EXAMPLE 34. The number e may be def

EXAMPLE 34. The number e may be defined as a limiting entity. The quantity ð1 þ ð1=xÞÞx

e when x grows larger. Consider the EXCEL evaluation of ð1 þ ð1=xÞÞx for x 1⁄4 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, and

1000000.

(1þ1/x)^x 2 2.593742 2.704814 2.716924 2.718146 2.718268 2.71828

The numbers 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, and 1000000 are entered into B1:H1 and the expression

1⁄4(1þ1/B1)^B1 is entered into B2 and a click-and-drag is performed from B2 to H2. This is expressed

mathematically by the expression limx!1ð1 þ ð1=xÞÞx 1⁄4 e.

EXAMPLE 35. The balance of an account earning compound interest, n times per year is given by

AðtÞ 1⁄4 Pð1 þ ðr=nÞÞnt where P is the principal, r is the interest rate, t is the time in years, and n is the number of

compound periods per year. The balance of an account earning interest continuously is given by AðtÞ 1⁄4 Pert.

EXCEL is used to compare the continuous growth of $1000 and $1000 that is compounded quarterly after 1, 2,

3, 4, and 5 years at interest rate 5%. The results are:

x 1 10 100 1000 10000 100000 1000000

Years 1 2 3 4 5

Quarterly 1050.95 1104.49 1160.75 1219.89 1282.04

Continuously 1051.27 1105.17 1161.83 1221.4 1284.03

The times 1, 2, 3, 4, and 5 are entered into B1:F1. The EXCEL expression 1⁄41000*(1.0125)^(4*B1) is

entered into B2 and a click-and-drag is performed from B2 to F2. The expression 1⁄41000*EXP(0.05*B1)

is entered into B3 and a click-and-drag is performed from B3 to F3. The continuous compounding

produces slightly better results.

PROPERTIES OF LOGARITHMS

The following are the more important properties of logarithms:

1. logb MN 1⁄4 logb M þ logb N

2. logb M=N 1⁄4 logb M logb N

3. logb MP 1⁄4 p logb M

EXAMPLE 36. Write logbðxy4

3

=z

Þ as the sum or difference of logarithms of x, y, and z.

xy4

z3 1⁄4 logb xy4 logb z

logb

xy4

z3 1⁄4 logb x þ logb y4 logb z

logb

xy4

logb

z3 1⁄4 logb x þ 4 logb y 3 logb z property 3

3 property 2

3 property 1

LOGARITHMIC EQUATIONS

To solve logarithmic equations:

1. Isolate the logarithms on one side of the equation.

2. Express a sum or difference of logarithms as a single logarithm.

3. Re-express the equation in step 2 in exponential form.

4. Solve the equation in step 3.

5. Check all solutions.

Kết quả (Việt) 2:

VÍ DỤ 34. Số e có thể được định nghĩa như là một thực thể hạn chế. Số lượng D1 þ D1 = xÞÞx e khi x phát triển lớn hơn. Hãy xem xét việc đánh giá EXCEL của D1 þ D1 = xÞÞx cho x 1/4 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, và 1000000. (1þ1 / x) ^ x 2 2,593742 2,704814 2,716924 2,718146 2,718268 2,71828 Các con số 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000 và được nhập vào B1: H1 và các biểu hiện 1/4 (1þ1 / B1) ^ B1 được nhập vào B2 và một cú nhấp chuột và kéo được thực hiện từ B2 đến H2. Điều này được thể hiện bằng toán học của limx biểu! 1ð1 þ D1 = xÞÞx 1/4 e. Ví dụ 35. dư của tài khoản thu lãi kép, n lần mỗi năm được cho bởi AðtÞ 1/4 PD1 þ DR = nÞÞnt đó P là hiệu trưởng, r là lãi suất, t là thời gian trong năm, và n là số lượng thời gian hợp mỗi năm. Sự cân bằng của một lãi kiếm được từ tài khoản liên tục được đưa ra bởi AðtÞ 1/4 Pert. EXCEL được sử dụng để so sánh sự tăng trưởng liên tục của $ 1000 và $ 1000 đó là phức tạp quý sau 1, 2, 3, 4, và 5 năm với lãi suất 5% . Kết quả là: x 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 Năm 1 2 3 4 5 Quý 1104,49 1160,75 1219,89 1050,95 1282,04 tục 1051,27 1105,17 1161,83 1284,03 1221,4 các lần 1, 2, 3, 4, và 5 được nhập vào B1: F1. Các biểu hiện EXCEL 1/41000 * (1,0125) ^ (4 * B1) được nhập vào B2 và một cú nhấp chuột và kéo được thực hiện từ B2 đến F2. Các biểu hiện 1/41000 * EXP (0.05 * B1) được nhập vào B3 và một cú nhấp chuột và kéo được thực hiện từ B3 đến F3. Các lãi kép liên tục tạo ra kết quả tốt hơn một chút. ĐẶC TÍNH của loga Sau đây là tài sản quan trọng của logarit: 1. logb MN 1/4 logb M þ logb N 2. logb M = N 1/4 logb M logb N 3. logb MP 1/4 p logb M Ví dụ 36. Viết logbðxy4 3 = z Þ là tổng hoặc hiệu của logarit của x, y, z. xy4 z3 1/4 xy4 logb z logb logb xy4 z3 1/4 logb x þ logb y4 z logb logb xy4 logb z3 1/4 logb x þ 4 logb y 3 z tài sản logb 3 3 Khách sạn 2 3 sở hữu 1 phương trình logarit Để giải phương trình logarit: 1. Cô lập các logarit trên một mặt của phương trình. 2. Thể hiện một tổng hoặc hiệu của logarit là một logarit đơn. 3. Diễn tả lại các phương trình trong bước 2 ở dạng hàm mũ. 4. Giải quyết các phương trình ở bước 3. 5. Kiểm tra tất cả các giải pháp.