2. Why Are NP-hard Problems Importa

2. Why Are NP-hard Problems Important, and Why Should
Human Performance Be of Interest?

Many combinatorial optimization problems, as illustrated above, are resistant to solution by brute-force computation beyond a certain n, precisely because of the exponential growth of the number of possible solutions. Instead, it is desirable to find algorithms that are able to discover the solution in an acceptable time frame. Some combinatorial optimi- zation problems can be proven to be solved by such algorithms in polynomial time (e.g., as a function of the cube, or fifth power, etc. of the number of elements in the problem). These problems are thus known as polynomial-time solvable (P). Other combinatorial optimization problems are classified as NP-hard. One feature of NP-hard problems is that no polynomial-time algorithm currently exists for any of these problems, and it is widely believed that none exist. The TSP is one such NP-hard problem.
Two major challenges for mathematics have stemmed from the division between P and NP-hard problems. First, it is known that if a guaranteed polynomial-time algorithm were to be found for a single NP-hard problem, then all NP-hard problems would be solv- able in polynomial time (in effect, P = NP and so the class of NP-hard problems would cease to exist). This first challenge still stands. Second, finding algorithms that give very- close-to-optimal (but not necessarily optimal) solutions to NP-hard problems is of major importance, given that the optimal solution cannot—at present—be guaranteed. Major progress has been made in this area over the past several decades. One spectacular recent success is the solution of a TSP comprised of the 24,978 cities of Sweden (www.tsp.gatech
.edu/sweden/index.html). Despite the sophistication of the methods used in this solution, the total CPU time required was in excess of 90 years.
It is evident that efficient algorithms for NP-hard problems in applied settings are desirable. One question that has only recently attracted attention is whether untrained humans can provide solutions to NP-hard problems, and if so, whether the solutions are close to optimal. This question has been studied most closely in the context of the two- dimensional Euclidean version of the TSP.1 MacGregor and Ormerod (1996) demonstrated that in the case of 10- and 20-city problems, human subjects outperformed simple con- struction algorithms by an order of magnitude. Untrained human subjects, when instructed simply to draw the best route “by eye,” without any real-world constraints being imposed, typically provided solutions within 1% of optimal. Since these earlier studies, additional work has provided some evidence to show that human performance remains remarkably good even with considerably larger problems. Dry et al. (2006) used randomly generated TSPs of 10, 20, . . . , 120 points and demonstrated a linear relationship between number of cities and solution time. The quality of performance showed a similar linear relation-
ship: even for TSPs of 120 cities, human performance was only approximately 11% above

Kết quả (Việt) 1:

2. tại sao các vấn đề khó khăn NP quan trọng, và tại sao nênHiệu suất của con người quan tâm?Nhiều tổ hợp tối ưu hóa vấn đề, như minh họa ở trên, có khả năng chịu giải pháp của brute-lực tính toán vượt ra ngoài một n nhất định, chính xác vì sự tăng trưởng hàm mũ của số lượng các giải pháp có thể. Thay vào đó, nó là mong muốn để tìm thuật toán có thể khám phá các giải pháp trong một khung thời gian chấp nhận được. Một số vấn đề optimi-zation tổ hợp có thể được chứng minh để được giải quyết bằng thuật toán như vậy trong thời gian đa thức (ví dụ như, như là một chức năng của khối lập phương, hoặc thứ năm điện, vv của số lượng các yếu tố trong vấn đề). Những vấn đề do đó được biết đến như khả năng giải quyết thời gian đa thức (P). Các vấn đề tối ưu hóa tổ hợp khác được phân loại là NP khó khăn. Một tính năng của vấn đề khó khăn NP là rằng không có thuật toán thời gian đa thức hiện đang tồn tại cho bất kỳ của những vấn đề này, và nó nhiều người tin rằng không tồn tại. Các TSP là một vấn đề NP khó khăn như vậy.Hai lớn thách thức toán học có bắt nguồn từ sự phân chia giữa P và NP-khó khăn vấn đề. Đầu tiên, nó được biết rằng nếu một thuật toán thời gian đa thức đảm bảo đã được tìm thấy cho một vấn đề khó NP duy nhất, sau đó tất cả vấn đề NP khó khăn nào là solv-có thể trong thời gian đa thức (có hiệu lực, P = NP và do đó, các lớp học vấn đề khó khăn NP sẽ chấm dứt để tồn tại). Thách thức đầu tiên này vẫn còn là viết tắt của. Thứ hai, việc tìm kiếm thuật toán rất-đóng-để-(nhưng không nhất thiết phải tối ưu) giải pháp tối ưu cho vấn đề khó khăn NP là lớn tầm quan trọng nhất, cho rằng không thể các giải pháp tối ưu-hiện nay — được đảm bảo. Tiến bộ lớn đã được thực hiện trong lĩnh vực này trong nhiều thập kỷ qua. Một trong những thành công ngoạn mục gần đây là các giải pháp của một muỗng cà phê bao gồm các thành phố 24,978 của Thụy Điển (www.tsp.gatech.edu/Sweden/index.html). Mặc dù độ tinh vi của các phương pháp được sử dụng trong giải pháp này, thời gian CPU tất cả cần thiết là vượt quá 90 năm.Nó là điều hiển nhiên rằng các thuật toán hiệu quả cho các vấn đề khó khăn NP trong ứng dụng cài đặt được mong muốn. Một câu hỏi mà chỉ gần đây đã thu hút sự chú ý là cho dù chưa thạo con người có thể cung cấp các giải pháp để vấn đề NP khó khăn, và nếu như vậy, cho dù các giải pháp gần gũi với tối ưu. Câu hỏi này đã được nghiên cứu chặt chẽ nhất trong bối cảnh của hai chiều Euclid Phiên bản của TSP.1 MacGregor và Ormerod (1996) đã chứng minh trong trường hợp của vấn đề 10 và 20 thành phố, con người môn học thuật toán tốt hơn đơn giản côn-struction bởi một thứ tự cường độ. Đối tượng của con người chưa thạo, khi hướng dẫn đơn giản chỉ để vẽ đường tốt nhất "của mắt," mà không có bất kỳ khó khăn thực tế đang được áp đặt, thường cung cấp các giải pháp trong vòng 1% của tối ưu. Từ các nghiên cứu trước đó, công việc bổ sung đã cung cấp một số bằng chứng cho thấy rằng hiệu suất của con người vẫn còn đáng kể tốt ngay cả với những vấn đề lớn hơn đáng kể. Giặt et al. (2006) được sử dụng một cách ngẫu nhiên tạo ra TSPs 10, 20,..., 120 điểm và chứng minh một mối quan hệ tuyến tính giữa các thành phố của và thời gian giải pháp. Chất lượng của hiệu suất cho thấy một tương tự như tuyến tính liên quan-tàu: ngay cả đối với TSPs trong 120 thành phố, hiệu suất của con người chỉ là khoảng 11% ở trên

Kết quả (Việt) 2:

2. Tại sao vấn đề NP-hard quan trọng, và tại sao nên
Performance Human Hãy yêu thích? Nhiều vấn đề tối ưu hóa tổ hợp, như minh họa trên, đề kháng với giải pháp bằng brute-lực tính toán xa hơn một n nhất định, chính vì sự tăng trưởng theo cấp số nhân của số giải pháp có thể. Thay vào đó, nó là mong muốn để tìm các thuật toán mà có thể khám phá các giải pháp trong một khung thời gian chấp nhận được. Một số vấn đề zation optimi- tổ hợp có thể được chứng minh để được giải quyết bằng các thuật toán như vậy trong thời gian đa thức (ví dụ, như là một chức năng của khối lập phương, hay quyền lực thứ năm, vv của các số nguyên tố trong các vấn đề). Do đó những vấn đề này được gọi là thời gian đa thức tan (P). Vấn đề tối ưu hóa tổ hợp khác được phân loại là NP-hard. Một đặc điểm của vấn đề NP-khó khăn là không có thuật toán thời gian đa thức hiện tồn tại cho bất kỳ của những vấn đề này, và người ta tin rằng không tồn tại. TSP là một vấn đề NP-khó khăn. Hai thách thức lớn đối với toán học bắt nguồn từ sự phân chia giữa P và các vấn đề NP-hard. Đầu tiên, nó được biết rằng nếu một thuật toán thời gian đa thức bảo lãnh đã được tìm thấy với một vấn đề NP-cứng duy nhất, sau đó tất cả các vấn đề NP-hard sẽ solv- thể trong thời gian đa thức (có hiệu lực, P = NP và vì vậy lớp của NP-hard vấn đề sẽ không còn tồn tại). Thử thách đầu tiên này vẫn đứng vững. Thứ hai, việc tìm kiếm các thuật toán mà cung cấp cho very- close-to-tối ưu (nhưng không nhất thiết phải tối ưu) các giải pháp cho các vấn đề NP-khó có tầm quan trọng lớn, cho rằng các giải pháp tối ưu có thể không-tại-hiện được đảm bảo. Sự tiến bộ lớn đã được thực hiện tại khu vực này trong vài thập kỷ qua. Một thành công ngoạn mục gần đây là giải pháp của một TSP gồm có 24.978 thành phố của Thụy Điển (www.tsp.gatech .edu / Thụy Điển / index.html). Mặc dù có sự tinh tế của các phương pháp được sử dụng trong giải pháp này, tổng thời gian CPU yêu cầu đã vượt quá 90 năm. Đó là điều hiển nhiên rằng các thuật toán hiệu quả cho các vấn đề NP-khó khăn trong cài đặt ứng dụng được mong muốn. Một câu hỏi mà chỉ gần đây đã thu hút sự chú ý là liệu con người chưa qua đào tạo có thể cung cấp các giải pháp cho các vấn đề NP-khó, và nếu như vậy, cho dù các giải pháp gần tối ưu. Câu hỏi này đã được nghiên cứu kỹ nhất trong bối cảnh của chiều phiên bản Euclide hai của TSP.1 MacGregor và Ormerod (1996) đã chứng minh rằng trong trường hợp của các vấn đề 10- và 20-thành phố, nhân tượng vượt trội so với các thuật toán xây dựng đơn giản bởi một đơn đặt hàng của các cường độ. Đối tượng con người chưa qua đào tạo, khi được chỉ dẫn đơn giản để vẽ các đường tốt nhất "bằng mắt", mà không có bất kỳ ràng buộc thực tế được áp đặt, thường cung cấp các giải pháp trong phạm vi 1% của tối ưu. Từ những nghiên cứu trước đó, việc bổ sung đã được cung cấp một số bằng chứng cho thấy rằng hiệu suất của con người vẫn còn khá tốt, ngay cả với những vấn đề lớn hơn đáng kể. Khô et al. (2006) đã sử dụng được tạo ngẫu nhiên TSPs 10, 20,. . . , 120 điểm và chứng minh một mối quan hệ tuyến tính giữa số thành phố và thời gian giải pháp. Chất lượng hoạt động cho thấy một mối quan hệ tuyến tính tương tự như tàu: ngay cả đối với TSPs của 120 thành phố, hoạt động của con người đã được chỉ khoảng 11% trên