3.4.1 Structural EquivalenceTo comp

3.4.1 Structural Equivalence
To compute structural equivalence, we look at the neighborhood shared by
two nodes; the size of this neighborhood defines how similar two nodes
are. For instance, two brothers have in common sisters, mother, father,
grandparents, and so on. This shows that they are similar, whereas two
random male or female individuals do not have much in common and are
not similar.
The similarity measures detailed in this section are based on the overlap
between the neighborhoods of the nodes. Let N(vi) and N(vj) be the
neighbors of nodes vi and vj, respectively. In this case, a measure of node
similarity can be defined as follows:
σ(vi, vj) = |N(vi) ∩ N(vj)|. (3.57)
For large networks, this value can increase rapidly, because nodes may
share many neighbors. Generally, similarity is attributed to a value that is
bounded and is usually in the range [0, 1]. Various normalization proce-
Jaccard Similarity and dures can take place such as the Jaccard similarity or the cosine similarity:
Cosine Similarity
σJaccard(vi, vj) =
|N(vi) ∩ N(vj)|
|N(vi) ∪ N(vj)| , (3.58)
σCosine(vi, vj) =
|N(vi) ∩ N(vj)|

|N(vi)||N(vj)|
. (3.59)
In general, the definition of neighborhood N(vi) excludes the node itself
(vi). This leads to problems with the aforementioned similarities because
nodes that are connected and do not share a neighbor will be assigned zero
similarity. This can be rectified by assuming nodes to be included in their
neighborhoods.
Example 3.14. Consider the graph in Figure 3.14. The similarity values between
nodes v2 and v5 are
σJaccard(v2, v5) =
|{v1, v3, v4} ∩ {v3, v6}|
|{v1, v3, v4, v6}| = 0.25, (3.60)
σCosine(v2, v5) =
|{v1, v3, v4} ∩ {v3, v6}|
√
|{v1, v3, v4}||{v3, v6}|
= 0.40. (3.61)
96
Figure 3.14: Sample Graph for Computing Similarity.
A more interesting way of measuring the similarity between vi and vj
is to compare σ(vi, vj) with the expected value of σ(vi, vj) when nodes pick
their neighbors at random. The more distant these two values are, the
more significant the similarity observed between vi and vj (σ(vi, vj)) is. For
nodes vi and vj with degrees di and dj, this expectation is didj
n , where n is
the number of nodes. This is because there is a di
n chance of becoming vi’s
neighbor and, since vj selects dj neighbors, the expected overlap is didj
n . We
can rewrite σ(vi, vj) as
σ(vi, vj) = |N(vi) ∩ N(vj)| =

k
Ai,kAj,k. (3.62)
Hence, a similarity measure can be defined by subtracting the random
expectation didj
n from Equation 3.62:
σsignificance(vi, vj) =

k
Ai,kAj,k −
didj
n
=

k
Ai,kAj,k − n
1
n

k
Ai,k
1
n

k
Aj,k
=

k
Ai,kAj,k − n ¯Ai ¯A j
=

k
(Ai,kAj,k − ¯Ai ¯A j)
=

k
(Ai,kAj,k − ¯Ai ¯A j − ¯Ai ¯Aj + ¯Ai ¯A j)
=

k
(Ai,kAj,k − Ai,k ¯A j − ¯AiAj,k + ¯Ai ¯A j)
97

Kết quả (Việt) 1:

3.4.1 kết cấu tương đươngĐể tính toán kết cấu tương đương, chúng ta nhìn vào các khu phố được chia sẻ bởihai nút; Kích thước của khu phố này xác định cách tương tự như hai nút. Ví dụ, hai anh em có chung chị em, mẹ, cha,ông bà, và như vậy. Điều này cho thấy rằng họ là tương tự, trong khi haicá nhân nam hay nữ ngẫu nhiên không có nhiều điểm chung vàkhông tương tự.Các biện pháp tương tự chi tiết trong phần này được dựa trên sự chồng chéogiữa các khu dân cư của các nút. Cho N(vi) và N(vj) cáchàng xóm của nút vi và vj, tương ứng. Trong trường hợp này, một biện pháp của núttương tự có thể được định nghĩa như sau:Σ (vi, vj) = | N(vi) ∩ N (vj) |. (3.57)Đối với mạng lưới lớn, giá trị này có thể tăng nhanh chóng, bởi vì các nút có thểchia sẻ nhiều hàng xóm. Nói chung, tương tự là do giá trị bằngbao bọc và thường là trong phạm vi [0, 1]. Bình thường hóa các proce-Jaccard tương đồng và dures có thể xảy ra chẳng hạn như sự Jaccard giống nhau hoặc tương tự cô sin:Cô sin tương tựΣJaccard (vi, vj) =| N(vi) ∩ N (vj) || N(vi) u N (vj) | , (3.58)ΣCosine (vi, vj) =| N(vi) ∩ N (vj) || N (vi) || N (vj) |. (3.59)Nói chung, định nghĩa của khu phố N(vi) không bao gồm các nút chính nó(vi). điều này dẫn đến các vấn đề với những điểm tương đồng nói trên vìnút được kết nối và không chia sẻ một người hàng xóm sẽ được chỉ định zerotương tự. Điều này có thể được sửa chữa bằng cách giả sử các nút để được bao gồm trong của họkhu dân cư.Ví dụ 3,14. Xem xét đồ thị trong con số 3,14. Các giá trị tương tự giữanút v2 và v5ΣJaccard (v2, v5) =| {v1, v3, v4} ∩ {v3, v6} || {v1, v3, v4, v6} | = 0,25, (3,60)ΣCosine (v2, v5) =| {v1, v3, v4} ∩ {v3, v6} |√| {v1, v3, v4} || {v3, v6} |= 0,40. (3,61)963. hình 14: Mẫu đồ thị cho máy tính tương tự.Một cách thú vị hơn để đo sự giống nhau giữa vi và vjlà để so sánh các σ (vi, vj) với giá trị kỳ vọng của σ (vi, vj) khi nút chọnhàng xóm của họ tại ngẫu nhiên. Càng xa hai giá trị, cácquan trọng hơn sự tương quan sát thấy giữa vi và vj (σ (vi, vj)) là. Chonút vi và vj với độ di và dj, kỳ vọng này là didjn, n ở đâusố lượng các nút. Điều này là bởi vì có một din cơ hội trở thành vi củahàng xóm, và kể từ vj chọn dj hàng xóm, sự chồng chéo dự kiến là didjn. Chúng tôicó thể viết lại σ (vi, vj) làΣ (vi, vj) = | N(vi) ∩ N (vj) | =kAi, kAj, k. (3,62)Do đó, một biện pháp tương tự có thể được định nghĩa bởi trừ các ngẫu nhiênkỳ vọng didjn từ phương trình 3,62:Σsignificance (vi, vj) =kAi, kAj, k −didjlla=kAi, kAj, k − n1llakAi, k1llakAJ, k=kAi, kAj, k − n ¯Ai ¯A j=k(Ai, kAj, k − ¯Ai ¯A j)=k(Ai, kAj, k − ¯Ai ¯A j − ¯Ai ¯Aj + ¯Ai ¯A j)=k(Ai, kAj, k − Ai, k ¯A j − ¯AiAj, k + ¯Ai ¯A j)97

Kết quả (Việt) 2:

3.4.1 Kết cấu tương đương
Để tính tương đương về cấu trúc, chúng ta nhìn vào các khu phố được chia sẻ bởi
hai nút; kích thước của khu phố này định nghĩa cách tương tự như hai nút
là. Ví dụ, hai anh em phải ở chị em thông thường, người mẹ, người cha,
ông bà, và như vậy. Điều này cho thấy rằng họ là tương tự, trong khi hai
cá nhân nam ngẫu nhiên hay nữ không có nhiều điểm chung và
không tương tự.
Các biện pháp tương tự trình bày chi tiết trong phần này được dựa trên sự chồng chéo
giữa các khu vực lân cận của các nút. Hãy N (vi) và N (vj) là
hàng xóm của node vi và vj, tương ứng. Trong trường hợp này, một biện pháp của nút
tương tự có thể được định nghĩa như sau:
σ (vi, vj) = | N (vi) ∩ N (vj) |. (3.57)
Đối với các mạng lớn, giá trị này có thể tăng lên nhanh chóng do các nút có thể
chia sẻ nhiều nước láng giềng. Nói chung, sự tương đồng được quy cho một giá trị được
giới hạn và thường là trong khoảng [0, 1]. Bình thường khác nhau proce-
Jaccard Similarity và các thủ có thể xảy ra như sự tương đồng Jaccard hoặc cosin tương tự:
Cosine Similarity
σJaccard (vi, vj) =
| N (vi) ∩ N (vj) |
| N (vi) ∪ N (vj ) |, (3.58)
σCosine (vi, vj) =
| N (vi) ∩ N (vj)
|?
| N (vi) || N (vj)
|. (3,59)
Nói chung, định nghĩa của khu phố N (vi) không bao gồm các nút đó
(vi). Điều này dẫn đến các vấn đề với những điểm tương đồng nói trên vì
nút được kết nối và không chia sẻ một người hàng xóm sẽ được giao không
giống nhau. Điều này có thể được sửa chữa bằng cách giả sử nút để được bao gồm trong họ
các khu phố.
Ví dụ 3.14. Hãy xem xét các đồ thị trong hình 3.14. Các giá trị giống nhau giữa
các nút v2 và v5 là
σJaccard (v2, v5) =
| {v1, v3, v4} ∩ {v3, v6} |
| {v1, v3, v4, v6} | = 0,25, (3.60)
σCosine ( v2, v5) =
| {v1, v3, v4} ∩ {v3, v6} |
√
| {v1, v3, v4} || {v3, v6} |
= 0,40. (3.61)
96
Hình 3.14:. Biểu đồ mẫu cho Computing Similarity
Một cách thú vị hơn để đo sự giống nhau giữa vi và vj
là so sánh σ (vi, vj) với giá trị kỳ vọng của σ (vi, vj) khi nút chọn
hàng xóm của họ ngẫu nhiên. Ở phía xa hơn hai giá trị này là, sự
quan trọng hơn sự tương quan giữa vi và vj (σ (vi, vj)) là. Đối với
các nút vi và vj với độ di và dj, kỳ vọng này là didj
n, trong đó n là
số nút. Điều này là bởi vì có một di
n cơ hội trở thành vi của
người hàng xóm, và từ vj Lựa chọn dj hàng xóm, sự chồng chéo dự kiến là didj
n. Chúng ta
có thể viết lại σ (vi, vj) là
σ (vi, vj) = | N (vi) ∩ N (vj) |
=?
K
Ai, Kaj, k. (3.62)
Do đó, một biện pháp tương tự có thể được xác định bằng cách trừ ngẫu nhiên
kỳ vọng didj
n từ phương trình 3.62:
σsignificance (vi, vj)
=?
K
Ai, Kaj, k -
didj
n
=? K Ai, Kaj, k - n 1 n? k Ai, k 1 n? k Aj, k =? k Ai, Kaj, k - n ại a j =? k (Ai, Kaj, k - Ai á j) =? k (Ai, Kaj, k - AI J - Ai aj + AI J) =? k (Ai, Kaj, k - Ai, k J - ¯AiAj, k + AI J) 97