(c) ⇒ (a): Again, regard π1(X, x0)

(c) ⇒ (a): Again, regard π1(X, x0) as the set of basepoint-preserving homotopy
classes of maps (S
1
, s0) → (X, x0). The hypothesis that π1(X, x0) = 0 for all
choices of x0 means that every map S
1 → X is nullhomotopic through a homotopy
that preserves the basepoint of S
1
. In particular, this entails (a).
Finally, if X is simply-connected, then it is path-connected and (c) holds. Thus
(a) holds, and every map f : S
1 → X is homotopic to a constant map. And since
X is path-connected, all constant maps to X are homotopic.
Conversely, if all maps S
1 → X are homotopic, then in particular the constant
maps are homotopic, so X is path-connected. And since (a) holds, (c) holds as
well. Thus X is simply-connected.

Kết quả (Việt) 1:

(c) ⇒ (a): một lần nữa, quan tâm π1 (X, x 0) là tập hợp các đơn bảo quản đồng LuânCác lớp học của bản đồ (S1s0) → (X, x 0). Các giả thuyết rằng π1 (X, x 0) = 0 cho tất cảsự lựa chọn của x 0 có nghĩa là mỗi bản đồ S1 → X là nullhomotopic thông qua một đồng Luânmà bảo tồn đơn S1. Đặc biệt, này đòi hỏi (a).Cuối cùng, nếu X là chỉ đơn giản là kết nối, sau đó nó là đường dẫn kết nối và (c) nắm giữ. Do đó(a) nắm giữ, và mỗi bản đồ f: S1 → X là homotopic để bản đồ liên tục. Và kể từX là đường dẫn kết nối, tất cả các bản đồ liên tục để X homotopic.Ngược lại, nếu tất cả bản đồ S1 → X là homotopic, sau đó trong đặc biệt là hằng sốbản đồ là homotopic, do đó, X là đường dẫn kết nối. Và kể từ khi nắm giữ (a), (c) giữtốt. Do đó X là chỉ đơn giản là kết nối.

Kết quả (Việt) 2:

(c) ⇒ (a): Một lần nữa, vấn đề π1 (X, x0) là tập hợp các đồng luân basepoint-bảo quản
các lớp bản đồ (S
1, s0) → (X, x0).
Giả thuyết rằng π1 (X, x0) = 0 với mọi
sự lựa chọn của x0 có nghĩa là mỗi bản đồ S
1 → X là nullhomotopic thông qua một đồng luân
giữ gìn basepoint của S 1. Đặc biệt, điều này đòi hỏi phải (a). Cuối cùng, nếu X chỉ đơn giản là kết nối, sau đó nó là con đường kết nối và (c) đúng. Như vậy (một) nắm giữ, và mỗi bản đồ f: S 1 → X là đồng luân đến một bản đồ liên tục. Và kể từ khi X là con đường kết nối, tất cả các bản đồ liên tục để X là đồng luân. Ngược lại, nếu tất cả các bản đồ S 1 → X là đồng luân, sau đó đặc biệt là các hằng số bản đồ là đồng luân, do đó X là con đường kết nối. Và kể từ khi (a) đúng, (c) đúng là tốt. Do đó X chỉ đơn giản là kết nối.