuyển động xa điểm dy này trở nên tiêu cực, có nghĩa là các chức năng đang giảm dần và (x *, ..., x *) sản lượng tối đa. Nếu vì bất kỳ (nhỏ) chuyển động đi,
1 n
dy trở nên tích cực, điều này có nghĩa là các giá trị chức năng đang gia tăng và (x *, ..., x *)
1 n
mang lại một mức tối thiểu. Như vậy đủ điều kiện cho một địa phương tối đa hoặc tối thiểu có thể được bày tỏ về những gì xảy ra với DY như chúng tôi di chuyển xa (x *, ..., x *)
1 n
trong bất kỳ hướng nào, cụ thể là về sự khác biệt thứ hai-thứ tự d2y. Chúng tôi có thể đặt
này chính thức hơn như sau: Chúng tôi có một hàm y = f (x1, ..., xn) hoặc y = f (x), với x = (x1, ..., xn). Tại một điểm x * xem xét sự khác biệt giữa tổng