1.6 ManifoldsWe now return to the g

1.6 Manifolds
We now return to the general situation where m and n are arbitrary
integers with 0 ≤ m ≤ n.
Definition 1.6.1. An m-dimensional manifold in Rn is a non-empty set
S ⊂ Rn satisfying the following property for each point p ∈ S. There exists
an open neighborhood W ⊂ Rn of p and an m-dimensional embedded (see
Definition 1.2.2) parametrized manifold σ: U → Rn with image σ(U) = S∩W.
The surrounding space Rn is said to be the ambient space of the manifold.
Clearly this generalizes Definitions 1.3 and 1.4, a curve is a 1-dimensional
manifold in R2 and a surface is a 2-dimensional manifold in R3.
Example 1.6.1 The case m = 0. It was explained in Section 1.1 that a
0-dimensional parametrized manifold is a map R0 = {0} → Rn, whose image
consists of a single point p. An element p in a set S ⊂ Rn is called isolated
if it is the only point from S in some neighborhood of p, and the set S is
called discrete if all its points are isolated. By going over Definition 1.6.1 for
the case m = 0 it is seen that a 0-dimensional manifold in Rn is the same as
a discrete subset.
Example 1.6.2 If we identify Rm with the set {(x1, . . ., xm, 0 . . ., 0)} ⊂ Rn,
it is an m-dimensional manifold in Rn.
Example 1.6.3 An open set Ω ⊂ Rn is an n-dimensional manifold in Rn.
Indeed, we can take W = Ω and σ = the identity map in Definition 1.6.1.
Example 1.6.4 Let S′ ⊂ S be a relatively open subset of an m-dimensional
manifold in Rn. Then S′ is an m-dimensional manifold in Rn.
The following lemma generalizes Lemmas 1.3 and 1.4.
Lemma 1.6. Let S ⊂ Rn be non-empty. Then S is an m-dimensional
manifold if and only if it satisfies the following condition for each p ∈ S:
There exist an open neighborhood W ⊂ Rn of p, such that S ∩ W is the
graph of a smooth function h, where n − m of the variables x1, . . ., xn are
considered as functions of the remaining m variables.
Proof. The proof is entirely similar to that of Lemma 1.3. 
Theorem 1.6. Let f: Ω → Rk be a smooth function, where k ≤ n and where
Ω ⊂ Rn is open, and let c ∈ Rk. If it is not empty, the set
S = {p ∈ Ω | f(p) = c, rankDf(p) = k}
is an n−k-dimensional manifold in Rn.
Proof. Similar to that of Theorem 1.3 for curves, by means of the implicit
function theorem (Geometry 1, Corollary 1.6) and Lemma 1.6

Kết quả (Việt) 1:

1.6 đa tạpChúng tôi bây giờ quay trở lại tình hình chung đó m và n là tùy ýsố nguyên với 0 ≤ m ≤ n.Định nghĩa 1.6.1. Một đa tạp chiều m trong Rn là một không-trống bộS ⊂ Rn đáp ứng tài sản sau cho mỗi điểm p ∈ S. Có tồn tạimột mở khu phố W ⊂ Rn p và một m-chiều nhúng (xemĐịnh nghĩa 1.2.2) parametrized đa tạp σ: U → Rn với hình ảnh σ(U) = S∩W.Không gian xung quanh Rn được gọi là không gian xung quanh của đa tạp.Rõ ràng điều này generalizes định nghĩa 1.3 và 1.4, một đường cong là một 1-chiềuđa dạng trong R2 và một bề mặt là một đa tạp 2 chiều trong R3.Ví dụ 1.6.1 trường hợp m = 0. Nó đã được giải thích trong phần 1.1 mà mộtđa tạp 0-chiều parametrized là bản đồ R0 = {0} → Rn, mà hình ảnhbao gồm một p điểm duy nhất. Một yếu tố p trong một thiết lập S ⊂ Rn được gọi là bị cô lậpNếu nó là điểm duy nhất từ S ở một số vùng lân cận của p, và các thiết lập S làgọi là rời rạc nếu tất cả các điểm của nó đang bị cô lập. Bằng cách đi qua định nghĩa 1.6.1 chotrường hợp m = 0 nó được nhìn thấy rằng một đa tạp 0-chiều trong Rn là giống nhưmột tập hợp con rời rạc.Ví dụ 1.6.2 nếu chúng tôi xác định Rm với tập hợp {(x 1,..., xm, 0..., 0)} ⊂ Rn,nó là một đa tạp chiều m trong Rn.Ví dụ 1.6.3 mở một set Ω ⊂ Rn là một đa tạp n-chiều trong Rn.Thật vậy, chúng tôi có thể mất W = Ω và σ = đồ nhận dạng định nghĩa 1.6.1.Ví dụ 1.6.4 cho S′ ⊂ S là một nhóm nhỏ tương đối mở một m-chiềuđa dạng trong Rn. Sau đó S′ là một đa tạp chiều m trong Rn.Bổ đề sau generalizes bổ đề 1.3 và 1.4.Bổ đề 1.6. Hãy để S ⊂ Rn được phòng không có sản phẩm nào. Sau đó S là một m-chiềuđa tạp nếu và chỉ nếu nó đáp ứng các điều kiện sau đây cho mỗi p ∈ S:Có tồn tại một khu phố mở W ⊂ Rn p, sao cho S ∩ W là cácđồ thị của một hàm trơn h, nơi n − m của biến x 1,..., xncoi là chức năng của các biến m còn lại.Bằng chứng. Bằng chứng là hoàn toàn tương tự như của bổ đề 1,3. Định lý 1.6. Hãy để f: Ω → Rk là một hàm trơn tru, nơi k ≤ n và nơiΩ ⊂ Rn là mở, và để cho c ∈ Rk. Nếu nó là sản phẩm nào không, các thiết lậpS = {p ∈ Ω | f(p) = c, rankDf(p) = k}là một đa tạp chiều n−k trong Rn.Bằng chứng. Tương tự như của định lý 1.3 cho đường cong, bằng phương tiện của các tiềm ẩnđịnh lý chức năng (hình học 1, hệ luỵ 1.6) và bổ đề 1.6

Kết quả (Việt) 2:

1.6 đa tạp
Bây giờ chúng ta quay trở lại với tình hình chung trong đó m và n là tùy ý
các số nguyên với 0 ≤ m ≤ n.
Định nghĩa 1.6.1. An đa dạng m-chiều trong Rn là một tập hợp khác rỗng
S ⊂ Rn thoả mãn các tài sản sau đây đối với mỗi điểm p ∈ S. Có tồn tại
một khu phố mở W ⊂ Rn của p và m-chiều nhúng (xem
Định nghĩa 1.2.2) parametrized đa dạng σ:. U → Rn với hình ảnh σ (U) =
S∩W. Các không gian xung quanh Rn được gọi là không gian xung quanh của đa tạp
Rõ ràng đây khái quát định nghĩa 1.3 và 1.4, một đường cong là một 1 chiều
đa tạp trong R2 và một bề mặt là một đa tạp 2 chiều trong R3.
Ví dụ 1.6.1 Các trường hợp m = 0. Nó được giải thích trong Phần 1.1 rằng một
đa tạp parametrized 0-chiều là một bản đồ R0 = {0} → Rn, mà hình ảnh
bao gồm của một điểm p duy nhất. Một phần tử p trong một tập S ⊂ Rn được gọi là cô lập
nếu nó là điểm duy nhất từ S ở một số vùng lân cận của p, và tập S được
gọi là rời rạc nếu tất cả các điểm của nó đang bị cô lập. Bằng cách đi qua Định nghĩa 1.6.1 cho
các trường hợp m = 0, nó được xem là một đa tạp chiều 0 trong Rn là giống như
một tập hợp rời rạc.
Ví dụ 1.6.2 Nếu chúng ta xác định Rm với tập hợp {(x1,... , xm, 0..., 0)} ⊂ Rn,
nó là một đa tạp m chiều trong Rn.
Ví dụ 1.6.3 Một bộ mở Ω ⊂ Rn là một đa tạp n chiều trong Rn.
Thật vậy, chúng ta có thể lấy W = và σ = bản đồ sắc Ω trong định nghĩa 1.6.1.
Ví dụ 1.6.4 Gọi S '⊂ S là một tập hợp tương đối cởi mở của một m chiều
đa tạp trong Rn. Sau đó, S 'là một đa tạp m chiều trong Rn.
Bổ đề sau đây khái quát bổ đề 1.3 và 1.4.
Bổ đề 1.6. Hãy S ⊂ Rn là không có sản phẩm nào. Sau đó S là một m chiều
đa dạng khi và chỉ khi có đủ các điều kiện sau đây cho mỗi p ∈ S:
Có tồn tại một khu phố mở W ⊂ Rn của p, như vậy mà S ∩ W là
đồ thị của một hàm h mịn, nơi n - m của các biến x1,. . ., Xn được
coi là chức năng của các biến m còn lại.
Proof. Bằng chứng là hoàn toàn tương tự như của Bổ đề 1.3. ?
Định lý 1.6. Cho f: Ω → Rk là một hàm trơn tru, với k ≤ n và nơi
Ω ⊂ Rn là mở, và để cho c ∈ Rk. Nếu nó không phải là trống rỗng, tập
S = {p ∈ Ω | f (p) = c, rankDf (p) = k}
là một đa tạp n-k-chiều trong Rn.
Proof. Tương tự như của Định lý 1.3 cho các đường cong, bằng các phương tiện của các ngầm
định lý chức năng (Geometry 1, Hệ luỵ 1.6) và Bổ đề 1.6