CHAPTERRelations9.1 Relations andTh

CHAPTER
Relations
9.1 Relations and
Their
Properties
9.2 n-ary Relations
and Their
Applications
9.3 Representing
Relations
9.4 Closures of
Relations
9.5 Equivalence
Relations
9.6 Partial
Orderings
Relationships between elements of sets occur in many contexts. Every day we deal with
relationships such as those between a business and its telephone number, an employee
and his or her salary, a person and a relative, and so on. In mathematics we study relationships
such as those between a positive integer and one that it divides, an integer and one that it is
congruent to modulo 5, a real number and one that is larger than it, a real number x and the
value f (x) where f is a function, and so on. Relationships such as that between a program and
a variable it uses, and that between a computer language and a valid statement in this language
often arise in computer science.
Relationships between elements of sets are represented using the structure called a relation,
which is just a subset of the Cartesian product of the sets. Relations can be used to solve problems
such as determining which pairs of cities are linked by airline flights in a network, finding a
viable order for the different phases of a complicated project, or producing a useful way to store
information in computer databases.
In some computer languages, only the first 31 characters of the name of a variable matter.
The relation consisting of ordered pairs of strings where the first string has the same initial
31 characters as the second string is an example of a special type of relation, known as an
equivalence relation. Equivalence relations arise throughout mathematics and computer science.
We will study equivalence relations, and other special types of relations, in this chapter.
9.1 Relations and Their Properties
Introduction
The most direct way to express a relationship between elements of two sets is to use ordered pairs
made up of two related elements. For this reason, sets of ordered pairs are called binary relations.
In this section we introduce the basic terminology used to describe binary relations. Later in this
chapter we will use relations to solve problems involving communications networks, project
scheduling, and identifying elements in sets with common properties.
DEFINITION 1 Let A and B be sets. A binary relation from A to B is a subset of A × B.
In other words, a binary relation from A to B is a set R of ordered pairs where the first element
of each ordered pair comes from A and the second element comes from B. We use the notation
aRb to denote that (a, b) ∈ R and a
R b to denote that (a, b) /∈ R. Moreover, when (a, b)
belongs to R, a is said to be related to b by R.
Binary relations represent relationships between the elements of two sets. We will introduce
n-ary relations, which express relationships among elements of more than two sets, later in this
chapter. We will omit the word binary when there is no danger of confusion.
Examples 1–3 illustrate the notion of a relation.
EXAMPLE 1 Let A be the set of students in your school, and let B be the set of courses. Let R be
the relation that consists of those pairs (a, b), where a is a student enrolled in course b.
For instance, if Jason Goodfriend and Deborah Sherman are enrolled in CS518, the pairs
573
P1: 1
CH09-7T Rosen-2311T MHIA017-Rosen-v5.cls May 13, 2011 15:29
574 9 / Relations
(Jason Goodfriend, CS518) and (Deborah Sherman, CS518) belong to R. If Jason Goodfriend
is also enrolled in CS510, then the pair (Jason Goodfriend, CS510) is also in R. However,
if Deborah Sherman is not enrolled in CS510, then the pair (Deborah Sherman, CS510) is
not in R.
Note that if a student is not currently enrolled in any courses there will be no pairs in R that
have this student as the first element. Similarly, if a course is not currently being offered there
will be no pairs in R that have this course as their second element. ▲
EXAMPLE 2 Let A be the set of cities in the U.S.A., and let B be the set of the 50 states in the U.S.A.
Define the relation R by specifying that (a, b) belongs to R if a city with name a is in
the state b. For instance, (Boulder, Colorado), (Bangor, Maine), (Ann Arbor, Michigan),
(Middletown, New Jersey), (Middletown, New York), (Cupertino, California), and
(Red Bank, New Jersey) are in R. ▲
EXAMPLE 3 Let A = {0, 1, 2} and B = {a, b}. Then {(0, a), (0, b), (1, a), (2, b)} is a relation from A to B.
This means, for instance, that 0 R a, but that 1
R b. Relations can be represented graphically,
as shown in Figure 1, using arrows to represent ordered pairs. Another way to represent this
relation is to use a table, which is also done in Figure 1. We will discuss representations of
relations in more detail in Section 9.3. ▲
0
1
2
b
a
R a b
0
1
2
FIGURE 1 Displaying the Ordered Pairs in the Relation R from Example 3.
Functions as Relations
Recall that a function f from a set A to a set B (as defined in Section 2.3) assigns exactly
one element of B to each element of A. The g

Kết quả (Việt) 1:

CHƯƠNGQuan hệ9.1 hệ vàCủa họThuộc tínhmối quan hệ n ary 9.2và của họỨng dụng9.3 đại diện choQuan hệ9.4 đóng cửa củaQuan hệ9.5 tương đươngQuan hệ9.6 phầnOrderingsMối quan hệ giữa các yếu tố bộ xảy ra trong nhiều hoàn cảnh. Mỗi ngày chúng ta đối phó vớimối quan hệ như giữa một doanh nghiệp và số điện thoại của nó, một nhân viênvà tiền lương của mình, một người và một thân nhân, và như vậy trên. Trong toán học, chúng tôi nghiên cứu các mối quan hệchẳng hạn như giữa các số nguyên dương và một trong đó nó phân chia, một số nguyên và một trong đó làđồng dư modulo 5, một số thực và một trong đó là lớn hơn so với nó, một số lượng thực tế x và cácgiá trị f (x) f ở đâu một chức năng, và như vậy. Mối quan hệ như là giữa một chương trình vàmột biến nó sử dụng, và rằng giữa một ngôn ngữ máy tính và một tuyên bố hợp lệ bằng ngôn ngữ nàythường phát sinh trong khoa học máy tính.Mối quan hệ giữa các yếu tố của bộ được đại diện bằng cách sử dụng cấu trúc gọi là một mối quan hệ,đó là chỉ là một tập hợp con của Descartes của bộ. Mối quan hệ có thể được sử dụng để giải quyết vấn đềchẳng hạn như việc xác định các cặp thành phố được liên kết bởi các chuyến bay của hãng trong một mạng, việc tìm kiếm mộtkhả thi để các giai đoạn khác nhau của một dự án phức tạp, hoặc sản xuất một cách hữu ích để lưu trữthông tin trong cơ sở dữ liệu máy tính.Trong một số ngôn ngữ máy tính, chỉ là những nhân vật đầu tiên 31 của tên của một biến quan trọng.Mối quan hệ bao gồm lệnh cặp dây mà các chuỗi đầu tiên đã cùng ban đầu31 ký tự như là chuỗi thứ hai là một ví dụ về một loại đặc biệt của mối quan hệ, được biết đến như mộtquan hệ tương đương. Quan hệ tương đương phát sinh trong khoa học máy tính và toán học.Chúng tôi sẽ nghiên cứu mối quan hệ tương đương, và các loại đặc biệt của mối quan hệ, trong chương này.9.1 hệ và tài sản của họGiới thiệuCách đặt trực tiếp để thể hiện mối quan hệ giữa các yếu tố của hai bộ là sử dụng lệnh cặpbao gồm hai yếu tố có liên quan. Vì lý do này, bộ đôi đã ra lệnh được gọi là hệ nhị phân.Trong phần này chúng tôi giới thiệu thuật ngữ cơ bản được sử dụng để mô tả mối quan hệ nhị phân. Sau đó ở đâychương chúng tôi sẽ sử dụng mối quan hệ để giải quyết các vấn đề liên quan đến mạng lưới truyền thông, dự ánlập kế hoạch, và xác định các yếu tố trong bộ với thuộc tính chung.Định NGHĨA 1 cho A và B là bộ. Một mối quan hệ nhị phân từ A đến B là một tập hợp con của một × B.Nói cách khác, một mối quan hệ nhị phân từ A đến B là một bộ R có lệnh cặp nơi các yếu tố đầu tiênmỗi lệnh đôi xuất phát từ A và các yếu tố thứ hai đến từ sinh Chúng tôi sử dụng các ký hiệuaRb để biểu thị rằng (a, b) ∈ R và mộtR b để biểu thị rằng (a, b) /∈ R. Hơn nữa, khi nào (a, b)thuộc về R, một được cho là có liên quan đến b bằng R.Nhị phân quan hệ đại diện cho mối quan hệ giữa các yếu tố của hai bộ. Chúng tôi sẽ giới thiệuquan hệ n ary, nhận mối quan hệ giữa các yếu tố của nhiều hơn hai bộ, sau đó ở đâychương. Chúng tôi sẽ bỏ qua từ nhị phân khi không có không có nguy cơ của sự nhầm lẫn.Ví dụ 1 – 3 minh họa các khái niệm của một mối quan hệ.Ví DỤ 1 cho A là các thiết lập của học sinh trong trường học của bạn, và giả sử B là tập hợp của các khóa học. Giả sử R làmối quan hệ này bao gồm các cặp (a, b), nơi một một sinh viên ghi danh vào khóa học b.Ví dụ, nếu Jason Goodfriend và Deborah Sherman được ghi danh vào CS518, các cặp573P1: 1CH09-7T Rosen-2311T MHIA017-Rosen-v5.cls có thể 13, 2011 15:29574 9 / quan hệ(Jason Goodfriend, CS518) và (Deborah Sherman, CS518) thuộc về R. Nếu Jason Goodfriendcũng theo học tại CS510, sau đó các cặp (Jason Goodfriend, CS510) cũng là R. Tuy nhiên,Nếu Deborah Sherman không được ghi danh vào CS510, sau đó các cặp (Deborah Sherman, CS510), làkhông phải trong R.Xin lưu ý rằng nếu một học sinh không phải là hiện đang theo học trong bất kỳ các khóa học có sẽ không không có cặp trong R màcó học sinh này như là các yếu tố đầu tiên. Tương tự, nếu một khóa học không hiện đang được cung cấp cósẽ không có cặp trong R có khóa học này như là yếu tố thứ hai của họ. ▲Ví DỤ 2 cho A là các thiết lập của các thành phố ở Mỹ, và giả sử B là các thiết lập của 50 tiểu bang ở Mỹ.Xác định các mối quan hệ R bằng cách chỉ ra rằng (a, b) thuộc về R nếu một thành phố với tên một trongnhà nước b. Cho ví dụ, (Boulder, Colorado), (Bangor, Maine), (Ann Arbor, Michigan),(Middletown, New Jersey), (Middletown, New York), (Cupertino, California), và(Red Bank, New Jersey) đang ở trong R. ▲Ví DỤ 3 cho A = {0, 1, 2} và B = {a, b}. Sau đó {(0, a), (0, b), (1, một), (2, b)} là một mối quan hệ từ A đến B.Điều này có nghĩa, ví dụ, 0 R a, nhưng mà 1R sinh quan hệ có thể được đại diện đồ họa,như minh hoạ trong hình 1, sử dụng mũi tên để đại diện cho cặp đã ra lệnh. Một cách khác để đại diện cho điều nàymối quan hệ là sử dụng một bảng, trong đó cũng được thực hiện trong hình 1. Chúng tôi sẽ thảo luận về các đại diện củamối quan hệ chi tiết hơn trong phần 9.3. ▲012bmộtR một b012HÌNH 1 Hiển thị các cặp đã ra lệnh trong mối quan hệ R từ ví dụ 3.Các chức năng như quan hệNhớ lại một hàm f từ một tập A để một bộ B (như được định nghĩa trong phần 2.3) gán chính xácmột trong những yếu tố của B cho mỗi phần tử của A. Phiên bản g

Kết quả (Việt) 2:

CHƯƠNG
Quan hệ
9.1 Quan hệ và
họ
tính
9.2 Quan hệ n-ary
và họ
ứng dụng
9.3 Đại diện cho
quan hệ
9.4 Đóng cửa của
quan hệ
9,5 tương đương
Quan hệ
9.6 phần
orderings
Mối quan hệ giữa các yếu tố của bộ xảy ra trong nhiều ngữ cảnh. Mỗi ngày chúng ta đối phó với các
mối quan hệ như những người giữa một doanh nghiệp và số điện thoại, một nhân viên
và mức lương của mình, một người và một người thân, và như vậy. Trong toán học, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ
như những người giữa một số nguyên dương và một trong đó nó phân chia, một số nguyên và một rằng nó là
đồng dư với modulo 5, một số thực và một trong đó là lớn hơn nó, một số thực x và các
giá trị f ( x) trong đó f là một hàm, và như vậy. Mối quan hệ như rằng giữa một chương trình và
một biến nó sử dụng, và rằng giữa một máy tính ngôn ngữ và một tuyên bố hợp lệ trong ngôn ngữ này
thường phát sinh trong khoa học máy tính.
Mối quan hệ giữa các yếu tố của bộ được đại diện sử dụng cấu trúc được gọi là một mối quan hệ,
mà chỉ là một là tập con của tích Đề các của các bộ. Quan hệ có thể được sử dụng để giải quyết vấn đề
như xác định những cặp thành phố được liên kết bởi các chuyến bay hãng hàng không trong một mạng, tìm kiếm một
trật tự khả thi cho các giai đoạn khác nhau của một dự án phức tạp, hoặc sản xuất một cách hữu ích để lưu trữ
thông tin trong cơ sở dữ liệu máy tính.
Trong một số ngôn ngữ máy tính, chỉ có 31 ký tự đầu tiên của tên của một vấn đề biến.
các mối quan hệ bao gồm các cặp có thứ tự của chuỗi hợp chuỗi đầu tiên có cùng ban đầu
31 ký tự như chuỗi thứ hai là một ví dụ về một loại đặc biệt của mối quan hệ, được gọi là một
quan hệ tương đương. Quan hệ tương đương nảy sinh khắp toán học và khoa học máy tính.
Chúng tôi sẽ nghiên cứu các mối quan hệ tương đương, và các loại đặc biệt khác của quan hệ, trong chương này.
9.1 Quan hệ và họ tính
Giới thiệu
Cách trực tiếp nhất để thể hiện mối quan hệ giữa các yếu tố của hai bộ là sử dụng cặp có thứ tự
tạo thành từ hai yếu tố liên quan. Vì lý do này, bộ cặp có thứ tự được gọi là quan hệ nhị phân.
Trong phần này chúng tôi giới thiệu các thuật ngữ cơ bản được sử dụng để mô tả mối quan hệ nhị phân. Sau đó trong này
chương, chúng tôi sẽ sử dụng các mối quan hệ để giải quyết các vấn đề liên quan đến mạng lưới thông tin liên lạc, dự án
lập kế hoạch và xác định các yếu tố trong bộ với tài sản chung.
ĐỊNH NGHĨA 1 Cho A và B là tập hợp. Một mối quan hệ nhị phân từ A đến B là một tập hợp con của A × B.
Nói cách khác, một mối quan hệ nhị phân từ A đến B là một tập hợp R các cặp có thứ tự mà các phần tử đầu tiên
của mỗi cặp ra lệnh xuất phát từ A và các nguyên tố thứ hai đến từ B. Chúng tôi sử dụng các ký hiệu
ARB để biểu thị rằng (a, b) ∈ R và
R b để biểu thị rằng (a, b) / ∈ R. Hơn nữa, khi (a, b)
thuộc R, một được cho là liên quan đến b của R.
quan hệ nhị phân đại diện cho mối quan hệ giữa các yếu tố của hai bộ. Chúng tôi sẽ giới thiệu
quan hệ n-ary, trong đó thể hiện mối quan hệ giữa các yếu tố của hơn hai bộ, sau này
chương. Chúng tôi sẽ bỏ qua các nhị phân từ khi không có mối nguy hiểm của sự nhầm lẫn.
Ví dụ 1-3 minh họa cho khái niệm về một mối quan hệ.
Ví dụ 1 Cho A là tập hợp của các học sinh trong trường học của bạn, và để cho B là tập hợp của các khóa học. Hãy R được
. Mối quan hệ đó bao gồm những cặp (a, b), nơi một là một học sinh tham gia trong khóa học b
Ví dụ, nếu Jason Goodfriend và Deborah Sherman được ghi danh trong CS518, các cặp
573
P1: 1
CH09-7T Rosen -2311T MHIA017-Rosen-v5.cls 13 Tháng năm 2011 15:29
574 9 / Quan hệ
(Jason Goodfriend, CS518) và (Deborah Sherman, CS518) thuộc R. Nếu Jason Goodfriend
cũng được ghi danh vào CS510, sau đó cặp ( Jason Goodfriend, CS510) cũng là trong R. Tuy nhiên,
nếu Deborah Sherman không được ghi danh trong CS510, sau đó cặp (Deborah Sherman, CS510) là
không R.
Lưu ý rằng nếu học sinh không hiện đang theo học tại bất kỳ khóa học sẽ có không có cặp trong R mà
có học sinh này là yếu tố đầu tiên. Tương tự như vậy, nếu một khóa học không được hiện đang được cung cấp ở đó
sẽ không có cặp trong R có khóa học này là yếu tố thứ hai của họ. ▲
Ví dụ 2 Cho A là tập hợp của các thành phố ở Mỹ, và để cho B là tập hợp của 50 tiểu bang ở Hoa Kỳ
Xác định mối quan hệ R bằng cách xác định rằng (a, b) thuộc R nếu một thành phố với tên là
trạng thái b. Ví dụ, (Boulder, Colorado), (Bangor, Maine), (Ann Arbor, Michigan),
(Middletown, New Jersey), (Middletown, New York), (Cupertino, California), và
(Red Bank, New Jersey) là trong R. ▲
VÍ DỤ 3 Để cho A = {0, 1, 2} và b = {a, b}. Sau đó {(0, a), (0, b), (1, a), (2, b)} là một quan hệ từ A đến B.
Điều này có nghĩa, ví dụ, rằng 0 R một, nhưng mà 1
R b . Quan hệ có thể được biểu diễn bằng đồ thị,
như thể hiện trong hình 1, sử dụng mũi tên để đại diện cho cặp có thứ tự. Một cách khác để đại diện này
liên quan là sử dụng một bảng, mà còn được thực hiện trong hình 1. Chúng tôi sẽ thảo luận về các đại diện của
các mối quan hệ một cách chi tiết hơn trong Phần 9.3. ▲
0
1
2
b
một
R ab
0
1
2
Hình 1 Hiển thị các cặp có thứ tự trong quan hệ R từ Ví dụ 3.
Chức năng như quan hệ
Nhớ lại rằng một hàm f từ tập A đến tập B (theo quy định tại mục 2.3) gán chính xác
một phần tử của B để mỗi phần tử của A. g