Combining RelationsBecause relation

Combining Relations
Because relations from A to B are subsets of A × B, two relations from A to B can be combined
in any way two sets can be combined. Consider Examples 17–19.
EXAMPLE 17 Let A = {1, 2, 3} and B = {1, 2, 3, 4}. The relations R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} and
R2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4)} can be combined to obtain
R1 ∪ R2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 3)},
R1 ∩ R2 = {(1, 1)},
R1 − R2 = {(2, 2), (3, 3)},
R2 − R1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4)}. ▲
EXAMPLE 18 Let A and B be the set of all students and the set of all courses at a school, respectively.
Suppose that R1 consists of all ordered pairs (a, b), where a is a student who has taken course b,
and R2 consists of all ordered pairs(a, b), where a is a student who requires course b to graduate.
What are the relations R1 ∪ R2, R1 ∩ R2, R1 ⊕ R2, R1 − R2, and R2 − R1?
Solution: The relation R1 ∪ R2 consists of all ordered pairs (a, b), where a is a student who
either has taken course b or needs course b to graduate, and R1 ∩ R2 is the set of all ordered
pairs (a, b), where a is a student who has taken course b and needs this course to graduate.
Also, R1 ⊕ R2 consists of all ordered pairs (a, b), where student a has taken course b but does
not need it to graduate or needs course b to graduate but has not taken it. R1 − R2 is the set of
ordered pairs (a, b), where a has taken course b but does not need it to graduate; that is, b is
an elective course that a has taken. R2 − R1 is the set of all ordered pairs (a, b), where b is a
course that a needs to graduate but has not taken. ▲
EXAMPLE 19 Let R1 be the “less than” relation on the set of real numbers and let R2 be the “greater than”
relation on the set of real numbers, that is, R1 = {(x, y) | xy}.
What are R1 ∪ R2, R1 ∩ R2, R1 − R2, R2 − R1, and R1 ⊕ R2?
Solution: We note that (x, y) ∈ R1 ∪ R2 if and only if (x, y) ∈ R1 or (x, y) ∈ R2. Hence,
(x, y) ∈ R1 ∪ R2 if and only if xy. Because the condition xy is
the same as the condition x = y, it follows that R1 ∪ R2 = {(x, y) | x = y}. In other words, the
union of the “less than” relation and the “greater than” relation is the “not equals” relation.
Next, note that it is impossible for a pair (x, y) to belong to both R1 and R2 because it is
impossible that xy. It follows that R1 ∩ R2 = ∅. We also see that R1 − R2 = R1,
R2 − R1 = R2, and R1 ⊕ R2 = R1 ∪ R2 − R1 ∩ R2 = {(x, y) | x = y}. ▲
There is another way that relations are combined that is analogous to the composition of
functions.
P1: 1
CH09-7T Rosen-2311T MHIA017-Rosen-v5.cls May 13, 2011 15:29
580 9 / Relations
DEFINITION 6 Let R be a relation from a set A to a set B and S a relation from B to a set C. The composite
of R and S is the relation consisting of ordered pairs (a, c), where a ∈ A, c ∈ C, and for
which there exists an element b ∈ B such that (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ S. We denote the
composite of R and S by S ◦R.
Computing the composite of two relations requires that we find elements that are the second
element of ordered pairs in the first relation and the first element of ordered pairs in the second
relation, as Examples 20 and 21 illustrate.
EXAMPLE 20 What is the composite of the relations R and S, where R is the relation from{1, 2, 3}to {1, 2, 3, 4}
with R = {(1, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 1), (3, 4)} and S is the relation from {1, 2, 3, 4} to {0, 1, 2}
with S = {(1, 0), (2, 0), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}?
Solution: S ◦R is constructed using all ordered pairs in R and ordered pairs in S, where the
second element of the ordered pair in R agrees with the first element of the ordered pair
in S. For example, the ordered pairs (2, 3) in R and (3, 1) in S produce the ordered pair (2, 1)
in S ◦R. Computing all the ordered pairs in the composite, we find
S ◦ R = {(1, 0), (1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 1)}. ▲
EXAMPLE 21 Composing the Parent Relation with Itself Let R be the relation on the set of all people
such that (a, b) ∈ R if person a is a parent of person b. Then (a, c) ∈ R ◦R if and only if there
is a person b such that (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ R, that is, if and only if there is a person b such
that a is a parent of b and b is a parent of c. In other words, (a, c) ∈ R ◦R if and only if a is a
grandparent of c. ▲
The powers of a relation R can be recursively defined from the definition of a composite of
two relations.
DEFINITION 7 Let R be a relation on the set A. The powers Rn, n = 1, 2, 3,..., are defined recursively by
R1 = R and Rn+1 = Rn ◦ R.
The definition shows that R2 = R ◦ R, R3 = R2 ◦ R = (R ◦ R)◦ R, and so on.
EXAMPLE 22 Let R = {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}. Find the powers Rn, n = 2, 3, 4,....
Solution: Because R2 = R ◦R, we find that R2 = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 2)}. Furthermore,
because R3 = R2 ◦R, R3 = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)}. Additional computation shows
that R4 is the same as R3, so R4 = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)}. It also follows that Rn = R3
for n = 5, 6, 7,.... The reader should

Kết quả (Việt) 1:

Quan hệ kết hợpBởi vì quan hệ từ A đến B là các tập con của một × B, hai quan hệ từ A đến B có thể được kết hợptrong bất kỳ cách nào hai bộ có thể được kết hợp. Hãy xem xét ví dụ 17 – 19.Ví DỤ 17 cho A = {1, 2, 3} và B = {1, 2, 3, 4}. Quan hệ R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} vàR2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4)} có thể được kết hợp để có đượcR1 R2 U = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 3)},R1 ∩ R2 = {(1, 1)},R1 − R2 = {(2, 2) (3, 3)},R2 − R1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4)}. ▲Ví DỤ 18 cho A và B là các thiết lập của tất cả sinh viên và các thiết lập của tất cả các khóa học tại một trường học, tương ứng.Giả sử rằng R1 bao gồm tất cả các lệnh cặp (a, b), nơi một là một sinh viên đã đưa khóa học b,và R2 bao gồm tất cả đã ra lệnh cho các cặp (a, b), nơi một là một sinh viên yêu cầu b khóa học để tốt nghiệp.Những gì là u quan hệ R1 R2, R1 ∩ R2, R1 ⊕ R2, R1 − R2 và R2 − R1?Giải pháp: U quan hệ R1 R2 bao gồm tất cả các lệnh cặp (a, b), nơi một là một sinh viên ngườiđã đưa khóa học b hoặc nhu cầu của khóa học b để tốt nghiệp, và R1 ∩ R2 là tập hợp của tất cả các lệnhCặp (a, b), nơi một là một sinh viên đã đưa khóa học b và nhu cầu này khóa học để tốt nghiệp.Ngoài ra, R1 ⊕ R2 bao gồm tất cả ra lệnh cho cặp (a, b), nơi mà sinh viên một đã đưa khóa học b nhưng khôngkhông cần nó đến sau đại học hoặc nhu cầu b khóa học để tốt nghiệp nhưng đã không thực hiện nó. R1 − R2 là tập hợp cácra lệnh cho các cặp (a, b), nơi mà một đã đưa khóa học b nhưng không cần nó đến sau đại học; đó là, b làmôn tự chọn khóa học mà một đã thực hiện. R2 − R1 là tập của tất cả các cặp đã ra lệnh (a, b), nơi b là mộtDĩ nhiên là có một nhu cầu để tốt nghiệp nhưng đã không thực hiện. ▲Ví DỤ 19 cho R1 là các "ít hơn" mối quan hệ trên tập hợp số thực và để cho R2 là "lớn hơn"mối quan hệ trên tập hợp số thực, đó là, R1 = {(x, y) | xy}.R1 là gì u R2, R1 ∩ R2, R1 − R2, R2 − R1 và R1 ⊕ R2?Giải pháp: Chúng tôi lưu ý rằng (x, y) ∈ R1 u R2 nếu và chỉ nếu (x, y) ∈ R1 hay (x, y) ∈ R2. Do đó,(x, y) ∈ R1 u R2 nếu và chỉ nếu xy. vì điều kiện xy làtương tự như điều kiện x = y, nó sau đó R1 u R2 = {(x, y) | x = y}. Nói cách khác, cácliên quan hệ "ít hơn" và "lớn hơn" mối quan hệ là quan hệ "không bằng".Sau đó, lưu ý rằng nó không thể cho một cặp (x, y) thuộc về R1 và R2 bởi vì nó làkhông thể rằng xy. sau đó R1 ∩ R2 = ∅. Chúng ta cũng thấy rằng R1 − R2 = R1,R2 − R1 = R2 và R1 ⊕ R2 = R1 u R2 − R1 ∩ R2 = {(x, y) | x = y}. ▲Có một cách khác quan hệ được kết hợp đó là tương tự như các thành phần củaCác chức năng.P1: 1CH09-7T Rosen-2311T MHIA017-Rosen-v5.cls có thể 13, 2011 15:29580 9 / quan hệĐịnh NGHĨA 6 cho R là một mối quan hệ từ một tập A đến một thiết lập B S một mối quan hệ từ B đến C. thiết lập Các compositeR và S được mối quan hệ bao gồm lệnh cặp (a, c), nơi một ∈ A, c ∈ C, và chođó có tồn tại một yếu tố b ∈ B sao cho (a, b) ∈ R và (b, c) ∈ S. Chúng tôi biểu thị sựhỗn hợp của R và S bởi S ◦R.Tính toán hỗn hợp của hai quan hệ yêu cầu chúng tôi tìm thấy yếu tố thứ haiCác yếu tố của các cặp đã ra lệnh trong mối quan hệ đầu tiên và các yếu tố đầu tiên của cặp đã ra lệnh thứ haiminh họa mối quan hệ, là ví dụ 20 và 21.Ví DỤ 20 gì là hỗn hợp của quan hệ R và S, nơi R là mối quan hệ từ {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4}với R = {(1, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 1), (3, 4)} và S là các mối quan hệ từ {1, 2, 3, 4} {0, 1, 2}với S = {(1, 0) (2, 0), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}?Giải pháp: S ◦R được xây dựng bằng cách sử dụng ra lệnh cho tất cả các cặp trong R và ra lệnh cho cặp trong S, nơi cácCác yếu tố thứ hai của các cặp đã ra lệnh trong R đồng ý với các yếu tố đầu tiên của Cặp đôi đã ra lệnhthuộc S. Ví dụ, các cặp đã ra lệnh (2, 3) trong R và (3, 1) trong sản xuất ra lệnh cho đôi (2, 1)trong S ◦R. Máy tính tất cả các cặp đã ra lệnh trong hỗn hợp, chúng tôi tìm thấyS ◦ R = {(1, 0), (1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 1)}. ▲Ví DỤ 21 sáng tác quan hệ cha mẹ với chính nó để cho R có liên quan trên các thiết lập của tất cả mọi ngườinhư vậy mà (a, b) ∈ R nếu người một là một phụ huynh của người b. Sau đó (a, c) ∈ R ◦R nếu và chỉ nếu cólà một người b sao cho (a, b) ∈ R và (b, c) ∈ R, có nghĩa là, nếu có một người b là như vậymà một là một phụ huynh của b và b là một phụ huynh của c. Nói cách khác, (a, c) ∈ R ◦R nếu và chỉ nếu một là mộtông bà c. ▲Các quyền hạn của một mối quan hệ R có thể là xác định từ định nghĩa của một hỗn hợp của đệ quyhai quan hệ.Định NGHĨA 7 cho R là một mối quan hệ trên tập hợp A. Quyền hạn Rn, n = 1, 2, 3,..., là định nghĩa đệ quy củaR1 = R và Rn + 1 = Rn ◦ R.Định nghĩa cho thấy, R2 = R ◦ R, R3 = R2 ◦ R = (R ◦ R) ◦ R, và như vậy.Ví DỤ 22 cho R = {(1, 1) (2, 1), (3, 2), (4, 3)}. Tìm thấy quyền hạn Rn, n = 2, 3, 4,...Giải pháp: Vì R2 = R ◦R, chúng tôi thấy rằng R2 = {(1, 1) (2, 1), (3, 1), (4, 2)}. Hơn nữa,bởi vì R3 = R2 ◦R, R3 = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)}. Bổ sung tính toán cho thấyR4 đó chính là R3, R4 vậy = {(1, 1) (2, 1), (3, 1), (4, 1)}. Cũng sau đó Rn = R3cho n = 5, 6, 7... Người đọc nên

Kết quả (Việt) 2:

Kết hợp quan hệ
Vì mối quan hệ từ A đến B là tập con của A × B, hai quan hệ từ A đến B có thể được kết hợp
trong bất cứ cách hai bộ có thể được kết hợp. Hãy xem xét ví dụ 17-19.
VÍ DỤ 17 Hãy A = {1, 2, 3} và B = {1, 2, 3, 4}. Các mối quan hệ R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} và
R2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4) } có thể được kết hợp để có được
R1 ∪ R2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 3)},
R1 ∩ R2 = {(1, 1)},
R1 - R2 = {(2, 2), (3, 3)},
R2 - R1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4) }. ▲
VÍ DỤ 18 Cho A và B là tập hợp của tất cả các sinh viên và các thiết lập của tất cả các khóa học tại một trường học, tương ứng.
Giả sử R1 bao gồm tất cả các cặp có thứ tự (a, b), trong đó một là một học sinh đã học b,
và R2 bao gồm tất cả các cặp có thứ tự (a, b), trong đó một là một học sinh đòi hỏi trình b để tốt nghiệp.
mối quan hệ R1 ∪ R2, R1 ∩ R2, R1 ⊕ R2, R1 là gì - R2 và R2 - R1?
giải pháp: các mối quan hệ R1 ∪ R2 bao gồm tất cả các cặp có thứ tự (a, b), nơi một là một sinh viên
hoặc đã trình b hoặc cần nhiên b để tốt nghiệp, và R1 ∩ R2 là tập hợp của tất cả các lệnh
cặp (a, b), trong đó một là một học sinh đã trình b và cần khóa học này để tốt nghiệp.
Ngoài ra, R1 ⊕ R2 bao gồm tất cả các cặp có thứ tự (a, b), nơi sinh viên một đã trình b nhưng
không cần nó để tốt nghiệp hoặc cần nhiên b để tốt nghiệp nhưng đã không lấy nó. R1 - R2 là tập các
cặp có thứ tự (a, b), trong đó một đã trình b nhưng không cần nó để tốt nghiệp; đó là, b là
một khóa học tự chọn mà đã thực hiện. R2 - R1 là tập hợp của tất cả các cặp có thứ tự (a, b), trong đó b là một
khóa học mà là một nhu cầu để tốt nghiệp nhưng đã không được thực hiện. ▲
VÍ DỤ 19 Hãy R1 là "ít hơn" quan hệ trên tập các số thực và để cho R2 là "lớn hơn"
quan hệ trên tập các số thực, đó là, R1 = {(x, y) | xy}.
là gì R1 ∪ R2, R1 ∩ R2, R1 - R2, R2 - R1, và R1 ⊕ R2?
Giải pháp: Chúng tôi lưu ý rằng (x, y) ∈ R1 ∪ R2 nếu và chỉ nếu (x, y) ∈ R1 hoặc (x, y) ∈ R2. Do đó,
(x, y) ∈ R1 ∪ R2 khi và chỉ khi xy. Bởi vì điều kiện xy là
giống như các điều kiện x = y, nó sau đó R1 ∪ R2 = {(x, y) | x = y}. Nói cách khác, các
công đoàn của các "ít hơn" mối quan hệ và "lớn hơn" quan hệ là quan hệ "không bình đẳng".
Tiếp theo, lưu ý rằng nó là không thể đối với một cặp (x, y) thuộc về cả hai R1 và R2 bởi vì nó là
không thể mà xy. Nó sau đó R1 ∩ R2 = ∅. Chúng tôi cũng thấy rằng R1 - R2 = R1,
R2 - R1 = R2 và R1 ⊕ R2 = R1 ∪ R2 - R1 ∩ R2 = {(x, y) | x = y}. ▲
Có một cách khác rằng mối quan hệ này được kết hợp đó là tương tự như các thành phần của
chức năng.
1: P1
CH09-7T Rosen-2311T MHIA017-Rosen-v5.cls 13 Tháng Năm 2011 15:29
580 9 / Quan hệ
Định nghĩa 6 Hãy R là một quan hệ từ một tập A đến tập B và S là một quan hệ từ B đến một tập C. các hợp
của R và S là quan hệ bao gồm các cặp có thứ tự (a, c), nơi a ∈ A, c ∈ C, và cho
đó có tồn tại một yếu tố b ∈ b sao cho (a, b) ∈ R và (b, c) ∈ S. chúng tôi biểu thị
tổng hợp của R và S bằng S ◦R.
Đang tính toán tổng hợp của hai quan hệ đòi hỏi chúng ta tìm yếu tố đó là thứ hai
yếu tố của cặp có thứ tự trong quan hệ đầu tiên và phần tử đầu tiên của cặp có thứ tự trong lần thứ hai
liên quan, như ví dụ 20 và 21 minh họa.
VÍ DỤ 20 sự kết hợp của R mối quan hệ và S, trong đó R là quan hệ là gì từ {1, 2, 3} đến {1, 2, 3, 4}
với R = {(1, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 1), (3, 4 )} và S là quan hệ từ {1, 2, 3, 4} đến {0, 1, 2}
S = {(1, 0), (2, 0), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}?
giải pháp: S ◦R được xây dựng sử dụng tất cả các cặp có thứ tự trong R và cặp thứ tự trong S, nơi mà các
yếu tố thứ hai của cặp lệnh trong R đồng ý với các yếu tố đầu tiên của cặp lệnh
trong S . Ví dụ, các cặp thứ tự (2, 3) trong R và (3, 1) trong S sản xuất các cặp có thứ tự (2, 1)
trong S ◦R. Tính toán tất cả các cặp có thứ tự trong composite, chúng tôi tìm thấy
S ◦ R = {(1, 0), (1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 1 )}. ▲
VÍ DỤ 21 Soạn Quan hệ Chánh với Itself Hãy R là quan hệ trên các thiết lập của tất cả mọi người
như vậy mà (a, b) ∈ R nếu người một là mẹ của người b. Sau đó (a, c) ∈ R ◦R khi và chỉ khi có
một người như vậy mà b (a, b) ∈ R và (b, c) ∈ R, có nghĩa là, nếu và chỉ nếu có một người như vậy b
rằng một là cha mẹ của b và b là một phụ huynh của c. Nói cách khác, (a, c) ∈ R ◦R nếu và chỉ nếu a là
ông bà của c. ▲
Các quyền hạn của một quan hệ R có thể được định nghĩa đệ quy từ định nghĩa của một hỗn hợp của
hai quan hệ.
ĐỊNH NGHĨA 7 Hãy R là một quan hệ trên tập A. Các cường Rn, n = 1, 2, 3, ..., là định nghĩa đệ quy của
R1 = R và R n + 1 = Rn ◦ R.
Các định nghĩa cho thấy rằng R2 = R ◦ R, R3 = R2 ◦ R = (R ◦ R) ◦ R, và như vậy.
Ví dụ 22 Hãy R = {( 1, 1), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}. Tìm các cường Rn, n = 2, 3, 4, ....
Giải pháp: Vì R2 = R ◦R, chúng ta thấy rằng R2 = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 2)}. Hơn nữa,
bởi vì R3 = R2 ◦R, R3 = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)}. Tính toán bổ sung cho thấy
rằng R4 là giống như R3, vì vậy R4 = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)}. Nó cũng sau đó Rn = R3
cho n = 5, 6, 7, .... Người đọc nên