In this section, we have collected

In this section, we have collected examples of using the probabilistic
method and the linearity of expectation in particular. They are not
routine examples but rather small mathematical gems.
Existence of large bipartite subgraphs. Given a graph G =
(V,E), we would like to partition the vertex set into two parts in
such a way that as many edges as possible go between these parts.
Moreover, we often need that the parts have an approximately equal
size. The following theorem shows that we can always make at least
half of the edges go between the parts, and, moreover, that the parts
can be chosen with an equal size (if the number of vertices is even).
10.4.1 Theorem. Let G be a graph with an even number, 2n, of
vertices and with m > 0 edges. Then the set V = V (G) can be
divided into two disjoint n-element subsets A and B in such a way
that more than m2
edges go between A and B.
Proof. Choose A as a random n-element subset of V , all the
2n
n

n-element subsets having the same probability, and let us put B =
V A. Let X denote the number of edges of G going “across”, i.e.
edges {a, b} with a ∈ A and b ∈ B. We calculate the expectation
E[X] of the random variable X. For each edge e = {u, v} ∈ E(G),
we define the event Ce that occurs whenever the edge e goes between
A and B; formally, Ce = {A ∈
V
n

: |A ∩ e| = 1}. Then we have
X =


e∈E(G) ICe , and hence E[X] =


e∈E(G) P(Ce). So we need
to determine the probability P(Ce).
Altogether, there are
2n
n

possible choices of A. If we require that
u ∈ A and v ∈ A, the remaining n−1 elements of A can be selected
in
2n−2
n−1

ways. Similar reasoning works for the symmetric situation
u ∈ A, v ∈ A. Thus
P(Ce) =
2
2n−2
n−1

2n
n
 = n
2n − 1 >
1
2 .
From this we get E[X] =


e∈E(G) P(Ce) > m2
. The expectation of
X is the arithmetic average of the values of X over all choices of the
set A. An average cannot be greater than the maximum of all these
values, and therefore a choice of A exists with more than half of the
edges going across.

Kết quả (Việt) 1:

Trong phần này, chúng tôi đã thu thập các ví dụ của việc sử dụng các xác suấtphương pháp và linearity của kỳ vọng đặc biệt. Chúng không phải làCác ví dụ thường xuyên nhưng khá nhỏ đá quý toán học.Sự tồn tại của lớn hai phía subgraphs. Cho một đồ thị G =(V, E), chúng tôi muốn phân vùng tập đỉnh thành hai phần trongnhư vậy một cách cạnh càng nhiều càng tốt đi giữa các bộ phận.Hơn nữa, chúng ta thường cần các bộ phận có một xấp xỉ bằng nhauKích thước. Định lý sau đây cho thấy rằng chúng tôi có thể luôn luôn làm cho ítmột nửa của các cạnh đi giữa các bộ phận, và, hơn nữa, mà các bộ phậncó thể được lựa chọn với một kích thước bằng (nếu số đỉnh là thậm chí).10.4.1 định lý. Cho G là một đồ thị với một số chẵn, 2n,đỉnh và m > 0 cung. Sau đó tập hợp V = V (G) có thểchia thành hai các nguyên tố n tập con A và B như vậyđó hơn m2cạnh đi giữa A và B.Bằng chứng. Chọn A là một tập hợp con n-yếu tố ngẫu nhiên của V, tất cả các2nntập con n phần tử có khả năng tương tự, và chúng ta hãy đặt B =V A. X để biểu thị số cạnh của G sẽ "trên", tức làcạnh {a, b} ∈ A và b ∈ B. Chúng tôi tính toán kỳ vọngE [X] của biến ngẫu nhiên X. Đối với mỗi cạnh e = {u, v} ∈ E(G),chúng tôi xác định sự kiện Ce xảy ra bất cứ khi nào cạnh e đi giữaA và B; chính thức, Ce = {một ∈Vn: | Một e| ∩ = 1}. Sau đó chúng tôi cóX =
e∈E(G) băng, và do đó E [X] =
e∈E(G) P(Ce). Vì vậy, chúng tôi cầnđể xác định khả năng P(Ce).Nhìn chung, có2nnCác lựa chọn có thể của A. Nếu chúng tôi yêu cầu đóu ∈ A và v ∈ A, các yếu tố n-1 còn lại của A có thể được chọnở2n−2n-1cách. Lý do tương tự như làm việc cho tình hình đối xứngu ∈ A, v ∈ A. vì vậyP(CE) =22n−2n-12nn = n2n − 1 >12.Từ này chúng tôi nhận được E [X] =
e∈E(G) P(Ce) > m2. Những kỳ vọng củaX là trung bình số học của các giá trị của X trên tất cả các lựa chọn của cácthiết lập A. Trung bình không thể lớn hơn tối đa của tất cả cácgiá trị, và do đó là một sự lựa chọn của A tồn tại với hơn một nửa của cáccạnh đi qua.

Kết quả (Việt) 2:

Trong phần này, chúng tôi đã thu thập được những ví dụ về cách sử dụng xác suất
phương pháp và các tuyến tính của sự mong đợi đặc biệt. Họ không phải là
những ví dụ thường lệ nhưng đá quý toán học khá nhỏ.
Sự tồn tại của đồ thị con song phương lớn. Cho một đồ thị G =
(V, E), chúng tôi muốn phân vùng đỉnh thiết lập thành hai bộ phận trong
một cách mà nhiều cạnh như thể đi giữa những bộ phận này.
Hơn nữa, chúng ta thường cần phải có những phần có một khoảng bằng
kích thước . Định lý sau đây cho thấy rằng chúng ta luôn luôn có thể làm cho ít nhất
một nửa trong số các cạnh đi giữa các bộ phận, và, hơn nữa, đó là những phần
có thể được lựa chọn với một kích thước bằng nhau (nếu số đỉnh là chẵn).
10.4.1 Định lý. Cho G là một đồ thị với một số chẵn, 2n, các
đỉnh và với m> 0 cạnh. Sau đó, tập V = V (G) có thể được
chia thành hai tập con n phần tử rời nhau A và B theo cách như vậy
mà hơn m2
cạnh đi giữa A và B.
Chứng minh. Chọn A là một tập hợp con ngẫu nhiên n phần tử của V, tất cả
các? 2n n? N phần tử tập con có cùng xác suất, và chúng ta hãy đặt B = V A. Cho X là số của các cạnh của G sẽ "qua" , tức là cạnh {a, b} với a ∈ A và b ∈ B. Chúng tôi tính toán kỳ vọng E [X] của biến ngẫu nhiên X. Đối với mỗi cạnh e = {u, v} ∈ E (G), chúng ta định nghĩa Ce sự kiện xảy ra bất cứ khi nào các cạnh e đi giữa A và B; chính thức, Ce = {A ∈ V? n?: | A ∩ e | = 1}. Sau đó, chúng tôi có X =? E∈E (G) băng, và do đó E [X] =? E∈E (G) P (Ce). Vì vậy, chúng ta cần phải xác định xác suất P (Ce). Tổng cộng, có? 2n n? Sự lựa chọn có thể có của A. Nếu chúng tôi yêu cầu u ∈ A và v? ∈ A, n-1 còn lại phần tử của A có thể được lựa chọn trong ? 2n-2 n-1? cách. Lý luận tương tự làm việc cho trường hợp đối xứng u? ∈ A, v ∈ A. Do đó P (Ce) = 2? 2n-2 n-1? 2n? N? = N 1> - 2n 1 2. Từ đây chúng ta có được E [X] =? E∈E (G) P (Ce)> m2. Sự kỳ vọng của X là trung bình cộng của các giá trị của X so với tất cả các lựa chọn của tập A. Một trung bình không thể có nhiều hơn so với tối đa của tất cả các giá trị, và do đó là một sự lựa chọn của A tồn tại với hơn một nửa trong số các cạnh đi qua . ?