with t representing the constant el

with t representing the constant element thickness, and the integration is per- formed over the area of the element (in the physical xy plane). In Equation 9.84, the stiffness may represent a plane stress element or a plane strain element, de- pending on whether the material property matrix [D] is defined by Equation 9.6 or 9.54, respectively. (Also note that, for plane strain, it is customary to take the element thickness as unity.)
The integration indicated by Equation 9.84 are in the x-y global space, but the [ B ] matrix is defined in terms of the natural coordinates in the parent element space. Therefore, a bit more analysis is required to obtain a final form. In the physical space, we have d A = dx d y , but we wish to integrate using the natural
coordinates over their respective ranges of −1 to +1. In the case of the four-node
rectangular element, the conversion is straightforward, as x is related only to r
and y is related only to s, as indicated in Equation 9.61. In the isoparametric case at hand, the situation is not quite so simple. The derivation is not repeated here, but it is shown in many calculus texts [1] that
d A = dx d y = | J | dr ds (9.85) hence, Equation 9.84 becomes

¸
.k(e). = t

[ B ]T [ D][ B ] | J | dr ds = t

1 1
¸ ¸
[ B ]T [ D][ B ] | J | dr ds (9.86)

A −1 −1
As noted, the terms of the [ B ] matrix are known functions of the natural coordinates, as is the Jacobian | J |. The terms in the stiffness matrix represented by Equation 9.86, in fact, are integrals of ratios of polynomials and the integra- tions are very difficult, usually impossible, to perform exactly. Instead, Gaussian quadrature is used and the integrations are replaced with sums of the integrand evaluated at specified Gauss points as defined in Chapter 6. For p integration points in the variable r and q integration points in the variable s, the stiffness matrix is approximated by
p q
.k(e). = t . . Wi WJ [ B(ri , sj )]T [ D][ B(ri , sj )]| J (ri , sj )|dr ds (9.87)
i =1 j =1
Since [B] includes the determinant of the Jacobian matrix in the denominator, the numerical integration does not necessarily result in an exact solution, since the ratio of polynomials is not necessarily a polynomial. Nevertheless, the Gaussian procedure is used for this element, as if the integrand is a quadratic in both r and s, with good results. In such case, we use two Gauss points for each variable, as is illustrated in the following example.

Kết quả (Việt) 1:

với t đại diện cho độ dày hằng số nguyên tố, và hội nhập là một - được hình thành trên khu vực của các yếu tố (trong mặt phẳng xy vật lý). Trong phương trình 9.84, độ cứng có thể đại diện cho một yếu tố căng thẳng máy bay hoặc một mặt phẳng chủng nguyên tố, de-đang chờ giải quyết vào bất động sản vật liệu ma trận [D] là defined bởi phương trình 9.6 hoặc 9.54, tương ứng. (Lưu ý rằng, cho căng thẳng máy bay, đó là phong tục để có độ dày yếu tố như sự thống nhất.)Tích hợp được chỉ định bởi phương trình 9.84 trong không gian toàn cầu x-y, nhưng ma trận [B] defined về tọa độ tự nhiên trong không gian yếu tố cha mẹ. Vì vậy, phân tích một chút hơn là cần thiết để có được một hình thức ngoài. Trong không gian vật lý, chúng ta có d A = dx d y, nhưng chúng tôi muốn để tích hợp bằng cách sử dụng tự nhiênTọa độ trên của phạm vi tương ứng của −1 đến + 1. Trong trường hợp của bốn nútyếu tố hình chữ nhật, việc chuyển đổi là đơn giản, như x liên quan đến chỉ để rvà y liên quan đến chỉ để s, như được chỉ ra trong phương trình 9,61. Isoparametric trường hợp ở bàn tay, tình hình là không đơn giản như vậy khá. Các derivation không lặp đi lặp lại ở đây, nhưng nó được thể hiện ở nhiều văn bản tính toán [1] đód A = dx d y = | J | tiến sĩ ds (9.85) do đó, phương trình 9.84 sẽ trở thành ¸.k(e). = t [ B ] T [D] [B] | J | tiến sĩ ds = t 1 1¸ ¸[ B ] T [D] [B] | J | tiến sĩ ds (9.86) −1 −1Theo ghi nhận, các điều khoản của ma trận [B] được biết chức năng của các tọa độ tự nhiên, như là Jacobi | J |. Các điều khoản trong ma trận độ cứng được đại diện bởi phương trình 9.86, trong thực tế là tích phân của các tỷ lệ của đa thức và integra tions là rất difficult, thường là không thể, để thực hiện chính xác. Thay vào đó, Gaussian quadrature được sử dụng và tích hợp các được thay thế bằng một khoản tiền integrand đánh giá tại specified Gauss điểm là defined trong chương 6. Cho p tích hợp điểm trong r biến và q hội nhập điểm ở biến s, Ma trận độ cứng xấp xỉ bằngp q.k(e). = t . . T Wi WJ [B (ri, sj)] [D] [B (ri, sj)] | J (ri, sj) | dr ds (9,87)i = 1 j = 1Kể từ khi [B] bao gồm định thức của ma trận Jacobi trong mẫu, hội nhập số không nhất thiết phải tạo ra một giải pháp chính xác, vì tỷ lệ của các đa thức là không nhất thiết phải là một đa thức. Tuy nhiên, các thủ tục Gaussian được sử dụng cho nguyên tố này, nếu như integrand là một bậc trong r và s, với kết quả tốt. Trong trường hợp như vậy, chúng tôi sử dụng hai Gauss điểm đối với mỗi biến, như được minh họa trong ví dụ sau.

Kết quả (Việt) 2:

với t đại diện cho độ dày phần cố định, và sự hội nhập được mỗi hình thành trên khu vực của nguyên tố (trong mặt phẳng xy vật lý). Trong phương trình 9.84, độ cứng có thể là một yếu tố căng thẳng máy bay hoặc một phần máy bay căng thẳng, de- cấp phát vào việc ma trận tính vật liệu [D] là de fi được xác định bởi phương trình 9,6 hoặc 9,54, tương ứng. (Cũng lưu ý rằng, đối với dòng máy bay, nó là phong tục để có độ dày yếu tố như sự hiệp nhất.)
Việc tích hợp được chỉ định bởi phương trình 9.84 được trong không gian toàn cầu xy, nhưng [B] ma trận là de fi định nghĩa về các tọa độ tự nhiên trong không gian yếu tố phụ huynh. Do đó, phân tích thêm một chút là cần thiết để có được một hình thức fi cuối cùng. Trong không gian vật lý, chúng ta có d A = dx dy, nhưng chúng tôi muốn tích hợp bằng cách sử dụng tự nhiên
tọa độ trên phạm vi tương ứng của họ về -1 đến +1. Trong trường hợp của bốn nút
yếu tố hình chữ nhật, việc chuyển đổi là đơn giản, như x chỉ liên quan đến r
và y chỉ liên quan đến s, như được chỉ ra trong phương trình 9.61. Trong trường hợp isoparametric ở bàn tay, tình hình cũng không khá đơn giản như vậy. Các dẫn xuất không được lặp lại ở đây, nhưng nó được thể hiện trong nhiều văn bản giải tích [1] mà
d A = dx dy = | J | dr ds (9.85) do đó, phương trình 9.84 trở

¸
.K (e). = T

[B] T [D] [B] | J | ds dr = t

1 1
¸ ¸
[B] T [D] [B] | J | ds dr (9.86)

A -1 -1
Theo ghi nhận, các điều khoản của [B] ma trận được biết đến chức năng của các tọa độ tự nhiên, như là Jacobian | J |. Các thuật ngữ trong ma trận độ cứng thể hiện bằng phương trình 9.86, trên thực tế, là tích của các tỷ số của đa thức và tions lồng ghép rất khăn fi sùng bái, thường là không thể, để thực hiện chính xác. Thay vào đó, cầu phương Gauss được sử dụng và tích hợp được thay thế bằng một khoản tiền của tích phân đánh giá ở cụ thể fi ed Gauss điểm như de fi định nghĩa trong chương 6. Đối với điểm p tích hợp trong r và hội nhập q điểm biến trong s biến, ma trận độ cứng là xấp xỉ bằng
pq
.K (e). = T. . Wi WJ [B (ri, sj)] T [D] [B (ri, sj)] | J (ri, sj) | ds dr (9.87)
i = 1 j = 1
Từ [B] bao gồm các yếu tố quyết định của ma trận Jacobian ở mẫu số, tích hợp số không nhất thiết dẫn đến một giải pháp chính xác, vì tỷ lệ của các đa thức không nhất thiết phải là một đa thức. Tuy nhiên, quy trình Gaussian được sử dụng cho các phần tử này, như thể tích phân là một phương trong cả r và s, với kết quả tốt. Trong trường hợp này, chúng tôi sử dụng hai điểm Gauss cho mỗi biến, như được minh họa trong ví dụ sau đây.