EXAMPLE 2.6(CEO Salary and Return o

EXAMPLE 2.6
(CEO Salary and Return on Equity)
Table 2.2 contains a listing of the first 15 observations in the CEO data set, along with the
fitted values, called salaryhat, and the residuals, called uhat.
The first four CEOs have lower salaries than what we predicted from the OLS regression line
(2.26); in other words, given only the firm’s roe, these CEOs make less than what we pre-
dicted. As can be seen from the positive uhat, the fifth CEO makes more than predicted
from the OLS regression line.
Algebraic Properties of OLS Statistics
There are several useful algebraic properties of OLS estimates and their associated statistics.
We
now
cover
the three most important of these.
(1) The sum, and therefore the sample average of the OLS residuals, is zero.
Mathematically,
n

i
1
uˆ
i

0. (2.30)
This property needs no proof; it follows immediately from the OLS first order condition
(2.14),
when we remember that the residuals are defined by uˆ
.
In other words, the OLS estimates 
ˆ
0
ˆ
and 
1
i

y
are chosen to make the residuals add up to
zero (for any data set). This says nothing about the residual for any particular observation
i.
(2) The sample covariance between the regressors and the OLS residuals is zero.
This follows from the first order condition (2.15), which can be written in terms of the
residuals as
n

The sample average of the OLS residuals is zero, so the left hand side of (2.31) is proportional
to the sample covariance
between x
i
and uˆ
.
(3) The point (x¯,y¯) is always on the OLS regression line. In other words, if we take
i
equation (2.23) and plug in x¯ for x, then the predicted value is y¯. This is exactly what
equation (2.16) shows us.

Kết quả (Việt) 1:

VÍ DỤ 2.6(Giám đốc điều hành tiền lương và lợi nhuận trên vốn chủ sở hữu)2.2 bảng có chứa một danh sách của các quan sát đầu tiên 15 trong thiết lập dữ liệu CEO, cùng với cácTrang bị các giá trị, được gọi là salaryhat, và dư, được gọi là uhat.CEO tư có tiền lương thấp hơn những gì chúng tôi dự đoán từ dòng hồi quy OLS(2,26); nói cách khác, đưa ra chỉ của công ty trứng, các CEO thực hiện ít hơn những gì chúng tôi trước khidicted. Có thể nhìn thấy từ tích cực uhat, tổng giám đốc thứ năm làm cho nhiều hơn dự đoántừ dòng hồi quy OLS.Các thuộc tính đại số của số liệu thống kê OLSCó rất nhiều đặc tính hữu ích của đại số của OLS ước tính và thống kê liên kết của họ.Chúng tôibây giờbìaba quan trọng nhất.(1) tổng, và do đó là mẫu của dư OLS, là zero.Toán học,ntôi 1uˆtôi 0. (2,30)Tài sản này cần có bằng chứng; nó theo sau ngay lập tức từ tình trạng thứ tự đầu tiên của OLS(2,14),Khi chúng ta nhớ rằng các dư được xác định bởi uˆ.Nói cách khác, OLS ước tínhLIÊN0 LIÊNvà1 tôi yđược lựa chọn cho dư thêm tối đaZero (cho bất kỳ bộ dữ liệu). Điều này nói gì về còn lại cho bất kỳ quan sát cụ thểtôi.(2) hiệp phương sai mẫu giữa các regressors và dư OLS là zero.Điều này sau từ đầu tiên đặt hàng kiện (2,15), mà có thể được viết về cácdư lànMẫu Quốc dư OLS là là zero, do đó, bên trái của (2,31) là tỷ lệ thuậnđể mẫu hiệp phương saigiữa xtôi và uˆ.(3) các điểm (x¯, y¯) là luôn luôn trên dòng OLS hồi quy. Nói cách khác, nếu chúng ta cótôiphương trình (2,23) và cắm trong x¯ cho x, sau đó giá trị dự đoán là y¯. Điều này là chính xác những gìphương trình (2,16) cho chúng ta thấy.

Kết quả (Việt) 2:

Ví dụ 2.6
(CEO lương và lợi nhuận trên vốn chủ sở hữu)
Bảng 2.2 chứa một danh sách 15 quan sát đầu tiên trong tập hợp dữ liệu Giám đốc điều hành, cùng với các
giá trị được trang bị, được gọi là salaryhat, và các số dư, được gọi là uhat.
Bốn CEO đầu tiên có mức lương thấp hơn những gì chúng tôi dự đoán từ đường hồi quy OLS
(2.26); nói cách khác, nhất định chỉ có trứng của công ty, các CEO kiếm được ít hơn so với những gì chúng ta được chuẩn
dicted. Như có thể thấy từ uhat tích cực, Giám đốc điều hành thứ năm làm cho nhiều hơn so với dự đoán
từ đường hồi quy OLS.
Đại số thuộc tính của OLS kê
Có một số tính chất đại số hữu ích của OLS ước tính và số liệu thống kê liên quan của họ.
Chúng tôi
hiện nay
bao gồm
ba quan trọng nhất của các .
(1) Các khoản tiền, và do đó các mẫu trung bình của các số dư OLS, là số không.
Về mặt toán học, n? i? 1 u i? 0. (2.30) tài sản này không cần bằng chứng; nó theo ngay từ OLS lệnh đầu tiên điều kiện (2.14), khi chúng ta nhớ rằng các số dư được xác định bởi u. Nói cách khác, các OLS ước tính? 0 và? 1 i? y được lựa chọn để làm cho dư thêm lên đến số không (cho bất kỳ bộ dữ liệu). Điều này nói gì về dư cho bất kỳ quan sát cụ thể i. (2) Các hiệp phương sai mẫu giữa các biến hồi quy và các số dư OLS là số không. Điều này sau từ điều kiện đầu tiên để (2.15), mà có thể được viết về các phần dư như n Các mẫu trung bình của các số dư OLS là không, vì vậy phía bên tay trái của (2.31) là tỷ lệ thuận với hiệp phương sai mẫu giữa x i và u. (3) Các điểm (x, y) là luôn luôn trên đường hồi quy OLS . Nói cách khác, nếu chúng ta lấy i phương trình (2.23) và cắm vào x cho x, sau đó các giá trị dự đoán là y. Điều này là chính xác những gì phương trình (2.16) cho chúng ta thấy.