semi-discrete scheme, i.e. an ODE i

semi-discrete scheme, i.e. an ODE in the time variable t:
ut = F(u). (1.2)
There is typically a small parameter
x in the spatial discretization, for
example the mesh size in a finite difference, finite volume or discontinuous
Galerkin finite element scheme, which goes to zero with an increased desire
for accuracy. Typically, we would have
F(u) = −f(u)x + O(
xk) (1.3)
for some positive integer k, which is referred to as the spatial order of
accuracy for the semi-discrete scheme (1.2) approximating the PDE (1.1).
The system of ODEs obtained this way is usually very large, since the size of
the system depends on the spatial discretization mesh size
x: the smaller

x, the larger the size of the ODE system.
We would now like to discretize the large ODE system (1.2). Stability
is considered when the size of the system grows without bound with the
decrease of the spatial discretization mesh size
x. More importantly, there
are certain stability properties of the original PDE, such as total variation
stability or maximum norm stability, which may be maintained by the semidiscrete
scheme (1.2). It is also often the case that such stability properties
are maintained by the fully discrete scheme
un+1 = un +
tF (un) (1.4)
which is a first order forward Euler approximation of the ODE (1.2). A
few important examples of the stability properties used in applications will
be given in Chapter 11. The problem with the fully discrete scheme (1.4)
is that it is only first order accurate in time. For hyperbolic problems, the
linear stability requirement usually leads to a bounded ratio between the
time step
t and the spatial mesh size
x. This leads to a global first order
accuracy for the scheme (1.4) regardless of the high order spatial accuracy
(1.3). It is therefore highly desirable to increase the order of accuracy in
time, while still maintaining the same stability properties. SSP methods
are designed to achieve this goal.
We can describe the main property of SSP time discretizations in this
way: if we assume that the first order, forward Euler time discretization
(1.4) of a method of lines semi-discrete scheme (1.2) is stable under a certain
norm (or a semi-norm or a convex functional)
||un+1|| ≤ ||un||,
then a SSP high order time discretization maintains this stability under a
suitable restriction on the time step.
One might ask the question whether it is worthwhile and necessary to
use SSP time discretizations. We will argue in favor of the necessity or
advantage of SSP methods through a numerical example, originally given
in [26].

Kết quả (Việt) 1:

chương trình bán rời rạc, tức là một thơ ca NGỢI trong thời gian biến t:UT = F(u). (1.2)Điển hình là một tham số nhỏ x trong không gian discretization, choVí dụ là kích thước lưới trong một sự khác biệt hữu hạn, khối lượng hữu hạn hoặc không liên tụcĐề án phần tử hữu hạn Galerkin, đi về không với một mong muốn tăng cườngcho chính xác. Thông thường, chúng ta cóF(u) = −f (u) x + O (xk) (1.3)Đối với một số nguyên dương k, được gọi là không gian Huânđộ chính xác cho các đề án bán rời rạc (1,2) số PDE (1,1).Hệ thống soạn thu được bằng cách này là thường là rất lớn, từ kích thước củaHệ thống phụ thuộc vào không gian discretization lưới x: kích thước nhỏ hơnx, lớn hơn kích thước của hệ thống ODE.Chúng tôi bây giờ muốn discretize hệ thống ODE lớn (1,2). Sự ổn địnhđược coi là khi kích thước của các hệ thống phát triển mà không có ràng buộc với cácgiảm không gian discretization lưới kích thước x. Quan trọng hơn, cómột số đặc tính ổn định của bản gốc PDE, chẳng hạn như tất cả các biến thểổn định hay độ ổn định mức tối đa, có thể được duy trì bởi các semidiscreteđề án (1,2). Nó cũng thường là trường hợp mà các thuộc tính ổn địnhđược duy trì bởi các đề án hoàn toàn rời rạcun + 1 = un + tF (un) (1.4)đó là một đầu tiên đặt hàng phía trước Euler xấp xỉ của thơ ca NGỢI (1,2). Asố quan trọng ví dụ về tính ổn định, được sử dụng trong các ứng dụng sẽđược đưa ra trong chương 11. Vấn đề với các chương trình hoàn toàn rời rạc (1.4)là nó chỉ lệnh chính xác trong thời gian đầu tiên. Đối với vấn đề hypebolic, cácyêu cầu ổn định tuyến thường dẫn đến một tỷ lệ bị chặn giữa cácthời gian bước t và lưới không gian kích thước x. Điều này dẫn đến một đơn đặt hàng đầu tiên trên toàn cầuđộ chính xác cho các đề án (1.4) không phân biệt độ chính xác cao trật tự không gian(1.3). đó là do đó rất mong muốn tăng thứ tự độ chính xác trongthời gian, trong khi vẫn duy trì tính ổn định tương tự. Phương pháp SSPđược thiết kế để đạt được mục tiêu này.Chúng tôi có thể mô tả tài sản chính của SSP thời gian discretizations ở đâyđường: nếu chúng ta giả định rằng các lệnh đầu tiên, phía trước Euler thời gian discretization(1.4) của một phương pháp dây chuyền bán rời rạc lược đồ (1,2) là ổn định theo một sốtiêu chuẩn (hoặc một tiêu chuẩn bán hoặc một lồi chức năng)|| un + 1 || ≤ || Liên Hiệp Quốc ||,sau đó một discretization SSP cao thứ tự thời gian duy trì sự ổn định này dưới mộtphù hợp với giới hạn về thời gian bước.Một trong những có thể đặt câu hỏi cho dù đó là đáng giá và cần thiết đểsử dụng SSP thời gian discretizations. Chúng tôi sẽ tranh luận trong lợi của sự cần thiết hoặclợi thế của phương pháp SSP thông qua một số ví dụ, ban đầu được đưa ratrong [26].

Kết quả (Việt) 2:

chương trình bán rời rạc, tức là một ODE trong biến thời gian t:
ut = F (u). (1.2)
Có thường là một tham số nhỏ? X trong không gian rời rạc, cho
ví dụ kích thước mắt lưới trong một sự khác biệt hữu hạn, khối lượng hữu hạn hoặc gián đoạn
chương trình phần tử hữu hạn Galerkin, mà đi đến số không với một mong muốn tăng
độ chính xác. Thông thường, chúng ta sẽ có
F (u) = f (u) x + O (? Xk) (1.3)
đối với một số k nguyên dương, được gọi là trật tự không gian của
độ chính xác cho các chương trình bán rời rạc (1.2) xấp xỉ PDE (1.1).
hệ thống ODEs thu được theo cách này thường là rất lớn, vì kích thước của
hệ thống phụ thuộc vào không gian kích thước rời rạc lưới x: nhỏ hơn
?. x, lớn hơn kích thước của hệ thống ODE
Chúng tôi bây giờ muốn rời rạc hóa hệ thống ODE lớn (1.2). Tính ổn định
được coi là khi kích thước của hệ thống phát triển mà không bị ràng buộc với các
mức giảm của các không gian kích thước rời rạc lưới? X. Quan trọng hơn, đó
là tài sản ổn định nhất định của PDE ban đầu, chẳng hạn như tổng số biến thể
ổn định hoặc ổn định mức tối đa, có thể được duy trì bởi các semidiscrete
chương trình (1.2). Nó cũng thường là những trường hợp đó tính ổn định như vậy
được duy trì bởi các chương trình hoàn toàn rời rạc
un + 1 = un +? TF (un) (1.4)
mà là một trật tự về phía trước đầu tiên Euler xấp xỉ của ODE (1.2). Một
vài ví dụ quan trọng của các tính chất ổn định được sử dụng trong các ứng dụng sẽ
được đưa ra trong Chương 11. Các vấn đề với các chương trình hoàn toàn rời rạc (1.4)
là nó chỉ là thứ tự đầu tiên chính xác trong thời gian. Đối với vấn đề hyperbolic, các
yêu cầu ổn định tuyến tính thường dẫn đến một tỷ lệ bị chặn giữa
t bước thời gian? Và không gian kích thước lưới? X. Điều này dẫn tới một trật tự toàn cầu đầu tiên
chính xác cho chương trình (1.4) không phụ thuộc vào độ chính xác không gian bậc cao
(1.3). Do đó, rất mong muốn để tăng thứ tự chính xác trong
thời gian, trong khi vẫn duy trì tính ổn định tương tự. Phương pháp SSP
được thiết kế để đạt được mục tiêu này.
Chúng tôi có thể mô tả các tài sản chính của discretizations thời gian SSP trong này
cách: nếu chúng ta giả định rằng các lệnh đầu tiên, chuyển Euler thời gian rời rạc
(1.4) của một phương pháp của dòng bán rời chương trình (1.2) là ổn định trong một số
định mức (hoặc một nửa tiêu chuẩn hoặc một lồi chức năng)
|| un + 1 || ≤ || un ||,
sau đó một thời gian để SSP cao rời rạc duy trì sự ổn định này theo một
hạn chế phù hợp trên các bước thời gian.
Người ta có thể đặt câu hỏi liệu nó có đáng giá và cần thiết để
sử dụng thời gian discretizations SSP. Chúng tôi sẽ lập luận ủng hộ sự cần thiết hay
lợi thế của phương pháp SSP thông qua một ví dụ số, ban đầu được đưa
vào [26].