Exercise 3.2-3 Convert the sentence

Exercise 3.2-3 Convert the sentence “No child wants a toothache” into a sentence of the form “It is not the case that...” Find an existential quantifier in your sentence.
Exercise 3.2-4 What would you have to do to show that a statement about one variable with an existential quantifier is false? Correspondingly, what would you have to do to show that a statement about one variable with a universal quantifier is true?


As Exercise 3.2-2 points out, English has many different ways to express quantifiers. For example, the sentences, “All hammers are tools”, “Each sandwich is delicious”, “No one in their right mind would do that”, “Somebody loves me”, and “Yes Virginia, there is a Santa Claus” all contain quantifiers. For Exercise 3.2-3, we can say “It is not the case that there is a child who wants a toothache.” Our quantifier is the phrase “there is.”
To show that a statement about one variable with an existential quantifier is false, we have to show that every element of the universe makes the statement (such as m2 > m) false. Thus to show that the statement “There is an x in [0, 1] with x2 > x” is false, we have to show that every x in the interval makes the statement x2 > x false. Similarly, to show that a statement with a universal quantifier is true, we have to show that the statement being quantified is true for every member of our universe. We will give more details about how to show a statement about a variable is true or false for every member of our universe later in this section.
Mathematical statements of theorems, lemmas, and corollaries often have quantifiers. For example in Lemma 2.5 the phrase “for any” is a quantifier, and in Corollary 2.6 the phrase “there is” is a quantifier.

Standard notation for quantification
Each of the many variants of language that describe quantification describe one of two situations: A quantified statement about a variable x asserts either
• that the statement is true for all x in the universe, or
• that there exists an x in the universe that makes the statement true.
All quantified statements have one of these two forms. We use the standard shorthand of ∀ for the phrase “for all” and the standard shorthand of ∃ for the phrase “there exists.” We also adopt
the convention that we parenthesize the expression that is subject to the quantification. For example, using Z to stand for the universe of all integers, we write
∀n ∈ Z (n2 ≥ n)
as a shorthand for the statement “For all integers n, n2 ≥ n.” It is perhaps more natural to read the notation as “For all n in Z, n2 ≥ n,” which is how we recommend reading the symbolism.
We similarly use
∃n ∈ Z(n2 ƒ> n)
to stand for “There exists an n in Z such that n2 ƒ> n.” Notice that in order to cast our symbolic form of an existence statement into grammatical English we have included the supplementary
word “an” and the supplementary phrase “such that.” People often leave out the “an” as they

Kết quả (Việt) 1:

Tập thể dục 3.2-3 chuyển đổi câu "Không có trẻ em muốn một đau răng" vào một câu của các hình thức "nó không phải là trường hợp đó..." Tìm thấy một quantifier hiện sinh trong câu của bạn.Tập thể dục 3.2-4 những gì bạn phải làm cho một tuyên bố về một biến với một quantifier hiện sinh là sai? Tương ứng, những gì sẽ có, bạn đã làm cho rằng một tuyên bố về một biến với một quantifier universal là đúng?Như tập thể dục 3.2-2 điểm ra, tiếng Anh có nhiều different cách để thể hiện quantifiers. Ví dụ, các câu, "búa tất cả là công cụ", "mỗi bánh sandwich là ngon", "không có ai trong tâm trí bên phải của họ sẽ làm điều đó", "Ai đó yêu tôi", và "có Virginia, có là một ông già Noel" tất cả chứa quantifiers. Đối với tập thể dục 3.2-3, chúng tôi có thể nói "Nó không phải là trường hợp là có một đứa trẻ muốn đau răng." Quantifier của chúng tôi là cụm từ "không có."Cho rằng một tuyên bố về một biến với một quantifier hiện sinh là sai, chúng tôi đã cho rằng mọi phần tử của vũ trụ làm cho các báo cáo (chẳng hạn như m2 > m) sai. Vì vậy để cho thấy rằng các báo cáo "có là một x trong [0, 1] với x 2 > x" là sai, chúng tôi phải cho mọi x thuộc khoảng làm cho tuyên bố x 2 > x sai. Tương tự như vậy, để hiển thị rằng một tuyên bố với một quantifier universal là đúng, chúng tôi đã thấy rằng tuyên bố là quantified là đúng cho mọi thành viên của vũ trụ của chúng tôi. Chúng tôi sẽ cung cấp cho biết thêm chi tiết về làm thế nào để hiển thị một báo cáo về một biến là đúng hay sai cho mỗi thành viên của vũ trụ của chúng tôi sau này trong phần này.Các phát biểu toán học của định lý, bổ đề và corollaries thường có quantifiers. Ví dụ trong bổ đề 2,5 cụm từ "cho bất kỳ" là một quantifier, và trong hệ luỵ 2.6 cụm từ "không có" là một quantifier.Các ký hiệu chuẩn cho quantificationMỗi của nhiều phiên bản của ngôn ngữ mô tả quantification mô tả một trong hai tình huống: một tuyên bố quantified về một biến x khẳng định hoặc• phát biểu là đúng với mọi x trong vũ trụ, hoặc• rằng có tồn tại một x trong vũ trụ mà làm cho các báo cáo đúng.Tất cả quantified báo cáo có một trong hai hình thức. Chúng tôi sử dụng viết tắt tiêu chuẩn của ∀ cho cụm từ "cho tất cả" và viết tắt tiêu chuẩn của ∃ cho cụm từ "không tồn tại." Chúng tôi cũng áp dụngCông ước mà chúng tôi parenthesize biểu hiện là tùy thuộc vào quantification. Ví dụ, bằng cách sử dụng Z để đứng cho vũ trụ của tất cả các số nguyên, chúng tôi viết∀n ∈ Z (n2 ≥ n)như là một viết tắt cho các tuyên bố "để tất cả số nguyên n, n2 ≥ n." Nó có lẽ là nhiều hơn nữa tự nhiên để đọc các ký hiệu là "Cho tất cả n trong Z, n2 ≥ n," đó là làm thế nào chúng tôi khuyên bạn nên đọc những biểu tượng.Chúng tôi sử dụng tương tự như vậy∃n ∈ Z (n2 ƒ > n)phải đứng cho "có tồn tại một n trong Z như vậy đó n2 ƒ > n." Thông báo rằng để đúc của chúng tôi hình thức biểu tượng của một tuyên bố sự tồn tại sang tiếng Anh ngữ pháp chúng tôi đã đưa các bổ sungtừ "một" và các cụm từ bổ sung "như vậy mà." Mọi người thường để lại ra "một" như họ

Kết quả (Việt) 2:

Tập thể dục 3,2-3 Chuyển đổi câu "Không có đứa trẻ nào muốn bị đau răng" vào một câu có dạng "Nó không phải là trường hợp đó ..." Tìm một quanti fi er tồn tại trong câu của bạn.
Tập thể dục 3,2-4 Những gì bạn sẽ phải làm gì để cho thấy rằng một tuyên bố về một biến với một fi quanti er hiện sinh là sai? Tương ứng, những gì bạn sẽ phải làm gì để cho thấy rằng một tuyên bố về một biến với một fi quanti er phổ quát là sự thật? Như Tập thể dục 3,2-2 điểm ra, tiếng Anh có nhiều cách di ff erent để thể hiện ers fi quanti. Ví dụ, các câu, "Tất cả búa là những công cụ", "Mỗi bánh sandwich là ngon", "Không một ai trong tâm trí của họ sẽ làm điều đó", "ai đó yêu tôi", và "Có Virginia, có một ông già Noel" tất cả chứa ers fi quanti. Tập Thể dục 3,2-3, chúng ta có thể nói "Nó không phải là trường hợp đó có một trẻ em nào muốn bị đau răng." Our er quanti fi là cụm từ "có". Để chứng minh rằng một tuyên bố về một biến với một fi quanti er hiện sinh là sai , chúng ta phải thấy rằng mọi yếu tố của vũ trụ làm câu (như m2> m) sai. Vì vậy, để cho thấy rằng các tuyên bố "Có một x trong [0, 1] với x2> x" là sai, chúng ta phải chứng minh rằng mọi x trong khoảng thời gian làm báo cáo x2> x sai. Tương tự như vậy, để cho thấy rằng một tuyên bố với một fi quanti er phổ quát là sự thật, chúng ta phải cho rằng tuyên bố là quanti fi ed là đúng đối với mọi thành viên trong vũ trụ của chúng ta. Chúng tôi sẽ cung cấp thêm chi tiết về làm thế nào để hiển thị một tuyên bố về một biến là đúng hoặc sai cho mỗi thành viên của vũ trụ của chúng ta sau này trong phần này. Báo cáo toán học của định lý, bổ đề, và hệ quả thường có ers fi quanti. Ví dụ trong Bổ đề 2.5 cụm từ "đối với bất kỳ" là một quanti fi er, và trong luỵ 2,6 cụm từ "có được" là một quanti fi er. Ký hiệu tiêu chuẩn cho quanti fi cation Mỗi phòng trong số nhiều biến thể của ngôn ngữ mô tả quanti fi cation mô tả một trong hai trường hợp: A quanti tuyên bố fi ed về một biến x khẳng định hoặc • rằng tuyên bố là đúng với mọi x trong vũ trụ, hoặc • rằng có tồn tại một x trong vũ trụ mà làm cho các tuyên bố sự thật. Tất cả quanti báo cáo fi ed có một trong hai hình thức này. Chúng tôi sử dụng cách viết tắt chuẩn của ∀ cho cụm từ "cho tất cả" và viết tắt chuẩn của ∃ cho cụm từ "có tồn tại." Chúng tôi cũng áp dụng các quy ước mà chúng ta nghĩ tạm các biểu thức đó là tùy thuộc vào các cation quanti fi. Ví dụ, sử dụng Z để đứng trong vũ trụ của tất cả các số nguyên, chúng tôi viết ∀n ∈ Z (n2 ≥ n) như một cách viết tắt cho các tuyên bố "Đối với tất cả các số nguyên n, n2 ≥ n." Đó có lẽ là tự nhiên hơn để đọc ký hiệu là "Đối với tất cả n trong Z, n2 ≥ n," đó là cách chúng tôi khuyên bạn nên đọc các biểu tượng. Chúng tôi sử dụng tương tự ∃n ∈ Z (ƒ n2> n) để đứng cho "Có tồn tại một n trong Z như vậy mà ƒ n2 > n. "Chú ý rằng để đúc mẫu biểu tượng của chúng ta về một tuyên bố sự tồn tại vào ngữ pháp tiếng Anh, chúng tôi đã bao gồm các bổ sung từ" một "và cụm từ bổ sung" như vậy mà. "Mọi người thường bỏ qua" một "như họ