The fundamental idea of the finite

The fundamental idea of the finite element method is the replacement of continuous
functions by piecewise appproximations, usually polynomials.
Although the finite element method itself is relatively new, its development
and success expanding with the arrival and rapid growth of the digital computer,
the idea of piecewise approximation is far from new. Indeed, the early geometers
used ‘finite elements’ to determine an approximate value of π. They did this
by bounding a quadrant of a circle with inscribed and circumscribed polygons,
the straight-line segments being the finite element approximations to an arc of
the circle. In this way, they were able to obtain extremely accurate estimates.
Upper and lower bounds were obtained, and by taking an increasing number of
elements, monotonic convergence to the exact solution would be expected. These
phenomena are also possible in modern applications of the finite element method.
One remark regarding ancient finite elements: Archimedes used these ideas to
determine areas of plane figures and volumes of solids, although of course he did
not have a precise concept of a limiting procedure. Indeed, it was only this fact
which prevented him from discovering the integral calculus some two thousand
years before Newton and Leibniz. The interesting point here is that whilst many
problems of applied mathematics are posed in terms of differential equations,
the finite element solution of such equations uses ideas which are in fact much
older than those used to set up the equations initially.

Kết quả (Việt) 1:

Ý tưởng cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn là thay thế liên tụcchức năng của đường appproximations, thường đa thức.Mặc dù phương pháp phần tử hữu hạn chính nó là tương đối mới, phát triển của nóvà thành công mở rộng với xuất hiện và phát triển nhanh chóng của máy tính kỹ thuật số,mục đích của đường xấp xỉ là xa từ mới. Thật vậy, các geometers đầusử dụng 'yếu tố hữu hạn' để xác định một giá trị xấp xỉ số π. Họ đã làm điều nàybởi các giáp ranh một phần tư của một vòng tròn với ghi và đường đa giác,Các phân đoạn may thẳng là xấp xỉ phần tử hữu hạn để một cung củavòng tròn. Bằng cách này, họ đã có thể để có được cực kỳ chính xác ước tính.Giới hạn trên và dưới được lấy, và bằng cách tham gia một số lượng ngày càng tăng củayếu tố, monotonic hội tụ để các giải pháp chính xác sẽ được mong đợi. Đâyhiện tượng là cũng có thể có trong các ứng dụng hiện đại của phương pháp phần tử hữu hạn.Một nhận xét liên quan đến yếu tố hữu hạn cổ đại: Archimedes sử dụng những ý tưởng đểxác định các khu vực của con số máy bay và khối lượng chất rắn, mặc dù tất nhiên ông đã làmkhông có một khái niệm chính xác của một thủ tục hạn chế. Thật vậy, nó đã là chỉ là điều này thực tếmà ngăn cản anh ta từ khám phá tích một số 2.000năm trước khi Newton và Leibniz. Điểm thú vị ở đây là trong khi nhiềuCác vấn đề của toán học ứng dụng được đặt ra trong điều khoản của phương trình vi phân,sử dụng các giải pháp phần tử hữu hạn của các phương trình ý tưởng đó là trong thực tế, nhiềulớn tuổi hơn những người sử dụng để thiết lập các phương trình ban đầu.

Kết quả (Việt) 2:

Ý tưởng cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn là việc thay thế liên tục
các chức năng bằng appproximations piecewise, thường là đa thức.
Mặc dù phương pháp phần tử hữu hạn chính nó là tương đối mới, phát triển
và thành công mở rộng với sự xuất hiện và phát triển nhanh chóng của máy tính kỹ thuật số,
các ý tưởng của piecewise xấp xỉ là xa mới. Thật vậy, các nhà hình học đầu
sử dụng "phần tử hữu hạn" để xác định một giá trị gần đúng của π. Họ đã làm điều này
bởi đường biên của một góc phần tư của một vòng tròn với đa giác ghi và ngoại tiếp,
các đoạn đường thẳng là xấp xỉ phần tử hữu hạn để một vòng cung của
đường tròn. Bằng cách này, họ đã có thể để có được ước tính cực kỳ chính xác.
Vọt trên và thấp hơn đã thu được, và bằng cách lấy một số ngày càng tăng của
các yếu tố, hội tụ đơn điệu với các giải pháp chính xác sẽ được dự kiến. Những
hiện tượng này cũng có thể có trong các ứng dụng hiện đại của phương pháp phần tử hữu hạn.
Một nhận xét ​​về các yếu tố hữu hạn cổ: Archimedes sử dụng những ý tưởng để
xác định các khu vực của các con số máy bay và khối lượng của các chất rắn, mặc dù dĩ nhiên anh
không có một khái niệm chính xác của một thủ tục hạn chế . Thật vậy, nó chỉ thực tế này
mà ngăn cản ông phát hiện ra một số tích phân hai ngàn
năm trước khi Newton và Leibniz. Điểm thú vị ở đây là trong khi nhiều
vấn đề của toán học ứng dụng được đặt ra trong điều kiện của phương trình vi phân,
các giải pháp phần tử hữu hạn của phương trình đó sử dụng những ý tưởng mà thực tế nhiều
tuổi hơn những người sử dụng để thiết lập các phương trình ban đầu.