Definition. A (commutative) ring in

Definition. A (commutative) ring in which every nonzero element has a multiplicative inverse is called a field.
Example 2.39. Here are a few examples of rings and fields with which you are probably already familiar.
= multiplication, and addition is as usual. The multiplicative identity element is 1. Every nonzero element has a multiplicative inverse, so Q is a field.
= multiplication, and addition is as usual. The multiplicative identity element is 1. The only elements that have multiplicative inverses are 1 and −1, so Z is a ring, but it is not a field.
(c) R = Z/nZ, n is any positive integer, = multiplication, and addition is as usual. The multiplicative identity element is 1.
(d) R = Fp, p is any prime integer, = multiplication, and addition is as usual. The multiplicative identity element is 1. By Proposition 1.22, every nonzero element has a multiplicative inverse, so Fp is a field.
(e) The collection of all polynomials with coefficients taken from Z forms a ring under the usual operations of polynomial addition and multiplication. This ring is denoted by Z[x]. Thus we write
Z[x] = {a0 + a1x + a2x2 + ••• + anxn : n ≥ 0 and a0,a1,...,an ∈ Z}.
For example, 1+x2 and 3−7x4 +23x9 are polynomials in the ring Z[x], as are 17 and −203.
(f) More generally, if R is any ring, we can form a ring of polynomials whose coefficients are taken from the ring R. For example, the ring R might be Z/qZ or a finite field Fp. We discuss these general polynomial rings, denoted by R[x], in Section 6.9.

Kết quả (Việt) 1:

Định nghĩa. Một vòng (giao hoán) trong đó mọi phần tử nonzero có một khả nghịch đảo được gọi là một lĩnh vực.Ví dụ 2,39. Dưới đây là một số ví dụ về vòng và các lĩnh vực mà bạn đang có lẽ quen thuộc. = nhân, và bổ sung là như bình thường. Phần tử đơn kiểu là 1. Mọi phần tử nonzero có một khả nghịch đảo, do đó Q là một lĩnh vực. = nhân, và bổ sung là như bình thường. Phần tử đơn kiểu là 1. Các yếu tố duy nhất có khả ngược là 1 và −1, do đó, Z là một vòng, nhưng nó không phải là một lĩnh vực.(c) R = Z/n, n là số nguyên dương bất kỳ, = nhân, và bổ sung là như bình thường. Phần tử đơn kiểu là 1.(d) R = Fp, p là số nguyên tố bất kỳ, = nhân, và bổ sung là như bình thường. Phần tử đơn kiểu là 1. Bởi Döï Luaät 1,22, mọi phần tử nonzero có một khả nghịch đảo, do đó, Fp là một lĩnh vực.(e) bộ sưu tập của tất cả các đa thức với hệ số Lấy từ Z tạo thành một vòng theo các hoạt động bình thường của đa thức bổ sung và phép nhân. Vòng này được kí hiệu bởi Z [x]. Do đó chúng ta viếtZ [x] = {a0 + a1x + a2x2 + • + anxn: n ≥ 0 và a0, a1,..., một ∈ Z}.Ví dụ, 1 + x 2 và 3−7x4 +23 x 9 là đa thức trong vòng Z [x], như là 17 và −203.(f) hơn nói chung, nếu R là nhẫn bất kỳ, chúng tôi có thể tạo thành một vòng của các đa thức hệ mà được lấy từ chiếc nhẫn R. Ví dụ, vòng R có thể Z/qZ hoặc một trường hữu hạn Fp. Chúng tôi thảo luận về các đa thức vòng chung, biểu hiện bằng R [x], trong phần 6.9.

Kết quả (Việt) 2:

Định nghĩa. A (giao hoán) nhẫn trong đó mọi phần tử khác không có một nghịch đảo được gọi là một lĩnh vực.
Ví dụ 2.39. Dưới đây là một vài ví dụ về các vòng và các lĩnh vực mà bạn đang có lẽ đã quen thuộc.
= phép nhân và bổ sung là như bình thường. Các yếu tố bản sắc chất nhân là 1. Mỗi phần tử khác không có một nghịch đảo, do đó Q là một lĩnh vực.
= phép nhân và bổ sung là như bình thường. Các yếu tố bản sắc chất nhân là 1. Các yếu tố chỉ có phần tử nghịch đảo nhân tính là 1 và -1, do đó Z là một chiếc nhẫn, nhưng nó không phải là một lĩnh vực.
(c) R = Z / nZ, n là số nguyên dương, = nhân và bổ sung là như bình thường. Các yếu tố bản sắc chất nhân là 1.
(d) R = Fp, p là số nguyên tố, = phép nhân và bổ sung là như bình thường. Các yếu tố bản sắc chất nhân là 1. By Dự 1.22, mọi yếu tố khác không có một nghịch đảo, vì vậy Fp là một lĩnh vực.
(e) Các bộ sưu tập của tất cả các đa thức với hệ số lấy từ Z tạo thành một vòng dưới sự hoạt động bình thường của việc bổ sung đa thức và phép nhân . Chiếc nhẫn này được ký hiệu là Z [x]. Vì vậy chúng tôi viết
Z [x] = {a0 + a1x + a2x2 + ••• + anxn: n ≥ 0 và a0, a1, ..., an ∈ Z}.
Ví dụ, 1 + x2 và 3-7x4 + 23x9 là đa thức trong vòng Z [x], như là 17 và -203.
(f) Tổng quát hơn, nếu R là bất nhẫn, chúng ta có thể tạo thành một vòng của các đa thức có hệ số được lấy từ các vòng R. Ví dụ, những chiếc nhẫn R có thể là Z / QZ hoặc một trường hữu hạn Fp. Chúng tôi thảo luận về những vòng đa thức nói chung, ký hiệu là [x] R, tại mục 6.9.