Theorem 3.1 (see [3]). Let D be a c

Theorem 3.1 (see [3]). Let D be a compact, convex set, and let f :D×D→R be an upper
semicontinuous and quasiconvex function in its first variable; then the following conditions
are equivalent:
(i) f is properly quasimonotone;
(ii) for any finite set A ⊆ D there exists ¯x ∈ co(A) such that ¯x is a solution of (EP);
(iii) (EP) has a solution on every compact convex subset of D.
In this section, using Theorems 2.1 and 2.2, we are able to show the nonemptiness of
the solution set of (EP) and (SEP), without any convexity requirement. To this purpose,
we introduce a definition of approximate equilibrium point, for both cases (see [9] for a
definition of approximate equilibrium for functions defined on product spaces). We start
our analysis with (EP).

Kết quả (Việt) 1:

Định lý 3.1 (xem [3]). Để D là một tập hợp nhỏ gọn, lồi, và cho f: D × D→R là một thượngchức năng semicontinuous và quasiconvex biến đầu tiên; sau đó là các điều kiện sau đâylà tương đương:(i) f là đúng quasimonotone;(ii) đối với bất kỳ ⊆ hữu hạn tập A D có tồn tại ¯x ∈ co(A) sao cho ¯x là một giải pháp (EP);(iii) (EP) có một giải pháp trên mỗi tập con lồi nhỏ gọn của D.Trong phần này, bằng cách sử dụng định lý 2.1 và 2.2, chúng tôi có thể hiển thị nonemptiness củabộ giải pháp (EP) và (tháng chín), mà không có bất kỳ yêu cầu convexity. Cho mục đích này,chúng tôi giới thiệu một định nghĩa của điểm gần đúng cân bằng, cho cả hai trường hợp (xem [9] Đối với mộtđịnh nghĩa tương đối cân bằng cho các chức năng được định nghĩa trên sản phẩm tại). Chúng tôi bắt đầuchúng tôi phân tích với (EP).

Kết quả (Việt) 2:

Định lý 3.1 (xem [3]). Cho D là một tập lồi nhỏ gọn, và để cho f: D × D → R là một trên
chức năng bán liên và quasiconvex trong biến đầu tiên của nó; sau đó các điều kiện sau
là tương đương:
(i) f là đúng quasimonotone;
(ii) đối với bất kỳ hữu hạn tập A ⊆ D có tồn tại x ∈ đồng (A) sao cho x là nghiệm của (EP);
(iii) ( EP) có một giải pháp trên mỗi tập con lồi nhỏ gọn của D.
trong phần này, sử dụng định lý 2.1 và 2.2, chúng tôi có thể hiển thị các nonemptiness của
bộ giải pháp của (EP) và (SEP), mà không có bất kỳ yêu cầu lồi. Để mục đích này,
chúng tôi giới thiệu một định nghĩa về điểm cân bằng gần đúng, cho cả hai trường hợp (xem [9] cho một
định nghĩa của sự cân bằng gần đúng cho các chức năng được xác định trên không gian sản phẩm). Chúng tôi bắt đầu
phân tích của chúng tôi với (EP).