TABLE IRE J E C T I O N SE T T I N

TABLE I
RE J E C T I O N SE T T I N G S F O R BAY E S I A N CL A S S I FIE R S I N U N I VA R I AT E GAU S S I A N DI S T R I BU T I ON S
(xb1 < xc < xb2 or xb1 < xc1 < xb2 < xb3 < xc2 < xb4 )

Cross-over Point(s) Rejection Reject
(Reference Figure) Thresholds region(s) Remarks
Tr1 = 0.5, Tr2 = 0.5 ∅ No Rejection
Tr1 ≥ 0.5, 1 − max(p(t2 |x)) < Tr2 < 0.5 [xc1 , xb2 ) and (xb3 , xc2 ] -
Two Tr1 < 0.5, Tr2 ≥ 0.5 [xb1 , xc1 ) and (xc2 , xb4 ] -
(Fig. 1d) Tr1 < 0.5, 1 − max(p(t2 |x)) < Tr2 < 0.5 [xb1 , xb2 ) and (xb3 , xb4 ] General Rejection
Tr1 < 0.5, Tr2 < 1 − max(p(t2 |x)) [xb1 , xb4 ] “Class-1 and Reject-class” Classification
Tr1 = 0, Tr2 < 1 (−∞, xb2 ) and (xb3 , ∞) “Class-2 and Reject-class” Classification
Tr1 = 0.5, Tr2 = 0.5 ∅ No Rejection
One Tr1 ≥ 0.5, Tr2 < 0.5 [xc , xb2 ) -
(Fig. 1c) Tr1 < 0.5, Tr2 ≥ 0.5 [xb1 , xc ) -
Tr1 < 0.5, Tr2 < 0.5 [xb1 , xb2 ) General Rejection
Tr1 ≥ 1 − min(p(t1 |x)) ∅ “Majority-taking-all” Classification
Tr1 < 1 − min(p(t1 |x)) “Majority-class and Reject-class”
Zero Tr2 < 1 − max(p(t2 |x)) [xb1 , xb4 ] Classification
(Fig. 1d) Tr1 < 1 − min(p(t1 |x))
Tr2 > 1 − max(p(t2 |x)) [xb1 , xb2 ) and (xb3 , xb4 ] General Rejection
Tr1 = 0 “Minority-class and Reject-class”
Tr2 > 1 − max(p(t2 |x)) > 0.5 (−∞, xb2 ) and (xb3 , ∞) Classification
Zero, one and Two
(Fig.1) Tr1 = Tr2 = 0 (−∞, ∞) Rejection to All


eq. (18) for α > 0 while assuming δi = 1:
µ1 − µ2

classification. Due to the constraints like Tr1 + Tr2 ≤ 1 and
p(t1 |x) + p(t2 |x) = 1, one is unable to realize a “Minority-
λ12 − λ11 < p(t2 )σ1 e 2(σ2 2

taking-all” classification. When Tr1 < 1 − min(p(t1 |x)) and
λ21 − λ22


p(t1 )σ2

1 − σ2 ) (20)

Tr2 < 1 − max(p(t2 |x)), all patterns will be partitioned into one of two classes, that is, majority and rejection. We
The general situation within this case is when Tr1 < 0.5
and 1 − max(p(t2 |x)) < Tr2 < 0.5, in which the reject

call these situations “Majority-class and Reject-class” classi- fications. The situations of “Minority-class and Reject-class”
region R3 is divided by two ranges. When Tr1 < 0.5 and
Tr2 < 1−max(p(t2 |x)) < 0.5, only one class is identified, but
all other patterns are classified into a reject class. Therefore,

classification occur if Tr
Tr1 = 0.

2 > 1 − max(p(t2 |x)) > 0.5

and
we refer this situation as “Class 1 and Reject-class” classifi- cation. Table I also lists the other situations for the rejections from the different settings on Trj .
C ase 4 BG : Rejection in one cross-over point xc .
The general condition for realizing this case in the context of
classifications is not based from setting an equality condition on (20) for α = 0. We neglect such setting in this case, but assign it into Case 5 BG. As demonstrated in eq. (19b), the general condition of this case is a simply setting σ1 = σ2 .

Since the study of imbalanced data learning received
more attentions recently [16][17][18], one related theorem of Bayesian classifiers is derived below for elucidating their important features.
Theorem 3: Consider a binary classification with an exact knowledge of one-dimensional Gaussian distributions. If a zero-one cost function is applied, Bayesian classifiers without rejection will satisfy the following rule:
if pmin = min(p(t1 ), p(t2 )) → 0, and
Since the monotonicity property is enabled for the curves of
p(t1 |x) and p(t2 |x) in this case, a single reject region is formed
(Fig. 1c).

λ11 = λ22 = 0, λ12 = λ21 = 1
then E → Emax

Kết quả (Việt) 1:

BÀN TÔITÁI J E C T TÔI O N SE T T TÔI N G S F O R BAY E S TÔI MỘT CL N S S TÔI FIE R S TÔI N U N TÔI VA R TÔI TẠI E GAU S S TÔI MỘT R DI S T N TÔI BU T TÔI TRÊN S(xb1 < xc < xb2 hoặc xb1 < xc1 < xb2 < xb3 < xc2 < xb4)Cross-over Point(s) từ chối từ chối(Tham khảo hình) Ngưỡng region(s) nhận xétTr1 = 0,5, Tr2 = cách 0.5 ∅ từ chối khôngTr1 ≥ 0.5, 1 − tối đa (p (t2 |x)) < Tr2 < 0.5 [xc1, xb2) và (xb3, xc2]-Hai Tr1 < 0.5, Tr2 ≥ 0.5 [xb1, xc1) và (xc2, xb4]-(Hình 1d) Tr1 < 0.5, 1 − tối đa (p (t2 |x)) < Tr2 < 0.5 [xb1, xb2) và (xb3, xb4] nói chung từ chốiTr1 < 0.5, Tr2 < 1 − tối đa (p (t2 |x)) [xb1, xb4] "Class-1 và từ chối-lớp" phân loạiTr1 = 0, Tr2 < 1 (−∞, xb2) và (xb3, ∞) "lớp-2 và từ chối-lớp" phân loạiTr1 = 0,5, Tr2 = cách 0.5 ∅ từ chối khôngMột Tr1 ≥ 0.5, Tr2 < 0,5 [xc, xb2) -(Hình 1c) Tr1 < 0.5, Tr2 ≥ 0,5 [xb1, xc) -Tr1 < 0.5, Tr2 < 0.5 [xb1, xb2) chung từ chốiTr1 ≥ 1 − min (p (t1 |x)) ∅ "Đa-tham gia-tất cả" phân loạiTr1 < 1 − min (p (t1 |x)) "đa lớp và lớp từ chối"Không Tr2 < 1 − tối đa (p (t2 |x)) [xb1, xb4] phân loại(Hình 1d) Tr1 < 1 − min (p (t1 |x))Tr2 > 1 − tối đa (p (t2 |x)) [xb1, xb2) và (xb3, xb4] nói chung từ chốiTr1 = 0 "lớp thiểu số và từ chối-lớp"Tối đa Tr2 > 1 − (p (t2 |x)) > 0,5 (−∞, xb2) và (xb3, ∞) phân loạiKhông, một và hai(Fig.1) Tr1 = Tr2 = 0 (−∞, ∞) từ chối tất cả EQ. (18) cho α > 0 trong khi giả sử δi = 1:Μ1 − Μ2 phân loại. Do các khó khăn như Tr1 + Tr2 ≤ 1 vàp (t1 |x) + p (t2 |x) = 1, một là không thể nhận ra một "dân tộc thiểu số- Λ12 − λ11 < p (t2) σ1 e 2(σ2 2 phân loại tham gia-tất cả". Khi Tr1 < 1 − min (p (t1 |x)) và Λ21 − Λ22 p (t1) σ2 1 − Σ2) (20) Tr2 < 1 − max (p (t2 |x)), tất cả các mẫu sẽ được phân chia thành một trong hai lớp, có nghĩa là, phần lớn và từ chối. Chúng tôi Tình hình chung trong trường hợp này là khi Tr1 < 0,5và 1 − tối đa (p (t2 |x)) < Tr2 < 0.5, trong đó từ chối gọi các tình huống "đa lớp và từ chối-lớp" vu-fications. Các tình huống của "dân tộc thiểu số-lớp"và lớp học từ chối vùng R3 bị chia cắt bởi hai dãy. Khi Tr1 < 0,5 vàTr2 < 1−max (p (t2 |x)) < 0.5, chỉ có một lớp được xác định, nhưngTất cả các mô hình khác được phân loại vào một lớp học từ chối. Do đó, phân loại xảy ra nếu TrTr1 = 0. Tối đa 2 > 1 − (p (t2 |x)) > 0,5 và chúng tôi tham khảo tình trạng này là "Lớp 1 và từ chối-lớp" không-cation. Bảng tôi cũng liệt kê các tình huống khác cho các rejections từ các thiết lập khác nhau trên Trj.C ase 4 BG: từ chối trong một cross-over điểm xc.Tình trạng chung cho việc thực hiện trường hợp này trong bối cảnh củaphân loại không dựa trên thiết lập là điều kiện bình đẳng ngày (20) để α = 0. Chúng tôi bỏ qua các thiết lập trong trường hợp này, nhưng gán nó vào trường hợp 5 BG. Như thể hiện trong eq. (19b), tình trạng chung của trường hợp này là một chỉ đơn giản là thiết lập σ1 = σ2. Kể từ khi nghiên cứu học tập mất cân bằng dữ liệu nhận đượcThêm sự chú ý gần đây [16] [17] [18], một trong những liên quan đến định lý Bayes máy phân loại có nguồn gốc bên dưới cho elucidating tính năng quan trọng của họ.Định lý 3: Hãy xem xét một phân loại nhị phân với một kiến thức chính xác của bản phân phối Gaussian hết. Nếu chi phí chức năng có một trong những số không được áp dụng, Bayes máy phân loại mà không có từ chối sẽ đáp ứng các quy tắc sau đây:Nếu pmin = min (p (t1), p (t2)) → 0, và Kể từ khi monotonicity tài sản được kích hoạt cho các đường cong củap (t1 |x) và p (t2 |x) trong trường hợp này, một khu vực duy nhất từ chối được thành lập(Hình 1c). Λ11 = Λ22 = 0, Λ12 = Λ21 = 1sau đó E → Emax

Kết quả (Việt) 2:

BẢNG Tôi
RE JECTION SE TTINGSFOR BAY ESIAN CL Assi FIE RSINUNI VA RI AT E GAU SSIAN DI STRI BU TI ON S
(xb1 <xc <xb2 hoặc xb1 <xc1 <xb2 <xb3 <xc2 <xb4) Cross-qua Point (s) Từ chối Từ chối (tham khảo hình) Ngưỡng chuẩn khu vực (s) Bình luận TR1 = 0,5, Tr2 = 0,5 ∅ Không từ chối TR1 ≥ 0.5, 1 - max (p (t2 | x)) <Tr2 <0,5 [xc1, xb2) và (xb3, xc2] - Hai TR1 <0,5, Tr2 ≥ 0.5 [xb1, xc1) và (xc2, xb4] - (Hình 1d.) TR1 <0,5, 1 - max (p (t2 | x)) <Tr2 <0,5 [xb1, xb2) và (xb3, xb4] Từ chối chung TR1 <0,5, Tr2 <1 - max (p (t2 | x)) [xb1, xb4] "Class-1 và Từ chối-class" Phân loại TR1 = 0, Tr2 <1 ( -∞, xb2) và (xb3, ∞) "Class-2 và Reject-class" Phân loại TR1 = 0,5, Tr2 = 0,5 ∅ Không chối Một TR1 ≥ 0.5, Tr2 <0,5 [xc, xb2) -. (Hình 1c) tr1 <0,5, Tr2 ≥ 0.5 [xb1, xc) - tr1 <0,5, Tr2 <0,5 [xb1, xb2) Từ chối chung tr1 ≥ 1 - min (p ​​(t1 | x)) ∅ "Majority-uống-tất cả" Phân loại tr1 <1 - min (p ​​(t1 | x)) "Đa-class và lớp Reject-" Zero, Tr2 <1 - max (p (t2 | x)) [xb1, xb4] Phân loại (Fig. 1d) TR1 <1 - min (p ​​(t1 | x)) TR2> 1 - max (p (t2 | x)) [xb1, xb2) và (xb3, xb4] Từ chối chung TR1 = 0 "Minority-class và Từ chối đẳng cấp "Tr2> 1 - max (p (t2 | x))> 0,5 (-∞, xb2) và (xb3, ∞) Phân loại Zero, một và hai (Hình 1) TR1 = Tr2 = 0 (-∞, ∞) Từ chối cho tất cả. eq (18) cho α> 0, trong khi giả định δi = 1: μ1 - μ2. phân loại Do những hạn chế như TR1 + Tr2 ≤ 1 và p (t1 | x) + p (t2 | x) = 1, một là không thể nhận ra một "thiểu số λ12 - λ11 <p (t2) σ1 e 2 (σ2 2 lấy tất cả" phân loại Khi TR1 <1 - min (p ​​(t1 |. x)) và λ21 - λ22 p (t1) σ2 1 - σ2) (20) TR2 <1 - max (p (t2 | x)), tất cả các mẫu sẽ được phân chia thành hai lớp, đó là, đa số và từ chối chúng tôi. Tình hình chung trong trường hợp này là khi TR1 <0,5 và 1 - max (p (t2 | x)) <Tr2 <0,5, trong đó bác bỏ. gọi những tình huống "Majority-class và Reject-class" fications classi- Các tình huống của "thiểu số hạng và Từ chối-class "vùng R3 được chia bởi hai dãy Khi TR1 <0,5 và. Tr2 <1-max (p (t2 | x)) <0.5, chỉ có một lớp được xác định, nhưng tất cả các mẫu khác được phân loại vào một lớp học từ chối. Vì vậy, phân loại xảy ra nếu Tr TR1 = 0. 2> 1 - max (p (t2 | x))> 0.5 và chúng tôi đề cập tình trạng này là "Class 1 và Từ chối-class" cation classifi-. Bảng I cũng liệt kê các tình huống khác để từ chối từ các cài đặt khác nhau trên trj. C ase 4 BG:. Từ chối tại một điểm xc cross-over Các điều kiện chung cho việc thực hiện trường hợp này trong bối cảnh phân loại không dựa từ thiết lập sự bình đẳng điều kiện trên (20) cho α = 0. Chúng ta bỏ qua thiết lập như vậy trong trường hợp này, nhưng gán nó vào Trường hợp 5 BG. Như thể hiện trong eq. (19b), tình trạng chung của các trường hợp này là một chỉ đơn giản là thiết lập σ1 = σ2. Từ việc nghiên cứu học tập dữ liệu mất cân bằng nhận được nhiều sự chú ý gần đây [16] [17] [18], một trong những định lý liên quan của phân loại Bayes có nguồn gốc dưới đây để làm sáng tỏ Các tính năng quan trọng của họ. Định lý 3: Xem xét một phân loại nhị phân với một kiến thức chính xác của các bản phân phối Gaussian một chiều. Nếu một hàm không-một chi phí được áp dụng, phân loại Bayes mà không từ chối sẽ đáp ứng các nguyên tắc sau đây: nếu Pmin = min (p ​​(t1), p (t2)) → 0, và từ các tài sản đơn điệu được kích hoạt cho các đường cong của p (t1 | x) và p (t2 | x) trong trường hợp này, một đơn từ chối khu vực được hình thành. (. Hình 1c) λ11 = λ22 = 0, λ12 = λ21 = 1 thì E → Emax