In practice, the best estimate (tha

In practice, the best estimate (that is, with the smallest reference function) that can be

shown is used. However, big- estimates of time complexity cannot be directly translated into

the actual amount of computer time used. One reason is that a big- estimate f (n) is (g(n)),

where f (n) is the time complexity of an algorithm and g(n) is a reference function, means

that C1g(n) ≤ f (n) ≤ C2g(n) when n>k, where C1, C2, and k are constants. So without

knowing the constants C1, C2, and k in the inequality, this estimate cannot be used to determine

a lower bound and an upper bound on the number of operations used in the worst case. As

remarked before, the time required for an operation depends on the type of operation and the

computer being used. Often, instead of a big- estimate on the worst-case time complexity of

an algorithm, we have only a big-O estimate. Note that a big-O estimate on the time complexity

of an algorithm provides an upper, but not a lower, bound on the worst-case time required for

the algorithm as a function of the input size. Nevertheless, for simplicity, we will often use

big-O estimates when describing the time complexity of algorithms, with the understanding

that big- estimates would provide more information.

Table 2 displays the time needed to solve problems of various sizes with an algorithm using

the indicated number n of bit operations, assuming that each bit operation takes 10−11 seconds, a

reasonable estimate of the time required for a bit operation using the fastest computers available

today. Times of more than 10100 years are indicated with an asterisk. In the future, these times

will decrease as faster computers are developed. We can use the times shown in Table 2 to see

whether it is reasonable to expect a solution to a problem of a specified size using an algorithm

with known worst-case time complexity when we run this algorithm on a modern computer.

Note that we cannot determine the exact time a computer uses to solve a problem with input of

a particular size because of a myriad of issues involving computer hardware and the particular

software implementation of the algorithm.

It is important to have a reasonable estimate for how long it will take a computer to solve a

problem. For instance, if an algorithm requires approximately 10 hours, it may be worthwhile to

spend the computer time (and money) required to solve this problem. But, if an algorithm requires

approximately 10 billion years to solve a problem, it would be unreasonable to use resources to

implement this algorithm. One of the most interesting phenomena of modern technology is the

tremendous increase in the speed and memory space of computers. Another important factor

that decreases the time needed to solve problems on computers is parallel processing, which

is the technique of performing sequences of operations simultaneously.

Efficient algorithms, including most algorithms with polynomial time complexity, benefit

most from significant technology improvements. However, these technology improvements

TABLE 2 The Computer Time Used by Algorithms.

Problem Size Bit Operations Used

Kết quả (Việt) 1:

Trong thực tế, tốt nhất ước tính (có nghĩa là, với chức năng tham khảo nhỏ nhất) có thểHiển thị được sử dụng. Tuy nhiên, lớn ước tính thời gian phức tạp không được trực tiếp dịch thànhsố lượng thực tế của máy tính thời gian sử dụng. Một lý do là một dân số ước tính lớn f (n) (g(n)),đó f (n) là sự phức tạp thời gian của một thuật toán và g(n) là một chức năng tham khảo, có nghĩa là.đó C1g(n) ≤ f (n) ≤ C2g(n) khi n > k, C1, C2 và k đâu hằng số. Như vậy mà không cóbiết hằng C1, C2 và k trong bất đẳng thức, ước tính này không thể được sử dụng để xác địnhmột ràng buộc thấp hơn và một ràng buộc về số lượng các hoạt động được sử dụng trong trường hợp xấu nhất. Nhưnhận xét: trước khi thời gian cần thiết cho các hoạt động phụ thuộc vào loại hình hoạt động và cácmáy tính đang được sử dụng. Thông thường, thay vì một lớn ước tính về độ phức tạp thời gian tồi tệ nhất củamột thuật toán, chúng tôi có chỉ là một ước tính O lớn. Lưu ý rằng một-O lớn ước tính về độ phức tạp thời giancủa một thuật toán cung cấp trên một, nhưng không thấp hơn, bị ràng buộc về thời gian tồi tệ nhất cần thiết chothuật toán là một hàm của các kích thước đầu vào. Tuy nhiên, để đơn giản, chúng tôi thường sử dụngO lớn ước tính khi mô tả sự phức tạp thời gian của thuật toán, với sự hiểu biếtrằng lớn ước tính sẽ cung cấp thêm thông tin.Bảng 2 sẽ hiển thị thời gian cần thiết để giải quyết vấn đề kích cỡ khác nhau với một thuật toán bằng cách sử dụngn chỉ định số bit hoạt động, giả sử rằng mỗi bit hoạt động mất 10−11 giây, mộtCác ước tính hợp lý của thời gian cần cho một chút hoạt động bằng cách sử dụng máy tính nhanh nhất có sẵnngày hôm nay. Thời đại của hơn 10100 năm được chỉ báo bằng dấu hoa thị. Trong tương lai, những lầnsẽ giảm nhanh hơn các máy tính được phát triển. Chúng tôi có thể sử dụng lần hiển thị trong bảng 2 cho thấycho dù đó là hợp lý để mong đợi một giải pháp cho một vấn đề của một kích thước được chỉ định bằng cách sử dụng một thuật toánvới phức tạp được biết thời gian tồi tệ nhất khi chúng tôi chạy thuật toán này trên một máy tính hiện đại.Lưu ý rằng chúng tôi không thể xác định thời gian chính xác một máy tính sử dụng để giải quyết một vấn đề với đầu vào củaKích thước cụ thể do vô số vấn đề liên quan đến phần cứng máy tính và cụ thểphần mềm thực hiện các thuật toán.Nó là quan trọng để có một ước tính hợp lý cho bao lâu nó sẽ mất một máy tính để giải quyết mộtvấn đề. Ví dụ, nếu một thuật toán yêu cầu khoảng 10 giờ, nó có thể là đáng giá đểchi tiêu máy tính thời gian (và tiền) yêu cầu để giải quyết vấn đề này. Tuy nhiên, nếu một thuật toán yêu cầuxấp xỉ 10 tỷ năm để giải quyết một vấn đề, nó sẽ là bất hợp lý để sử dụng các nguồn lực đểthực hiện các thuật toán này. Một trong những hiện tượng thú vị nhất của công nghệ hiện đại là nhữngto lớn tăng tốc độ và bộ nhớ không gian của máy tính. Một yếu tố quan trọng khácgiảm thời gian cần thiết để giải quyết các vấn đề trên máy tính là xử lý song song, đólà kỹ thuật thực hiện trình tự của các hoạt động đồng thời.Thuật toán hiệu quả, bao gồm hầu hết các thuật toán với thời gian đa thức phức tạp, hưởng lợiHầu hết từ những cải tiến công nghệ đáng kể. Tuy nhiên, những cải tiến công nghệBẢNG 2 thời gian máy tính được sử dụng bởi các thuật toán.Vấn đề kích thước Bit hoạt động sử dụng

Kết quả (Việt) 2:

Trong thực tế, ước tính tốt nhất (có nghĩa là, với chức năng chiếu nhỏ nhất) có thể được

thể hiện đang được sử dụng. Tuy nhiên, ước tính big- thời gian phức tạp không thể dịch trực tiếp vào

số tiền thực tế của máy tính thời gian sử dụng. Một lý do là một f dự big- (n) là (g (n)),

trong đó f (n) là độ phức tạp của thuật toán và g (n) là một chức năng tham khảo, có nghĩa

rằng C1g (n) ≤ f (n) ≤ C2G (n) khi n> k, nơi C1, C2, và k là hằng số. Vì vậy mà không

biết các hằng số C1, C2, và k trong sự bất bình đẳng, ước tính này không thể được sử dụng để xác định

một ràng buộc thấp hơn và một trên ràng buộc về số lượng các hoạt động sử dụng trong trường hợp xấu nhất. Như

nhận xét ​​trước đó, thời gian cần thiết cho một hoạt động phụ thuộc vào các loại hình hoạt động và các

máy tính đang được sử dụng. Thông thường, thay vì một ước tính big- trên phức tạp thời gian tồi tệ nhất của

một thuật toán, chúng ta chỉ có một ước tính lớn-O. Lưu ý rằng một O lớn ước tính về độ phức tạp

của một thuật toán cung cấp trên, nhưng không phải là thấp, bị ràng buộc về thời gian tồi tệ nhất cần thiết cho

các thuật toán như là một hàm của kích thước đầu vào. Tuy nhiên, để đơn giản, chúng tôi sẽ thường xuyên sử dụng

ước tính lớn-O khi mô tả sự phức tạp thời gian của thuật toán, với sự hiểu biết

rằng big- ước tính sẽ cung cấp thêm thông tin.

Bảng 2 hiển thị thời gian cần thiết để giải quyết vấn đề của các kích cỡ khác nhau với một thuật toán sử dụng

các chỉ số n hoạt động bit, giả sử rằng mỗi hoạt động chút mất 10-11 giây, một

ước tính hợp lý của thời gian cần thiết cho một hoạt động bit bằng cách sử dụng máy tính nhanh nhất hiện

nay. Times của hơn 10100 năm được thể hiện với một dấu sao. Trong tương lai, những lần

sẽ giảm khi các máy tính nhanh hơn được phát triển. Chúng tôi có thể sử dụng thời gian thể hiện trong Bảng 2 để xem

cho dù đó là hợp lý để mong đợi một giải pháp cho một vấn đề của một kích thước quy định sử dụng một thuật toán

với tiếng phức tạp thời gian tồi tệ nhất khi chúng tôi chạy thuật toán này trên một máy tính hiện đại.

Lưu ý rằng chúng ta không thể xác định thời gian chính xác một máy tính sử dụng để giải quyết một vấn đề với đầu vào của

một kích thước cụ thể vì vô số các vấn đề liên quan đến phần cứng máy tính và đặc biệt là

phần mềm thực hiện các thuật toán.

Điều quan trọng là phải có một ước tính hợp lý trong bao lâu nó sẽ mất một máy tính để giải quyết một

vấn đề. Ví dụ, nếu một thuật toán đòi hỏi khoảng 10 giờ, nó có thể là đáng giá để

dành thời gian máy tính (và tiền bạc) cần thiết để giải quyết vấn đề này. Nhưng, nếu một thuật toán đòi hỏi

khoảng 10 tỷ năm để giải quyết một vấn đề, ​​nó sẽ là bất hợp lý để sử dụng các nguồn lực để

thực hiện thuật toán này. Một trong những hiện tượng thú vị nhất của công nghệ hiện đại là

sự gia tăng rất lớn trong tốc độ và không gian bộ nhớ của máy tính. Một yếu tố quan trọng

làm giảm thời gian cần thiết để giải quyết các vấn đề trên máy tính là xử lý song song, đó

là kỹ thuật thực hiện các trình tự của các hoạt động cùng một lúc.

Thuật toán hiệu quả, bao gồm hầu hết các thuật toán có độ phức tạp thời gian đa thức, được hưởng lợi

nhiều nhất từ những cải tiến công nghệ đáng kể. Tuy nhiên, những cải tiến công nghệ

BẢNG 2 Thời gian máy tính sử dụng bởi thuật toán.

Operations Vấn đề Kích Bit sử dụng