The first way that a function can f

The first way that a function can fail to be continuous at a point a is that

lim f(x) = L exists (and is finite)
x --> a
but f(a) is not defined or f(a) L. Discontinuities for which the limit of f(x) exists and is finite are called removable discontinuities for reasons explained below.

f(a) is not defined

If f(a) is not defined, the graph has a "hole" at (a, f(a)). This hole can be filled by extending the domain of f(x) to include the point x=a and defining
f(a) = lim f(x).
x --> a
This has the effect of removing the discontinuity.

If lim f(x) = L but f(a) is not defined
x --> a
then the discontinuity at x=a can be removed by defining f(a)=L.

Graph of (x2 - 1)/(x - 1)
As an example, consider the function g(x) = (x2 - 1)/(x - 1). Then g(x) = x+1 for all real numbers except x=1. Since g(x) and x+1 agree at all points other than the objective,

lim g(x) = lim x+1 = 2.
x --> 1 x --> 1


We can "remove" the discontinuity by filling the hole. The domain of g(x) may be extended to include x=1 by declaring that g(1) = 2. This makes g(x) continuous at x=1. Since g(x) is continuous at all other points (as evidenced, for example, by the graph), defining g(x) = 2 turns g into a continuous function.
The limit and the value of the function are different.

If the limit as x approaches a exists and is finite and f(a) is defined but not equal to this limit, then the graph has a hole with a point misplaced above or below the hole. This discontinuity can be removed by re-defining the function value f(a) to be the value of the limit.

If lim f(x) = L but f(a) L
x --> a
then the discontinuity at x=a can be removed by re-defining f(a)=L.

As and example, the piecewise function in the second equipment check on the page "Defintion of Continuity" was given by

{ Undefined Unless 0 < x < 1
h(x) = 3 If x=.5
1.5 + 1/(x + .25) 0 < x < 1, x.5
Portion of the graph of h(x)


We can remove the discontinuity by re-defining the function so as to fill the hole. In this case we re-define h(.5) = 1.5 + 1/(.75) = 17/6.

Kết quả (Việt) 1:

Cách thứ nhất một chức năng có thể không được liên tục tại một điểm một làLim f (x) = L tồn tại (và là hữu hạn)x -> một nhưng f(a) không xác định hoặc f(a) L. Discontinuities mà các giới hạn của f (x) tồn tại và là hữu hạn được gọi là discontinuities lưu động vì các lý do giải thích dưới đây.f(a) không xác địnhNếu f(a) không được xác định, biểu hiện có một lỗ"" (a, f(a)). Lỗ này có thể được lấp đầy bằng cách mở rộng miền của f (x) để bao gồm các điểm x = một và xác địnhf(a) = lim f (x).x -> một Điều này có tác dụng loại bỏ sự đứt quãng.Nếu lim f (x) = L nhưng f(a) không xác địnhx -> một sau đó là sự gián đoạn tại x = một có thể được gỡ bỏ bằng cách định nghĩa f (a) = L.Đồ thị của (x 2 – 1) / (x - 1)Ví dụ, xem xét chức năng g(x) = (x 2 – 1) / (x - 1). Sau đó g(x) = x + 1 với mọi số thực trừ x = 1. Kể từ khi g(x) và x + 1 đồng ý ở tất cả các điểm khác hơn so với mục tiêu,Lim g(x) = lim x + 1 = 2.--> x 1 x--> 1 Chúng tôi có thể "loại bỏ" gián đoạn bằng cách điền vào các lỗ. Tên miền của g(x) có thể được mở rộng để bao gồm x = 1 bằng cách tuyên bố rằng g(1) = 2. Điều này làm cho g(x) liên tục tại x = 1. Kể từ khi liên tục tại tất cả các điểm khác (như, ví dụ, bằng chứng biểu đồ), xác định g(x) g(x) = 2 g lần lượt vào một chức năng liên tục.Các giới hạn và giá trị của hàm là khác nhau.Nếu phương pháp tiếp cận giới hạn khi x một tồn tại và là hữu hạn và f(a) được xác định nhưng không bằng giới hạn này, sau đó biểu đồ có một lỗ với một điểm thất lạc ở trên hoặc dưới lỗ. Gián đoạn này có thể được gỡ bỏ bằng cách tái xác định chức năng giá trị f(a) để là giá trị của các giới hạn.Nếu lim f (x) = L nhưng f(a) Lx -> một sau đó là sự gián đoạn tại x = một có thể được gỡ bỏ bằng tái định nghĩa f (a) = L.Như ví dụ, các chức năng đường trong việc kiểm tra thiết bị thứ hai trên trang "Defintion liên tục" được cho bởi{Undefined trừ khi 0 < x < 1h (x) = 3 nếu x =. 51.5 + 1 /(x +.25) 0 < x < 1, x.5Phần của đồ thị h (x)Chúng tôi có thể loại bỏ sự đứt quãng bằng cách xác định lại các chức năng để điền vào các lỗ. Trong trường hợp này, chúng tôi tái xác định h(.5) = 1,5 + 1/(.75) = 17/6.

Kết quả (Việt) 2:

Cách đầu tiên mà một chức năng có thể không được liên tục tại một điểm một là

lim f (x) = L tồn tại (và là hữu hạn)
x -> a
nhưng f (a) không được xác định hoặc f (a) L. gián đoạn mà giới hạn của f (x) tồn tại và hữu hạn được gọi là gián đoạn tháo rời cho lý do giải thích dưới đây.

f (a) không được định nghĩa

Nếu f (a) không được định nghĩa, đồ thị có một "lỗ" ở (a, f (a)). Lỗ hổng này có thể được lấp đầy bằng cách mở rộng phạm vi của f (x) để bao gồm các điểm x = a và xác định
f (a) = lim f (x).
X -> a
. Điều này có tác dụng loại bỏ các gián đoạn

Nếu lim f (x) = L nhưng f (a) không được định nghĩa
x -> a
thì gián đoạn tại x = a có thể được loại bỏ bằng cách định nghĩa f (a) = L.

Biểu đồ (x2 - 1) / (x - 1 )
Như một ví dụ, xét hàm g (x) = (x2 - 1) / (x - 1). Sau đó g (x) = x + 1 với mọi số thực trừ x = 1. Vì g (x) và x + 1 đồng ý ở tất cả các điểm khác so với các mục tiêu,

lim g (x) = lim x + 1 = 2.
x -> 1 x -> 1


Chúng ta có thể "loại bỏ" sự gián đoạn bằng cách điền lỗ. Tên miền của g (x) có thể được mở rộng để bao gồm x = 1 bằng cách tuyên bố rằng g (1) = 2. Điều này làm cho g (x) liên tục tại x = 1. Vì g (x) là liên tục ở tất cả các điểm khác (bằng chứng là, ví dụ, bằng biểu đồ), xác định g (x) = 2 biến g vào một chức năng liên tục.
Các giới hạn và giá trị của các chức năng khác nhau.

Nếu hạn như x tiếp cận một tồn tại và là hữu hạn và f (a) được xác định nhưng không bằng tới mức này, sau đó đồ thị có một lỗ với một điểm thất lạc ở trên hoặc dưới các lỗ. Gián đoạn này có thể được loại bỏ bằng cách tái xác định giá trị hàm f (a) là giá trị của giới hạn.

Nếu lim f (x) = L nhưng f (a) L
x -> a
thì gián đoạn tại x = a có thể được loại bỏ bằng cách tái xác định f (a) = L.

Như và dụ, hàm từng phần trong kiểm tra thiết bị thứ hai trên trang "defintion của Liên tục" đã được đưa ra bởi

{Không xác định Trừ khi 0 <x <1
h (x) = 3 Nếu x = 0,5
1,5 + 1 / (x + 0,25) 0 <x <1, x.5
phần ăn trong các đồ thị của h (x)


Chúng ta có thể loại bỏ sự gián đoạn bằng cách tái xác định chức năng để lấp đầy lỗ. Trong trường hợp này, chúng tôi tái xác định h (0,5) = 1,5 + 1 / (. 75) = 17/6.