The concept of divisibility, origin

The concept of divisibility, originally introduced for the integers Z in Section 1.2, can be generalized to any ring.
Definition. Let a and b be elements of a ring R with = 0. We say that b divides a, or that a is divisible by b, if there is an element c ∈ R such that

As before, we write b | a to indicate that b divides a. If b does not divide a, then we write .
Remark 2.40. The basic properties of divisibility given in Proposition 1.4 apply to rings in general. The proof for Z works for any ring. Similarly, it is true in every ring that b | 0 for any = 0. (See Exercise 2.30.) However, note that not every ring is as nice as Z. For example, there are rings with nonzero elements a and b whose product ab is 0. An example of such a ring is Z/6Z, in which 2 and 3 are nonzero, but 2 • 3 = 6 = 0.
Recall that an integer is called a prime if it has no nontrivial factors. What is a trivial factor? We can “factor” any integer by writing it as a = 1 • a and as a = (−1)(−a), so these are trivial factorizations. What makes them trivial is the fact that 1 and −1 have multiplicative inverses. In general, if R is a ring and if u ∈ R is an element that has a multiplicative inverse u−1 ∈ R, then we can factor any element a ∈ R by writing it as a = u−1 • (ua). Elements that have multiplicative inverses and elements that have only trivial factorizations are special elements of a ring, so we give them special names.
Definition. Let R be a ring. An element u ∈ R is called a unit if it has a
multiplicative inverse, i.e., if there is an element v ∈ R such that
An element a of a ring R is said to be irreducible if a is not itself a unit and if in every factorization of , either b is a unit or c is a unit.
Remark 2.41. The integers have the property that every integer factors uniquely into a product of irreducible integers, up to rearranging the order of the factors and throwing in some extra factors of 1 and −1. (Note that a positive irreducible integer is simply another name for a prime.) Not every ring has this important unique factorization property, but in the next section we prove that the ring of polynomials with coefficients in a field is a unique factorization ring.
We have seen that congruences are a very important and powerful mathematical tool for working with the integers. Using the definition of divisibility, we can extend the notion of congruence to arbitrary rings.

Kết quả (Việt) 1:

Khái niệm về divisibility, ban đầu được giới thiệu cho các số nguyên Z trong phần 1.2, có thể được tổng quát hóa bất kỳ vòng.Định nghĩa. Cho phép một và b là các phần tử của một vòng R với = 0. Chúng tôi nói rằng b chia một, hoặc một là chia hết cho b, nếu có là một yếu tố c ∈ R sao cho Như trước đây, chúng tôi viết b | một để chỉ ra rằng b chia một. Nếu b không phân chia một, sau đó chúng tôi viết.Nhận xét 2,40. Các tính chất cơ bản của divisibility được đưa ra trong Döï Luaät 1.4 áp dụng cho vòng nói chung. Bằng chứng cho Z làm việc cho bất kỳ vòng. Tương tự như vậy, nó là đúng trong mỗi vòng rằng b | 0 cho bất kỳ = 0. (Xem tập thể dục 2,30.) Tuy nhiên, lưu ý rằng không phải tất cả vòng là tốt đẹp như Z. Ví dụ, có những vòng với các yếu tố nonzero một và b có sản phẩm ab là 0. Một ví dụ về một vòng là Z/6, trong đó 2 và 3 là nonzero, nhưng 2 • 3 = 6 = 0.Nhớ lại rằng một số nguyên được gọi là một số nguyên tố nếu nó đã không có yếu tố nontrivial. Một yếu tố nhỏ là gì? Chúng tôi có thể "yếu tố" số nguyên bất kỳ bằng cách viết nó như một = 1 • một và như a = (−1)(−a), do đó, đây là tầm thường factorizations. Điều gì làm cho họ tầm thường, là một thực tế rằng 1 và −1 có khả ngược. Nói chung, nếu R là một vòng, và nếu bạn ∈ R là một nguyên tố có một khả nghịch đảo u−1 ∈ R, sau đó chúng tôi có thể yếu tố bất kỳ yếu tố một ∈ R bằng cách viết nó như một = u−1 • (ua). Yếu tố có khả ngược và các yếu tố có chỉ tầm thường factorizations là các yếu tố đặc biệt của một vòng, do đó, chúng tôi cung cấp cho họ tên đặc biệt.Định nghĩa. Giả sử R là một vòng. Một phần tử u ∈ R được gọi là một đơn vị nếu nó có mộtkhả nghịch đảo, tức là, nếu có là một yếu tố v ∈ R sao cho Một yếu tố một một vòng R được gọi là irreducible nếu một không chính nó là một đơn vị và nếu trong mỗi factorization của, hoặc b là một đơn vị hoặc c là một đơn vị.Nhận xét 2,41. Các số nguyên có tài sản số nguyên mỗi yếu tố duy nhất vào một sản phẩm của số nguyên irreducible, lên đến sắp xếp lại thứ tự của các yếu tố và ném trong một số yếu tố phụ của 1 và −1. (Lưu ý rằng một số nguyên dương irreducible là chỉ đơn giản là một tên cho nguyên tố một.) Không phải tất cả vòng có tài sản quan trọng duy nhất factorization này, nhưng trong phần tiếp theo chúng tôi chứng minh rằng vành đai của các đa thức với hệ số trong một lĩnh vực là một chiếc nhẫn duy nhất factorization.Chúng tôi đã thấy rằng hình là một công cụ toán học rất quan trọng và mạnh mẽ để làm việc với các số nguyên. Sử dụng định nghĩa của divisibility, chúng tôi có thể mở rộng khái niệm congruence để tùy ý nhẫn.

Kết quả (Việt) 2:

Khái niệm về quan hệ chia hết, ban đầu được giới thiệu cho các số nguyên Z tại mục 1.2, có thể được tổng quát cho bất kỳ chiếc nhẫn.
Định nghĩa. Cho a và b là các yếu tố của một chiếc nhẫn với R = 0. Chúng ta nói rằng b chia một, hoặc một là chia hết cho b, nếu có một yếu tố c ∈ R như vậy mà Như trước đây, chúng tôi viết b | a để chỉ ra rằng b chia a. Nếu b không chia, sau đó chúng tôi viết. Ghi chú 2.40. Các tính chất cơ bản của quan hệ chia được đưa ra trong Dự 1,4 áp dụng cho vòng chung. Các bằng chứng cho Z việc cho bất kỳ chiếc nhẫn. Tương tự như vậy, đó là sự thật trong mỗi vòng đó b | (. Xem tập 2.30) 0 cho bất kỳ = 0. Tuy nhiên, lưu ý rằng không phải tất cả nhẫn là tốt đẹp như Z. Ví dụ, có những chiếc nhẫn với các yếu tố khác không a và b có sản phẩm ab là 0. Một ví dụ về một chiếc nhẫn như là Z / 6Z, trong đó có 2 và 3 là khác không, nhưng 2 • 3 = 6 = 0. Nhớ lại rằng một số nguyên được gọi là một chính nếu nó không có các yếu tố không tầm thường. Một yếu tố tầm thường là gì? Chúng tôi có thể "tố" bất kỳ số nguyên bằng cách viết nó như là a = 1 • a, như a = (-1) (- a), vì vậy đây là factorizations tầm thường. Thực tế là 1 và -1 có phần tử nghịch đảo nhân giống gì làm cho họ tầm thường là. Nói chung, nếu R là một chiếc nhẫn và nếu u ∈ R là nguyên tố có một nghịch đảo u-1 ∈ R, sau đó chúng ta có thể yếu tố bất kỳ yếu tố a ∈ R bằng cách viết nó như là a = u-1 • (ua). Các nguyên tố có phần tử nghịch đảo nhân giống và các yếu tố mà chỉ có factorizations tầm thường là những yếu tố đặc biệt của vòng một, vì vậy chúng tôi cung cấp cho chúng những cái tên đặc biệt. Định nghĩa. Hãy R là vành. Một yếu tố u ∈ R được gọi là một đơn vị nếu nó có một nghịch đảo, tức là, nếu có một yếu tố v ∈ R như vậy mà một Một yếu tố của một chiếc nhẫn R được cho là bất khả quy nếu không phải là chính nó là một đơn vị và nếu trong mỗi thừa số của, hoặc b là một đơn vị hoặc c là một đơn vị. Ghi chú 2.41. Các số nguyên có tài sản mà mỗi yếu tố số nguyên duy nhất vào một sản phẩm của các số nguyên tối giản, đến sắp xếp lại thứ tự của các yếu tố và ném vào một số yếu tố thêm 1 và -1. (Lưu ý rằng một số nguyên dương không thể giản lược chỉ đơn giản là một tên khác của một nguyên tố.) Không phải mọi chiếc nhẫn có tài sản thừa độc đáo quan trọng này, nhưng trong phần tiếp theo, chúng tôi chứng minh rằng chiếc nhẫn của các đa thức với hệ số trong một lĩnh vực là một vòng nhân tử độc đáo. Chúng tôi đã thấy rằng các tương đẳng là một công cụ toán học rất quan trọng và mạnh mẽ để làm việc với các số nguyên. Sử dụng định nghĩa của quan hệ chia hết, chúng ta có thể mở rộng các khái niệm đồng dư để nhẫn tùy ý.