11achieves a relative maximum (mini

11
achieves a relative maximum (minimum) at t* when f(t*) ~ f(t)
3
(f(t*) ~ f(t)) for all t sufficiently close to t* and global maximum
(minimum) for all other t ' t*, a functional J(x) is said to obtain
a local or relative maximum (minimum) along x*(t) when ~J(x*) ~ 0 (~ 0),
i.e. J(x*) ~ J(x) (J(x*) ~ J(x)) for all neighbouring functions
sufficiently close to x* and global maximum (minimum) when
J(x*) ~ J(x) (J(x*) ~ J(x)) for all other functions x(t) 'x*(t).
The order of closeness (see footnote J) is immaterial for
the study of the first necessary condition but becomes important in
the study of weak and strong variations in the examination of
sufficient conditions.
2.2 A Necessary Condition: The Euler Equation
Let C[a,b] represent the class of all continuous functions
i defined on a closed interval [a,b] and C [a,b] represent all functions
defined on [a,b] and having continuous ith derivative (1 ~ i ~ n).
By convention, cO[a,b] = C[a,b]. There is no loss of generality in
setting a= 0 and b = T so that C[a,b] = C[O,T].
Consider a variational problem of the simplest form
J(x) = JTf(x,x,t) dt
0
where the end points A(O,x(O)) and B(T,x(T)) are fixed,
f(x,x,t) E C2[0,T], x(t) E C2(0,T] and x = dx/dt and xis a scalar
function (see fig. 2.3, 2.4).
(3)

Kết quả (Việt) 2:

11
đạt tối đa tương đối (tối thiểu) tại t * khi f (t *) ~ f (t)
3
(f (t *) ~ f (t)) cho tất cả các t đủ gần để t * và tối đa toàn cầu
(tối thiểu) cho tất cả các t khác 't *, một chức năng (x) J được cho là để có được
một địa phương tối đa hoặc tương đối (tối thiểu) cùng x * (t) khi ~ J (x *) ~ 0 (~ 0),
tức là J (x * ) ~ J (x) (J (x *) ~ J (x)) cho tất cả các chức năng lân cận
đủ gần để x * và tối đa toàn cầu (tối thiểu) khi
J (x *) ~ J (x) (J (x *) ~ J (x)) cho tất cả các chức năng khác x (t) 'x * (t).
Thứ tự của sự gần gũi (xem chú thích J) là không quan trọng cho
việc nghiên cứu các điều kiện cần thiết đầu tiên, nhưng trở nên quan trọng trong
việc nghiên cứu các yếu và mạnh mẽ các biến thể trong việc kiểm tra
điều kiện đủ.
2.2 Điều kiện cần thiết: Các phương trình Euler
Hãy C [a, b] đại diện cho lớp của tất cả các chức năng liên tục
i được xác định trên một khoảng đóng [a, b] và C [a, b] đại diện cho tất cả chức năng
được xác định trên [a, b] và có đạo hàm liên tục thứ i (1 ~ i ~ n).
Theo quy ước, cO [a, b] = C [a, b]. Không có mất tính tổng quát trong
việc thiết a = 0 và b = T để C [a, b] = C [O, T].
Hãy xem xét một vấn đề biến phân của hình thức đơn giản nhất
J (x) = JTF (x, x, t) dt
0
nơi mà các điểm cuối A (O, x (O)) và B (T, x (T)) được cố định,
f (x, x, t) E C2 [0, T], x (t) E C2 (0, T] và x = dx một vô hướng / dt và xis
chức năng (xem hình. 2.3, 2.4).
(3)