Fig. 3. Angular velocity tracking p

Fig. 3. Angular velocity tracking performance of the GPI observer-based ADRC controller with linear estimation of the aggregate effects of uncertain parameter (Rs(t)) and exogenous disturbance input torque (τL(t)).




Fig. 4. Behavior of the ISE trajectories for different values of the (percent) uncertainty factor, γ , affecting the control input gains knowledge.




Fig. 5. Behavior of the ISE trajectories for different values of the (percent) uncertainty factor, α, affecting the control input gains knowledge.


performance indices were proposed as

with ωγ (t) and idα(t) being, respectively, the closed-loop response trajectories obtained with the faulty input gains:

ISEω,γ (t) =

1 , t


Nθ 0

(ωγ (t) − ω∗(t))2dt

γ Km/ J Ls and α1/Ls , acting, both, on the corresponding GPI observer and the corresponding linear controller. The

1 , ∞ 2

parameters Nω and Nid are normalizing factors representing,

ISEid ,α(t) =



Nid 0

(idα(t) − i ∗(t)) dt

respectively, the steady-state values of the functions: ISE

ω,γ

(t)



and ISEid ,α(t), when γ = 1 and α = 1. The robustness tests for each gain variation were carried out separately with the fac- tor γ and α. Figs. 4 and 5 show the trajectories for ISEω,γ (t) and ISEid ,α(t) in logarithmic scale for several values of γ and α. The constant steady state of these functions indicates that the corresponding output tracking errors are ultimately in nearly exact agreement with the desired reference trajectories. A stable ISE is obtained for γ ∈ [0.05, 15], and α ∈ [0.05, 15].

Similarly, let {λ0,..., κm+n−1} be the real coefficients chosen so that the following polynomial in the complex variable s, pobs(s), is also Hurwitz:
pobs(s) = sn+m + λn m 1sn+m−1 + ••• + λ s + λ . (19)
+ − 1 0
By defining yi = y(i), i = 0, 1, ... , n − 1, system (17) may be written in state-space representation as

Notice that the lower bound represents a discrepancy factor of
20, with respect to the nominal value γ = 1, the upper bound represents a 1500% variation above the nominal value. These wide variations in both gains indicates wide variations of Ls in the first case, and of J in the second case.

V. CONCLUSION

y˙0 = y1
.
.
y˙n−1 = φ(t, y0)u + ψ(t, y0, ... , yn−1). (20)
Consider the following observer-based feedback linearizing controller, including a nonlinearity cancelation term, ψˆ :

In this brief, an ADRC approach has been proposed for the flatness-based control of a PMSM in an angular velocity trajectory tracking task. The approach includes the use of a
linear extended high-gain observer, known as the GPI observer.


1
φ(t,y)

. n−1
−ψˆ + [y∗(t)](n) − . κi
i=0

.
.yˆi − [y∗(t)](i).


(21)

This observer is used to simultaneously estimate the phase variables associated with the flat outputs and the lumped effects of additive exogenous and endogenous perturbation inputs affecting the decoupled flat outputs dynamics. This on-line information is used by linear output feedback con- trollers in the effective, although approximate, cancelation of the system uncertainties arising from unknown time-varying load torques, unknown initial shaft angular position, and the presence of uncertain parameters. The performance of the proposed GPI observer-based control scheme was illustrated by means of the realistic computer simulations using the MATLAB/SIMULINK-PSIM simulation package along with a rather objective control input gain robustness assessment.

APPENDIX
SINGULAR PERTURBATION-BASED PROOF OF THE MAIN RESULT
Consider the problem of tracking a given smooth trajectory
y∗(t), t ∈ [0, ∞), by an appropriate feedback control action,

where yˆi , i = 0, 1, ... , n − 1, and, ψˆ = z1, are variables
obtained from the following extended (linear) Luenberger observer (also called the GPI observer):
y˙ˆ0 = yˆ1 + λm+n−1(y − yˆ0)
.
y˙ˆn−2 = yˆn−1 + λm+1(y − yˆ0)
y˙ˆn−1 = φ(t, y)u + z1 + λm(y − yˆ0)
z˙1 = z2 + λm−1(y − yˆ0)
.
z˙m = λ0(y − yˆ0). (22)
Define e˜i = yi − yˆi and i = 0, 1, ... , n − 1. One obtains the following estimation error vector representation:
e˙˜0 = e˜1 − λn+m−1e˜0
e˙˜1 = e˜2 − λn+m−2e˜0
.

u, on the following n-dimensional smooth nonlinear system

e˙˜n 1 = ψ(t, y , y , ... , y ) − z − λ e˜

− 0 1

n−1

1 m 0

y(n) = φ(t, y)u + ψ.t, y, y˙, ..., y(n−1). (17)
where φ(t, y) is known and uniformly bounded away from

z˙1 = z2 + λm
.

−1e˜0

zero, i.e., supt |φ(t, y(t))| > δ > 0. The scalar func- tion ψ(•) is completely unknown except for the fact that it is uniformly absolutely bounded and a finite number of its time derivatives, say the first m of them ψ(i)(•), i = 1, 2, ... , m, are also uniformly absolutely bounded (supt |ψ(i)(t, y(t), y˙ (t), ..., y(n−1)(t))|≤ Ki , i = 0, ... , m).1

z˙m = λ0e˜0. (23)
Letting e˜ = e˜0, the output estimation error, e˜0 = e˜ = y − yˆ0, satisfies the

Kết quả (Việt) 1:

Hình 3. Vận tốc góc theo dõi hiệu suất của bộ GPI dựa trên quan sát ADRC điều khiển với các ước tính tuyến tính của các tác động tổng hợp của tham số không chắc chắn (Rs(t)) và ngoại sinh xáo trộn mô-men xoắn đầu vào (τL(t)). Hình 4. Hành vi của hnăm ISE cho các giá trị khác nhau của các yếu tố không chắc chắn (phần trăm), γ, ảnh hưởng đến sự kiểm soát đầu vào tăng kiến thức. Hình 5. Hành vi của hnăm ISE cho các giá trị khác nhau của các yếu tố không chắc chắn (phần trăm), α, ảnh hưởng đến sự kiểm soát đầu vào tăng kiến thức. chỉ số hiệu suất đã được đề xuất như là với ωγ (t) và idα(t) là, tương ứng, hnăm kín phản ứng thu được với các lợi ích đầu vào bị lỗi: ISEω, γ (t) = 1, t NΘ 0 (Ωγ (t) − ω∗(t)) 2dt Γ Km / J Ls và α1/Ls, diễn xuất, cả hai, trên các quan sát viên GPI tương ứng và điều khiển tuyến tính tương ứng. Các 1, ∞ 2 tham số Nω và Nid bình thường hóa yếu tố đại diện cho, ISEid, α(t) = NID 0 (idα(t) − tôi ∗(t)) dt tương ứng, các giá trị trạng thái ổn định các chức năng: ISE Ω, Γ (t) và ISEid, α(t), khi γ = 1 và α = 1. Các xét nghiệm mạnh mẽ cho mỗi biến thể được được thực hiện một cách riêng biệt với fac-tor γ và α. Figs. 4 và 5 Hiển thị các hnăm cho ISEω, γ (t) và ISEid, α(t) trong hàm lôgarit quy mô cho một số giá trị của γ và α. Trạng thái ổn định liên tục của các chức năng này chỉ ra rằng các đầu ra tương ứng theo dõi lỗi cuối cùng trong các thỏa thuận gần như chính xác với mong muốn tham khảo hnăm. ISE ổn định đạt được γ ∈ [0,05, 15] và α ∈ [0,05, 15]. Tương tự như vậy, giả sử {λ0,..., κm + n-1} là lựa chọn hệ số thực do đó đa thức sau thuộc khu phức hợp biến s, pobs(s), cũng là Hurwitz:pobs(s) = sn + m + λn m 1sn + m−1 + • + λ s + λ. (19)+ − 1 0Bằng cách xác định yi = y(i), i = 0, 1,..., n − 1, Hệ thống (17) có thể được viết trong không gian trạng thái đại diện như là Thông báo ràng buộc thấp hơn đại diện cho một yếu tố khác biệt của20, đối với giá trị danh nghĩa γ = 1, đại diện cho bị ràng buộc trên một biến thể 1500% trên giá trị hư danh. Những biến thể rộng trong lợi ích cả hai cho biết nhiều biến thể trong trường hợp đầu tiên, và J trong trường hợp thứ hai.V. KẾT LUẬN y˙0 = y1..y˙n−1 = φ (t, y0) u + ψ (t, y0,..., yn−1). (20)Hãy xem xét các phản hồi dựa trên quan sát sau linearizing bộ điều khiển, bao gồm một thuật ngữ hủy bỏ nonlinearity, ψˆ: Trong khuôn khổ này, một cách tiếp cận ADRC đã được đề xuất để kiểm soát dựa trên độ phẳng của PMSM trong một quỹ đạo vận tốc góc theo dõi nhiệm vụ. Phương pháp tiếp cận bao gồm việc sử dụng mộttuyến tính mở rộng cao đạt được quan sát, được biết đến như là người quan sát GPI. 1Φ(t,y) . n-1−ψˆ + [y∗(t)](n) −. Κii = 0 .. yˆi − [y∗(t)](i). (21) Quan sát này được sử dụng để đồng thời ước tính các giai đoạn biến liên quan đến kết quả đầu ra bằng phẳng và những ảnh hưởng lumped đầu vào phụ gia nhiễu loạn nội sinh và ngoại sinh ảnh hưởng đến các động thái tách phẳng kết quả đầu ra. Thông tin trên mạng này được sử dụng bởi tuyến tính sản lượng thông tin phản hồi con-trollers ở hủy bỏ hiệu quả, mặc dù gần đúng, của sự không chắc chắn hệ thống phát sinh từ không xác định thời gian thay đổi tải trọng lực, vị trí góc trục ban đầu không rõ, và sự hiện diện của các tham số không chắc chắn. Hiệu suất của đề án được đề xuất dựa trên quan sát kiểm soát GPI được minh họa bằng phương pháp mô phỏng thực tế máy tính bằng cách sử dụng các gói phần mềm mô phỏng MATLAB/SIMULINK-PSIM cùng với một đánh giá mạnh mẽ đầu vào đạt được mục tiêu thay vì kiểm soát.PHỤ LỤCSỐ ÍT NHIỄU LOẠN DỰA TRÊN CÁC BẰNG CHỨNG VỀ KẾT QUẢ CHÍNHHãy xem xét vấn đề theo dõi một quỹ đạo cho mịny∗(t), t ∈ [0, ∞), bởi một hành động kiểm soát thông tin phản hồi thích hợp, nơi yˆi, i = 0, 1,..., n − 1, và, ψˆ = z1, biếnLấy từ sau mở rộng (tuyến tính) Luenberger quan sát (tiếng Anh thường gọi là quan sát viên GPI):y˙ˆ0 = yˆ1 + λm + n-1 (y − yˆ0).y˙ˆn−2 = yˆn−1 + λm + 1 (y − yˆ0)y˙ˆn−1 = φ (t, y) u + z1 + λm (y − yˆ0)z˙1 = z2 + λm−1 (y − yˆ0).z˙m = λ0 (y − yˆ0). (22)Xác định e˜i = yi − yˆi và i = 0, 1,..., n − 1. Ai lấy được đại diện vector lỗi dự toán sau đây:e˙˜0 = e˜1 − λn + m−1e˜0e˙˜1 = e˜2 − λn + m−2e˜0. u, sau n chiều trơn phi tuyến Hệ thống e˙˜n 1 = ψ (t, y, y,..., y) − z − λ e˜ − 0 1 n-1 1 m 0 y(n) = φ (t, y) u + ψ.t, y, y˙,..., y(n−1). (17)nơi φ (t, y) được biết đến và đồng đều bao bọc cách xa z˙1 = z2 + λm. −1E˜0 0, tức là, supt |φ (t, y(t)) | > Δ > 0. Ψ(•) vô hướng func-tion là hoàn toàn không rõ ngoại trừ một thực tế rằng nó thống nhất hoàn toàn được bao quanh và một số hữu hạn các dẫn xuất của nó thời gian, nói m đầu tiên của họ ψ(i)(•), i = 1, 2,..., m, cũng thống nhất hoàn toàn bao bọc (supt |ψ(i) (t, y(t), y˙ (t),..., y(n−1)(t)) |≤ Ki, i = 0,..., m).1 z˙m = λ0e˜0. (23)Cho phép e˜ = e˜0, sản lượng ước tính lỗi, e˜0 = e˜ = y − yˆ0, đáp ứng các

Kết quả (Việt) 2:

Sung. 3. Góc năng theo dõi tốc độ của bộ điều khiển ADRC GPI quan sát dựa trên với ước lượng tuyến tính của hiệu ứng tổng hợp của các tham số không chắc chắn (Rs (t)) và ngoại sinh mô-men xoắn xáo trộn đầu vào (τL (t)). Hình. 4. Hành vi của ISE quỹ đạo cho các giá trị khác nhau của các yếu tố (phần trăm) không chắc chắn, γ, ảnh hưởng đến kiến thức kiểm soát tăng đầu vào. Hình. 5. Hành vi của các quỹ đạo ISE cho các giá trị khác nhau của (phần trăm) yếu tố không chắc chắn, α, ảnh hưởng đến việc kiểm soát tăng đầu vào kiến thức. Chỉ số hiệu suất đã được đề xuất như là với ωγ (t) và idα (t) là, tương ứng, các vòng kín quỹ đạo phản ứng thu được những lợi ích bị lỗi đầu vào: ISEω, γ (t) = 1, t Nθ 0 (ωγ (t) - ω * (t)) 2DT γ Km / J Ls và α1 / Ls, diễn xuất, cả hai, trên tương ứng GPI quan sát và điều khiển tuyến tính tương ứng. Các 1, ∞ 2 thông số Nω và Nid là những yếu tố bình thường đại diện, ISEid, α (t) = Nid 0 (idα (t) - i * (t)) dt tương ứng, các giá trị trạng thái ổn định của các chức năng: ISE ω, γ (t) và ISEid, α (t), khi γ = 1 và α = 1. kiểm tra các vững mạnh cho mỗi biến thể tăng được thực hiện độc lập với γ tor tố và α. Vả. 4 và 5 cho thấy các quỹ đạo cho ISEω, γ (t) và ISEid, α (t) trong thang logarit cho một vài giá trị của γ và α. Các trạng thái ổn định liên tục của các chức năng này chỉ ra rằng tương ứng với các lỗi theo dõi đầu ra cuối cùng trong thỏa thuận gần như chính xác với các quỹ đạo tham khảo mong muốn. Một ISE ổn định thu được cho γ ∈ [0,05, 15], và α ∈ [0,05, 15]. Tương tự như vậy, chúng ta hãy {λ0, ..., κm + n-1} là hệ số thực được lựa chọn để các đa thức sau đây trong phức tạp biến s, pobs (s), cũng là Hurwitz: pobs (s) = sn + m + λn m 1sn + m-1 + ••• + λ s + λ. (19) + - 1 0 Bằng việc xác định yi = y (i), i = 0, 1, ..., n - 1, hệ thống (17) có thể được viết trong biểu diễn không gian trạng thái như ý rằng các ràng buộc thấp hơn đại diện cho một yếu tố khác biệt của 20, đối với giá trị danh nghĩa γ = 1 với, các ràng buộc trên đại diện cho một sự thay đổi 1500% so với giá trị danh nghĩa. Những sự khác biệt lớn trong cả hai lợi ích chỉ ra sự khác biệt lớn của Ls trong trường hợp đầu tiên, và J trong trường hợp thứ hai. V. KẾT LUẬN y0 = y1 . . Yn-1 = φ (t, y0) u + ψ (t, y0, ..., yn-1). (20) Xem xét các thông tin phản hồi linearizing điều khiển quan sát dựa trên sau đây, trong đó có một hạn hủy bỏ phi tuyến, ψ: Trong ngắn này, một cách tiếp cận ADRC đã được đề xuất để kiểm soát độ phẳng dựa trên một PMSM trong một nhiệm vụ theo dõi góc vận tốc quỹ đạo. Các phương pháp tiếp cận bao gồm việc sử dụng một mở rộng quan sát độ lợi cao tuyến tính, được gọi là GPI quan sát. 1 φ (t, y) . n-1 -ψ + [y * (t)] (n) -. κi i = 0 . .yi -. [y * (t)] (i) (21) quan sát này được sử dụng đồng thời ước tính biến giai đoạn gắn liền với kết quả đầu ra bằng phẳng và những tác động gộp các phụ gia ngoại sinh và nội sinh đầu vào nhiễu loạn ảnh hưởng đến tách riêng ra phẳng động. Những thông tin này trên mạng được sử dụng bởi các thông tin phản hồi đầu ra tuyến tính trollers dựng trong hiệu quả, mặc dù gần đúng, hủy bỏ những điều không chắc chắn hệ thống phát sinh từ mô men không rõ thời gian khác nhau tải, trục ban đầu vị trí góc chưa biết, và sự hiện diện của các thông số không chắc chắn. Hiệu suất của GPI sơ đồ điều khiển quan sát dựa trên đề xuất đã được minh họa bằng các phương tiện của các mô phỏng máy tính thực tế khi sử dụng gói mô phỏng MATLAB / SIMULINK-PSIM cùng với một điều khiển đầu vào đánh giá tăng mạnh mẽ chứ không phải mục tiêu. PHỤ LỤC ÍT PROOF nhiễu loạn DỰA TRÊN CÁC KẾT QUẢ CHỦ Hãy xem xét vấn đề theo dõi một cho mịn quỹ đạo y * (t), t ∈ [0, ∞), bằng một hành động điều khiển phản hồi thích hợp, nơi yi, i = 0, 1, ..., n - 1, và, ψ = z1, là các biến thu được từ việc mở rộng (tuyến tính) Luenberger quan sát sau đây (còn gọi là người quan sát GPI): y0 = y1 + λm + n-1 (y - y0) . yn-2 = yn-1 + λm + 1 (y - y0) yn-1 = φ (t, y) u + z1 + λm (y - y0) z1 = z2 + λm-1 (y - y0) . ZM = λ0 (y - y0). (22) Xác định e~i = yi - yi và i = 0, 1, ..., n - 1. Một thu được đại diện vector lỗi ước lượng sau đây: e˙~0 = e~1 - λn + m-1e~ 0 e˙~1 = e~2 - λn + m-2e~0 . u, trên các hệ thống phi tuyến trơn tru n chiều sau e˙~n 1 = ψ (t, y, y, ..., y) - z - λ e~ - 0 1 n-1 1 m 0 y (n) = φ (t, y) u + ψ.t, y, y, ..., y (n-1). (17) trong đó φ (t, y) được biết đến và thống nhất giáp xa z1 = z2 + λm . -1e~0 Zero, tức là, Supt | φ (t, y (t)) | > Δ> 0. vô hướng hàm sự ψ (•) là hoàn toàn không biết ngoại trừ một thực tế rằng nó được thống nhất hoàn toàn bao quanh và một số hữu hạn các dẫn xuất thời gian của mình, nói rằng m đầu tiên của họ ψ (i) (•), i = 1, 2, ..., m, cũng thống nhất hoàn toàn bị chặn (Supt | ψ (i) (t, y (t), y (t), ..., y (n-1) (t )) | ≤ Ki, i = 0, ..., m) 0,1 ZM = λ0e~0. (23) Cho e~ = e~0, ước tính sản lượng lỗi, e~0 = e~ = y - y0, đáp ứng các