I now discuss the productiveness of

I now discuss the productiveness of the function matching, perimeter and area, and adding up pieces symbolic forms of the definite integral. Rather than begin by displaying the results of the entire body of data first, I begin instead by presenting example episodes of each symbolic form in the mathematics and physics contexts. I do this in order to compare and contrast the three conceptualizations as I build an argument for why each one may be considered productive or less productive for a given context. After an in-depth discussion of these specific examples, I then shift focus to look at all of the conceptualizations more broadly across all of the interview items, to identify trends in their context-specific productiveness. In particular, in Section 4.3, I summarize the results of the whole body of data in order to make more general conclusions regarding the productiveness of each conceptualization in the mathematics and physics contexts.
I first discuss the three symbolic forms in the mathematics context and then subsequently move the discussion to the physics context. In brief, while all of the symbolic forms showed usefulness for decontextualized integrals, there was a significant difference in how productive certain understandings of the integral were when considering contextualized integrals. Here, I am using “contextualized” and “decontextualized” in their common meanings and am not referring to theories that use these words for specific purposes. For this paper, an integral is said to be decontextualized if it is devoid of any association to physical phenomena or any relation to a problem larger than the integral itself. For example, if the expression 10x3dx is simply given to a student, it is decontextualized, since it stands by itself. By contrast, a contextualized integralis one that is either connected to a larger problem or that has relations to real-world quantities. For example, the physics integral mass =RdV is considered contextualized since the symbols deal with the physical quantities mass, density, and volume, and thus the integral does not stand by itself. These quantities provide an additional layer of meaning to the integral and the placement of the quantities in the integral are governed by physics properties.

Kết quả (Việt) 2:

Bây giờ tôi thảo luận về năng suất của các chức năng phù hợp, chu vi và diện tích, và thêm lên miếng hình thức tượng trưng của tích phân xác định. Thay vì bắt đầu bằng cách hiển thị các kết quả của toàn bộ cơ thể của dữ liệu đầu tiên, tôi bắt đầu thay vì bằng cách trình bày ví dụ tập phim của từng hình thức tượng trưng trong toán học và vật lý ngữ cảnh. Tôi làm điều này để so sánh và đối chiếu ba conceptualizations như tôi xây dựng một lập luận về lý do tại sao mỗi người có thể được coi là sản xuất hoặc năng suất thấp hơn cho một bối cảnh nhất định. Sau một cuộc thảo luận sâu về những ví dụ cụ thể, sau đó tôi thay đổi tập trung nhìn vào tất cả các khái niệm hóa một cách rộng rãi hơn trên tất cả các mặt hàng phỏng vấn, để xác định xu hướng trong bối cảnh năng suất cụ thể của họ. Đặc biệt, tại mục 4.3, tôi tóm tắt các kết quả của toàn bộ cơ thể của dữ liệu để đưa ra kết luận tổng quát hơn về năng suất của từng khái niệm trong toán học và các ngữ cảnh vật lý.
Đầu tiên tôi thảo luận về ba hình thức tượng trưng trong bối cảnh toán học và sau đó sau đó di chuyển các cuộc thảo luận với bối cảnh vật lý. Nói tóm lại, trong khi tất cả các hình thức tượng trưng cho tính hữu dụng cho tích phân decontextualized, đã có một sự khác biệt đáng kể trong cách sản xuất những hiểu biết nhất định của tích phân là khi xem xét tích ngữ cảnh. Ở đây, tôi bằng cách sử dụng "ngữ cảnh" và "decontextualized" trong ý nghĩa thông thường của họ và không nhắc đến giả thuyết rằng sử dụng những từ này cho các mục đích cụ thể. Đối với bài báo này, một thể thiếu được cho là được decontextualized nếu nó không có bất kỳ liên kết với các hiện tượng vật lý hay bất kỳ mối quan hệ với một vấn đề lớn hơn so với việc tách rời chính nó. Ví dụ, nếu các biểu thức? 10x3dx chỉ đơn giản là được trao cho một học sinh, nó là decontextualized, vì nó là viết tắt của chính nó. Ngược lại, một bối cảnh hóa Integralis một trong đó là một trong hai kết nối với một vấn đề lớn hơn hoặc có quan hệ với số lượng thực tế. Ví dụ, các đoàn thể tách rời vật lý =? R dV? Được coi là bối cảnh hóa từ những biểu tượng đối phó với khối lượng vật lý, mật độ và âm lượng, và do đó tích phân không đứng của chính nó. Những số lượng cung cấp thêm một lớp ý nghĩa cho việc tách rời và vị trí của số lượng trong việc tách rời được điều chỉnh bởi các thuộc tính vật lý.