In mathematics, more specifically i

In mathematics, more specifically in fractal geometry, a fractal dimension is a ratio providing a statistical index of complexity comparing how detail in a pattern (strictly speaking, a fractal pattern) changes with the scale at which it is measured. It has also been characterized as a measure of the space-filling capacity of a pattern that tells how a fractal scales differently from the space it is embedded in; a fractal dimension does not have to be an integer.[1][2][3]

The essential idea of "fractured" dimensions has a long history in mathematics, but the term itself was brought to the fore by Benoit Mandelbrot based on his 1967 paper on self-similarity in which he discussed fractional dimensions.[4] In that paper, Mandelbrot cited previous work by Lewis Fry Richardson describing the counter-intuitive notion that a coastline's measured length changes with the length of the measuring stick used (see Fig. 1). In terms of that notion, the fractal dimension of a coastline quantifies how the number of scaled measuring sticks required to measure the coastline changes with the scale applied to the stick.[5] There are several formal mathematical definitions of fractal dimension that build on this basic concept of change in detail with change in scale.

One non-trivial example is the fractal dimension of a Koch snowflake. It has a topological dimension of 1, but it is by no means a rectifiable curve: the length of the curve between any two points on the Koch Snowflake is infinite. No small piece of it is line-like, but rather is composed of an infinite number of segments joined at different angles. The fractal dimension of a curve can be explained intuitively thinking of a fractal line as an object too detailed to be one-dimensional, but too simple to be two-dimensional.[6] Therefore its dimension might best be described not by its usual topological dimension of 1 but by its fractal dimension, which in this case is a number between one and two.

Kết quả (Việt) 1:

Trong toán học, cụ thể hơn trong hình học fractal, một kích thước fractal là một tỷ lệ cung cấp một chỉ số thống kê so sánh như thế nào các chi tiết trong một mô hình (nghiêm chỉnh nói, một mô hình fractal) thay đổi với quy mô mà tại đó nó được đo phức tạp. Nó cũng đã được đặc trưng như một biện pháp của không gian làm đầy dung lượng của một mô hình mà nói như thế nào một fractal quy mô khác nhau từ các không gian nó được nhúng vào trong; Kích thước fractal không phải là một số nguyên. [1] [2] [3]Ý tưởng "bị vỡ" kích thước cần thiết có một lịch sử lâu dài trong toán học, nhưng thuật ngữ chính nó mang đến cho fore Benoit Mandelbrot dựa trên giấy năm 1967 của mình vào trong đó, ông đã thảo luận một chút ít kích thước tự-tương tự. [4] trong đó giấy, Mandelbrot trích dẫn các công việc trước đó của Lewis chiên Richardson mô tả các khái niệm counter-intuitive thay đổi chiều dài đo một bờ biển với chiều dài của thanh đo được sử dụng (xem hình 1). Về khái niệm đó, thị trấn này có kích thước fractal của một bờ biển lượng như thế nào số lượng que đo thu nhỏ bắt buộc để đo lường sự thay đổi đường bờ biển với quy mô được áp dụng cho thanh. [5] có rất nhiều chính thức toán học định nghĩa của fractal kích thước mà xây dựng trên khái niệm cơ bản này của sự thay đổi chi tiết với các thay đổi về quy mô.Một ví dụ không nhỏ là kích thước fractal của một bông tuyết Koch. Nó có một chiều hướng tô pô của 1, nhưng đó là do không có nghĩa là một đường cong rectifiable: chiều dài đường cong giữa bất kỳ hai điểm trên bông tuyết Koch là vô hạn. Không có phần nhỏ của nó là tương tự như dòng, nhưng thay vào đó là bao gồm một số lượng vô hạn của đoạn gia nhập tại các góc độ khác nhau. Fractal kích thước của một đường cong có thể được giải thích bằng trực giác suy nghĩ của một dòng fractal là một đối tượng quá chi tiết được hết, nhưng quá đơn giản là hai chiều. [6] do đó kích thước của nó một cách tốt nhất có thể được mô tả không bởi kích thước của nó bình thường của tô pô của 1 nhưng do kích thước fractal của nó, trong trường hợp này là một số từ một đến hai.

Kết quả (Việt) 2:

Trong toán học, cụ thể hơn trong hình học fractal, một chiều fractal là một tỷ lệ cung cấp một chỉ số thống kê phức tạp so sánh cách chi tiết trong một mô hình (nói đúng ra, một mô hình fractal) thay đổi với quy mô mà tại đó nó được đo. Nó cũng đã được mô tả như là một thước đo về khả năng không gian-điền của một mô hình mà nói như thế nào một vảy fractal khác nhau từ các không gian nó được nhúng vào trong; một chiều fractal không phải là một số nguyên. [1] [2] [3] Ý tưởng cơ bản của kích thước "gãy" có một lịch sử lâu dài trong toán học, nhưng thời hạn bản thân đã được đưa lên hàng đầu bởi Benoit Mandelbrot dựa vào mình 1967 bài báo về tự tương đồng, trong đó ông đã thảo luận kích thước phân đoạn. [4] trong bài báo đó, Mandelbrot đã trích dẫn công việc trước đây của Lewis Fry Richardson mô tả khái niệm phản trực giác mà đo những thay đổi chiều dài của bờ biển với chiều dài của thước đo sử dụng (xem Hình. 1). Xét về quan điểm cho rằng, chiều fractal của đường bờ biển định lượng như thế nào số lượng que đo quy mô cần thiết để đo những thay đổi đường bờ biển với quy mô áp dụng cho các thanh. [5] Có nhiều định nghĩa toán học hình thức của chiều fractal được xây dựng trên này Khái niệm cơ bản của sự thay đổi chi tiết với sự thay đổi về quy mô. một ví dụ không tầm thường là chiều fractal của một bông tuyết Koch. Nó có một kích thước topo là 1, nhưng nó không có nghĩa là một đường cong rectifiable: chiều dài của đường cong giữa hai điểm bất kỳ trên Koch Snowflake là vô hạn. Không mảnh nhỏ của nó là dòng giống, mà là bao gồm một số lượng vô hạn các phân đoạn tham gia ở góc độ khác nhau. Chiều fractal của một đường cong có thể được giải thích bằng trực giác suy nghĩ của một dòng fractal như một đối tượng quá chi tiết để có một chiều, nhưng quá đơn giản để có hai chiều. [6] Do đó kích thước của nó có thể tốt nhất được mô tả không phải bởi topo thông thường của nó kích thước của 1 nhưng do chiều fractal của nó, mà trong trường hợp này là một số giữa một và hai.