Summary and mixed examination pract

Summary and
mixed examination
practice
Introductory problem revisited
Consider a wedding cake with four layers:
fc^o
1
Each layer has a thickness of 1. The first layer has a radius of 1, the second a radius of -, the
1 1 2
third a radius of - and the fourth a radius of—.
3 4
Find the volume of the cake and the surface area (excluding the bottom of the first layer) that
needs covering with icing.
Now imagine there are infinitely many layers to the cake. What can you say about the volume
of the cake and the surface area that needs icing now?
We note that each layer of the cake is a cylinder so the volumes will be given by:
2
y,=„x|-jxi = -
2
71
71
V, = 7C X | - I Xl = —
V -TIXI-I Xl = —
3T*a* +*.
6 Summary and mixed examination practice 149
'a
,V = V1+V2+V3+V4
71 71 71
= 71 + — + — + —
22 32 42
.1 1 l l
= 71 1 + — + — + —
22 32 42
Continuing this series for the cake with infinitely many layers we get V - ^^—,
k= k
which we now know to be a convergent p-series and so we can conclude that the volume of this
infinitely layered cake is finite!
If we did not know this p-series result (or if we did and wanted an upper bound on the volume) we
could say:
L1111111 1
[ 22 32 42 52 62 72 82 J

Kết quả (Việt) 1:

Summary and mixed examination practice Introductory problem revisited Consider a wedding cake with four layers: fc^o 1 Each layer has a thickness of 1. The first layer has a radius of 1, the second a radius of -, the 1 1 2 third a radius of - and the fourth a radius of—. 3 4 Find the volume of the cake and the surface area (excluding the bottom of the first layer) that needs covering with icing. Now imagine there are infinitely many layers to the cake. What can you say about the volume of the cake and the surface area that needs icing now? We note that each layer of the cake is a cylinder so the volumes will be given by: 2 y,=„x|-jxi = - 2 71 71 V, = 7C X | - I Xl = — V -TIXI-I Xl = — 3T*a* +*. 6 Summary and mixed examination practice 149 'a ,V = V1+V2+V3+V4 71 71 71 = 71 + — + — + — 22 32 42 .1 1 l l = 71 1 + — + — + — 22 32 42 Continuing this series for the cake with infinitely many layers we get V - ^^—, k= k which we now know to be a convergent p-series and so we can conclude that the volume of this infinitely layered cake is finite! If we did not know this p-series result (or if we did and wanted an upper bound on the volume) we could say: L1111111 1 [ 22 32 42 52 62 72 82 J <^1+|i+l + J_+J_+J_+_L + J_+. .22 I1) U2 42 42 42) U2 + . = 71-11 + -f- + -+-f- + - + - + -+ -- + ... I+ ... 2l2 2) 4U 4 4 4) 8U = TC|1 + I(1) + I(1) + I(1) + ..l I 2 4 8 J (sum of a geometric sequence) -K f 1 v 2; = 271 ^i 1 7lz 7T Either way the volume is finite (and < 2tt). In fact it can be shown that ^77 = —so V = —• k=lk 6 6 Now for the surface area of each cylinder which is made up of the top and the sides. If we first deal with the tops of each layer, looking down from above we see that when taken together we get the full circle of radius 1; that is a total surface area of 71 x l2 = 71. This will be the same no matter how many layers we have. We can also establish this in a more formal way by noting that the top of each layer is made up of the circular area of the top of the cylinder minus the circular area of the layer above. 150 Topic 9 - Option: Calculus c xj^ + 01. 'a T2 = (*xay) -(irxay) ri = (7rxl^)-(7rx(i)2) So, Tx = (tT X l2 ) -1 7IX[ - T2 = icxil 2 T3=kx Td= nx - - 2 A / *XI3 1 7TX 7TX| - 5 2 J ) 2 ( (l2^ .-.r = (7cxl2)-hex - V v5y ) = 71 i-i i V 2 ) (all other terms between cancel out) The same pattern of cancellation will occur for the cake with n layers, leaving us with just: r=7c l- w + l 2 Then letting n^oo so we have infinitely many layers for the cake, T = limT„ = 7llim 1- w + 1 2^ = 71 (l - (0)2) (algebra of limits) = 71 To finish we need to add to this the surface area of the sides of the cylinders (curved surface area of cylinder is given by 2nrh). r^ **. 6 Summary and mixed examination practice 151 S3 = 271 x - x 1 = — Sx = 271 X1 X1 = 271 S2 = 271 x - x 1 = — 2 2 1 , 271 -xl =— 3 3 S4 = 271 x - x 1 = — 4 4 /. 5 = ^ + 52 + 53 + 54 271 271 271 = 271 + + + 2 3 4 o d l l l = 271 1 + - + - + - ^ 2 3 4 Continuing this series for the cake with infinitely many layers we get, S = 2ttY- k= K which we now know to be a divergent p-series and so we conclude that even though the surface area of the top of each layer is finite (total tt) the total surface area when including the area of the sides is infinite. Therefore we have a cake with finite volume but infinite surface area; that is, a cake that we could eat but could not find enough icing to cover... Summary • Limits behave as expected algebraically; that is, if the sequence {an} converges to a limit a and the sequence [bn] to a limit b, then: lim( pan + qbn)-pliman +qlimbn = pa + qb forp,qe. lim(anbn) = limaw limbw = ab •~~{bn) 1 lima,, a - = — when b # 0 limfr, b If the sequence {a„} diverges, then for some constant c e ] limU "-+*>{ a, = 0 and liml — | = oo n J It is usually necessary to manipulate an into a form where the numerator and denominator both have finite limits so that the algebra of limits can be applied. This can often be achieved by dividing through by the highest power of n. If a sequence is sandwiched between two other sequences, both of which converge to the same limit, then that sequence is squeezed and must converge to the limit too. The Squeeze Theorem: if we have sequences {aM < £l < cM for all n e Z+ and limaM = limcM = L < °° "n — n then imbn -L Topic 9 - Option: Calculus

Kết quả (Việt) 2:

Tóm tắt và
hỗn hợp kiểm tra
thực tế
vấn đề môn xem xét lại
xem xét một chiếc bánh cưới với bốn lớp:
fc ^ o
1
Mỗi lớp có độ dày 1. Các lớp đầu tiên có bán kính 1, bán kính thứ hai của -, các
1 1 2
thứ ba một bán kính -. và of- bán kính thứ tư
3 4
Tìm khối lượng của bánh và diện tích bề mặt (không bao gồm đáy của lớp đầu tiên) mà
cần che với đóng băng.
Bây giờ tưởng tượng có vô hạn các lớp vào bánh. Những gì bạn có thể nói về khối lượng
của bánh và diện tích bề mặt cần đóng băng bây giờ?
Chúng tôi lưu ý rằng mỗi lớp của bánh là một hình trụ do đó khối lượng sẽ được cho bởi:
2
y, = "x | -jxi = -
2
71
71
V, X = 7C | - Tôi Xl = -
V -TIXI-I Xl = -
3T * a * + *.
6 Tóm tắt và kiểm tra hỗn hợp thực hành 149
'a, V = V1 + V2 + V3 + V4 71 71 71 = 71 + - + - + - 22 32 42 0,1 1 ll = 71 1 + - + - + - 22 32 42 Tiếp tục loạt bài này để các bánh với vô hạn các lớp chúng ta có được V - ^^ -, k = k mà bây giờ chúng ta biết là một hội tụ p -Series và vì vậy chúng tôi có thể kết luận rằng khối lượng này! bánh vô lớp là hữu hạn Nếu chúng ta không biết kết quả p-series này (hoặc nếu chúng tôi đã làm và muốn có một trên ràng buộc về khối lượng), chúng tôi có thể nói: L1111111 1 [22 32 42 52 62 72 82 J <^ 1 + |. i + l + J_ + J_ + J _ + _ + L J_ + 0,22 I1) U2 42 42 42) U2. + = 71-11 + -f- + - + -f- + - + - + - + - + I + ... ... 2l2 2) 4U 4 4 4) 8U = TC | 1 + I (1) + I (1) + I (1) +. .l I 2 4 8 J (tổng của một chuỗi hình học) -K f 1 v 2; = 271 ^ i 1 7lz 7T Dù bằng cách nào khối lượng là hữu hạn (và <2tt). Trong thực tế, nó có thể được hiển thị mà ^ 77 = -so V = - • k = lk 6 6 Bây giờ cho diện tích bề mặt của mỗi xi lanh mà được tạo thành từ phía trên và hai bên. Nếu chúng ta đầu tiên đối phó với các đỉnh của mỗi lớp , nhìn xuống từ trên chúng ta thấy rằng khi uống cùng nhau chúng ta có được những vòng tròn đầy đủ bán kính 1; đó là một diện tích bề mặt tổng cộng 71 x l2 = 71. Đây sẽ là như nhau bất kể có bao nhiêu lớp chúng ta có. Chúng tôi cũng có thể thiết lập này một cách chính thức hơn bằng cách ghi nhận rằng phần đầu của mỗi lớp được tạo thành từ các hình tròn diện tích đỉnh của hình trụ trừ đi diện tích hình tròn của các lớp trên. 150 Topic 9 - Lựa chọn: Calculus c xj ^ + 01. 'một T2 = (* xay) - (irxay) ri = (7rxl ^) - ( 7rx (i) 2) Vì vậy, Tx = (tT X l2) -1 7IX [- T2 = icxil 2 T3 = kx Td = nx - - 2 A / * XI3 1 7TX 7TX | - 5 2 J) 2 ((l 2 ^ .- r = (7cxl2) -hex -. V v5y) = 71 ii i V 2 ) (tất cả các điều khoản khác giữa hủy bỏ ra) Các mô hình tương tự hủy sẽ xảy ra cho những chiếc bánh với n lớp, khiến chúng tôi chỉ là: r = 7c l- w + l 2 Sau đó để cho n ^ oo vì vậy chúng tôi có vô cùng nhiều lớp cho các bánh, T = limT "= 7llim 1- w + 1 2 ^ = 71 (l - (0) 2) (đại số của các giới hạn) = 71 Để kết thúc, chúng tôi cần phải thêm vào đó là diện tích bề mặt của các mặt của hình trụ (diện tích bề mặt cong của. xi lanh được cho bởi 2nrh) r ^ * . * 6 Tóm tắt và kiểm tra hỗn hợp thực hành 151 S3 = 271 x - x 1 = - Sx = 271 X1 X1 = 271 S2 = 271 x - x 1 = - 2 2 1, 271 -xl = - 3 3 S4 = 271 x - x = 1 - 4 4 /. 5 = ^ + 52 + 53 + 54 271 271 271 = 271 + + + 2 3 4 odlll = 271 1 + - + - + - ^ 2 3 4 Tiếp tục loạt bài này để các bánh với vô hạn các lớp, chúng tôi nhận được, S = 2ttY - k = K mà bây giờ chúng ta biết là một p-series khác nhau và vì vậy chúng tôi kết luận rằng mặc dù bề mặt khu vực phía trên của mỗi lớp là hữu hạn (tổng tt) tổng diện tích bề mặt khi bao gồm cả các khu vực của các bên là . vô hạn Vì vậy chúng tôi có một chiếc bánh với khối lượng hữu hạn nhưng diện tích bề mặt vô hạn; đó là một chiếc bánh mà chúng ta có thể ăn nhưng không thể tìm thấy đủ icing để trang trải ... Tóm tắt • Giới hạn hành xử như mong đợi đại số; đó là, nếu các dãy {} một tụ tới một giới hạn một và trình tự [bn] đến một giới hạn b, sau đó:. lim (pan + qbn) -pliman + qlimbn = pa + qb forp, QE lim (anbn) = limaw limbw = ab • ~~ {bn) 1 lima ,, một - = - khi b # 0 limfr, b Nếu dãy {a "} phân kỳ, sau đó cho một số ce liên tục] Limu" ​​- + *> {a, = 0 và liml - | = oo n J Nó thường là cần thiết để thao tác một thành một hình thức mà tử số và mẫu số đều có giới hạn hữu hạn để các đại số của các giới hạn có thể được áp dụng này thường có thể đạt được bằng. phân chia thông qua bởi quyền lực cao nhất của n. Nếu một chuỗi được kẹp giữa hai chuỗi khác, cả hai đều hội tụ về cùng một giới hạn, sau đó trình tự đó là vắt và phải hội tụ đến mức giới hạn quá. Định lý Bóp: nếu chúng ta có chuỗi {aM <l £ <cM cho tất cả ne Z + và limaM = limcM = L <°° "n - n sau đó imbn -L Topic 9 - Lựa chọn: Calculus