Proof: Suppose there is a path from

Proof: Suppose there is a path from a to b in R. Let m be the length of the shortest such path.
Suppose that x0,x1,x2,...,xm−1,xm, where x0=a and xm=b, is such a path.
Suppose that a=b and that m>n, so that m≥n+1. By the pigeonhole principle, because
there are n vertices in A, among the m vertices x0,x1,...,xm−1, at least two are equal (see Figure 2).
Suppose that xi =xj with 0≤i

Kết quả (Việt) 1:

Bằng chứng: Giả sử có một đường đi từ một đến b trong R. Cho m là chiều dài ngắn nhất như con đường.Giả sử rằng x 0, x 1, x 2,..., xm−1, xm, nơi x 0 = một và xm = b, là một con đường.Giả sử rằng một = b và rằng m > n, vậy mà m≥n + 1. Bởi nguyên tắc pigeonhole, bởi vìcó n đỉnh tại A, trong số các m đỉnh x0, x1,..., xm−1, ít nhất hai là bằng nhau (xem hình 2).Giả sử rằng xi = xj với 0≤iXi đến chính nó. Mạch này có thể bị xoá khỏi đường đi từ một đến b, để lại một con đường, cụ thể là,x0, x1,..., xi, xj + 1,..., xm−1, xm, từ một đến b chiều dài ngắn hơn. Do đó, con đường ngắn nhấtchiều dài phải có chiều dài ít hơn hoặc bằng đến n.Trường hợp nơi một = b còn lại như là một tập thể dục cho người đọc.Bổ đề 1, chúng ta thấy rằng việc đóng cửa từ lóng của R các công đoàn của R, R2, R3,..., và Rn. Điều này sau vì có một con đường trong R∗ giữa hai đỉnh nếu và chỉ nếu có một đường dẫn giữa các đỉnh trong Ri, đối với một số nguyên dương tôi với i≤n. Bởi vìR∗ = R∪R2∪R3∪ ··· ∪Rn và ma trận zero-một đại diện cho một liên minh các mối quan hệ là tham gia của ma trận zero-một trong những quan hệ, Ma trận zero-one cho tương lai đóng cửa là tham gia của ma trận zero-một trong các cường quốc n đầu tiên của zero-một ma trận của R.

Kết quả (Việt) 2:

Chứng minh:. Giả sử có một đường đi từ a đến b R. Hãy m là độ dài của đường đi ngắn như vậy
Giả sử x0, x1, x2, ..., xm-1, xm, nơi x0 = a và xm = b, là một con đường như vậy.
Giả sử a = b và m mà> n, do m≥n là +1. Bằng nguyên tắc chuồng bồ câu, bởi vì
có được n đỉnh A, một trong những m đỉnh x0, x1, ..., xm-1, ít nhất hai là bằng nhau (xem Hình 2).
Giả sử xi = xj với 0≤ixi cho chính nó. Mạch này có thể bị xóa khỏi đường đi từ a đến b, để lại một con đường, cụ thể là,
x0, x1, ..., xi, xj + 1, ..., xm-1, xm, từ a đến b có chiều dài ngắn hơn . Do đó, con đường ngắn nhất
chiều dài phải có chiều dài nhỏ hơn hoặc bằng n.
Các trường hợp một = b là trái như một bài tập cho người đọc.
Từ bổ đề 1, chúng ta thấy rằng việc đóng cửa bắc của R là sự kết hợp của R , R2, R3, ..., và Rn. Điều này sau vì có một con đường trong R * giữa hai đỉnh nếu và chỉ nếu có một con đường giữa các đỉnh trong Ri, đối với một số nguyên dương i với i≤n. Bởi vì
R * = R∪R2∪R3∪ ··· ∪Rn và zero-một ma trận đại diện cho một liên minh các mối quan hệ là việc tham gia của các ma trận zero-một trong những mối quan hệ, ma trận zero-một cho việc đóng cửa bắc là tham gia của các ma trận zero-một trong những n lực đầu tiên của ma trận zero-một trong R.