Bài toán 1. Tìm số hạng thứ 7 trong

Bài toán 1. Tìm số hạng thứ 7 trong dãy số −1,4,−2,3,−3,2,…
Bài toán 2. Tìm chữ số tận cùng của số 20172017−20132015.

Bài toán 3. Tam giác đều và lục giác đều có cùng chu vi. Biết rằng diện tích tam giác là 43√, hãy tìm diện tích lục giác đều.

Bài toán 4. Tìm tổng tất cả các số chẵn là bội của 6 mà nhỏ hơn 100.

Bài toán 5. Biết a,b,c,m thoả mãn a+b+c≡(a−b)(b−c)(c−a)≡m(mod27), trong đó 0≤m≤26. Tìm m.

Phần thi tự luận

Bài toán 1. Tìm x sao cho x4=2x2+[x], trong đó [a] chỉ phần nguyên của a.

Bài toán 2. Cho ba số thực dương a,b,c thuộc đoạn [−1;1] thoả mãn 1+2abc≥a2+b2+c2. Chứng minh rằng

1+2a2b2c2≥a4+b4+c4.

Bài toán 3. Cho ba số thực dương a,b,c thoả mãn abc=1. Chứng minh rằng

a3+b3+c3+2(ab)3+2(bc)3+2(ca)3≥3(a2b+b2c+c2a).
Bài toán 4. Ba số thực không âm a,b,c thoả mãn a2+b2+c2≤8. Tìm giá trị lớn nhất của

4(a3+b3+c3)−(a4+b4+c4).

Bài toán 5. Tìm x biết rằng (2015x−2014)3=8(x−1)3+(2013x−2012)3.

Bài toán 6. Hai số thực dương x,y thoả mãn (x2+y2−2)(x+y)2+(xy+1)2=0. Chứng minh rằng 1+xy−−−−−√ là số hữu tỉ.

Bài toán 7. Tam giác ABC có các chiều cao lần lượt là hA,hB,hC và đường tròn nội tiếp bằng 2. Biết rằng hA=7,hB=3, hãy tính hC.

Bài toán 8. Cho 2x2+x+y+1=x2+2y2+xy. Tìm x,y.

Bài toán 9. Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC,BD cắt nhau tại O. Kẻ đường cao từ B,O,C xuống AD cắt AD lần lượt tại I,K,H. Chứng minh rằng AD×BI×CH≤AC×BD×OK.

Kết quả (Việt) 1:

Hai toán 1. Tìm số Thiên thứ 7 trong dãy số −1, 4, −2, 3, −3, 2,...Hai toán 2. Tìm chữ số tận cùng của số 20172017−20132015.Hai toán 3. Tam tháp đều và lục tháp đều có cùng chu vi. Biết rằng diện tích tam tháp là 43√, hãy tìm diện tích lục tháp đều.Hai toán 4. Tìm tổng tất đoàn các số chẵn là bội của 6 mà nhỏ hơn 100.Hai toán 5. Biết a, b, c, m thoả mãn a+b+c≡(a−b)(b−c)(c−a)≡m(mod27), trong đó 0≤m≤26. Tìm m.Phần thi tự biệtHai toán 1. Tìm x sao cho x 4 = 2 x 2 + [x], trong đó [a] chỉ phần nguyên của một. Hai toán 2. Cho ba số thực dương a, b, c thuộc đoạn [−1; 1] thoả mãn 1 + 2abc≥a2 + b2 + c2. Chứng minh rằng1 + 2a2b2c2≥a4 + b4 + c4.Hai toán 3. Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằngA3+B3+C3+2(Ab)3+2(BC)3+2(ca)3≥3(A2b+B2C+c2a).Hai toán 4. Ba số thực không đảm a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2≤8. Tìm giá trị lớn nhất của 4(A3+B3+C3)−(A4+B4+C4). Hai toán 5. Tìm x biết rằng (2015x−2014) 3 = 8 (x−1) 3 + (2013x−2012) 3.Hai toán 6. Hai số thực dương x, y thoả mãn (x 2 + y2−2)(x+y) 2 + (xy + 1) 2 = 0. Chứng minh rằng 1 + xy−−−−−√ là số hữu tỉ.Hai toán 7. Tam tháp ABC có các chiều cao lần lượt là hA, hB, hC và đường tròn nội truyện bằng 2. Biết rằng 7, hA = hB = 3, hãy tính hC. Hai toán 8. Cho 2 x 2 + x + y + 1 = x 2 + 2y2 + xy. Tìm x, y. Hai toán 9. Tứ tháp ABCD có hai đường chéo AC, BD cắt nội tại O. sống đường cao từ B, O, C xuống quảng cáo cắt AD lần lượt tại I, K, H. Chứng minh rằng quảng cáo × BI × CH≤AC × BD × OK.

Kết quả (Việt) 2:

Bài toán 1. Tìm addend thứ 7 in the sequence numbers -1,4, -2,3, -3,2, ...
Bài toán 2. Tìm chữ số tận cùng of số 20.172.017-20.132.015.

Bài toán 3. Tam giác will and lục giác will have the same chu vi. Biết that diện tích tam giác is 43√, hãy tìm diện tích lục giác will.

Bài toán 4. Tìm tổng all is even bội of 6 which is smaller 100.

Bài toán 5. Biết a, b, c, m Thỏa mãn a + b + c≡ (a-b) (b-c) (c-a) ≡m (mod27), in which 0≤m≤26. Tìm m.

Phần thi tự luận

Bài toán 1. Tìm x sao cho x4 = 2x2 + [x], in which [a] chỉ phần nguyên of a.

Bài toán 2. Cho ba số thực dương a, b, c thuộc đoạn [ -1; 1] thỏa mãn 1 + 2abc≥a2 + b2 + c2. Chứng minh that

1 + 2a2b2c2≥a4 + b4 + c4.

Bài toán 3. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh that

a3 + b3 + c3 + 2 (ab) 3 + 2 (bc) 3 + 2 (ca) 3≥3 (A2B + b2c + C2A).
Bài toán 4. Ba số thực do not âm a, b, c Thỏa mãn a2 + b2 + c2≤8. Tìm giá trị lớn nhất of

4 (a3 + b3 + c3) -. (A4 + b4 + c4)

Bài toán 5. Tìm x biết that (2015x-2014) 3 = 8 (x-1) 3+ (2013x 2012 ) 3.

Bài toán 6. Hai số thực dương x, y thỏa mãn (x2 + y2-2) (x + y) 2 + (xy + 1) 2 = 0. Chứng minh that 1 + xy ----- √ is số hữu tỉ.

Bài toán 7. Tam giác ABC have chiều cao lần lượt La Hà, hb, hc and đường tròn nội tiếp bằng 2. Biết that hA = 7, HB = 3, hãy tính HC.

Bài toán 8. Cho 2x2 + x + y + 1 = x2 + 2y2 + xy. Tìm x, y.

Bài toán 9. Tứ giác ABCD have two đường chéo AC, BD cắt nhau tại O. Kẻ đường cao từ B, O, C xuống AD cắt AD lần lượt tại I, K, H. Chứng minh that AD × BI × CH≤AC × BD × OK.