The equation on the right tells us

The equation on the right tells us n = ±1. If n = 1, then 1 = 3m2 − 1, so 3m2 = 2, which
has no integer solution. If n = −1, then 1 = −(3m2 − 1), so m = 0. Therefore y = 0, so
x
3 = y
2 + 1 = 1. Thus x = 1.
Remark 8.6. Using Z[i], in 1850 V. A. Lebesgue showed for all d ≥ 2 that the equation
y
2 = x
d − 1 has no solution in nonzero integers x and y.
We end this section by returning to the theme connected to our first application: sums
of two squares. We saw that a prime is a sum of two squares in just one way. But other
numbers can be sums of two squares in more than one way, such as 50 and 65. We now use
arithmetic in Z[i] to systematically construct integers that are sums of two squares in more
than one way. Consider the factorizations of 5 and 13:
5 = (1 + 2i)(1 − 2i), 13 = (2 + 3i)(2 − 3i).
We can combine these factors in two ways:
5 · 13 = ((1 + 2i)(2 + 3i))((1 − 2i)(2 − 3i)) = ((1 + 2i)(2 − 3i))((1 − 2i)(2 + 3i)).
After some algebra, this becomes
65 = (−4 + 7i)(−4 − 7i) = (8 + i)(8 − i).
Thus
65 = 42 + 72 = 82 + 12
.
Different representations of an integer as a sums of two squares in Z correspond to rearranging
prime factors in Z[i]!
As another example, using 5 = (1 + 2i)(1 − 2i) and 10 = (1 + 3i)(1 − 3i), we can write
down two different Gaussian integers with norm 50:
(1 + 2i)(1 + 3i) = −5 + 5i, (1 + 2i)(1 − 3i) = 7 − i.
Taking the norm, we find 50 = 52 + 52 = 12 + 72
.
30 KEITH CONRAD
Let’s find an integer which is a sum of two squares in three different ways. We use the
primes 5, 13, and 17. In Z[i],

Kết quả (Việt) 1:

Các phương trình bên phải cho chúng ta biết n = ±1. Nếu n = 1, sau đó 1 = 3 m 2 − 1, vì vậy, 3m 2 = 2, màđã có giải pháp số nguyên. Nếu n = −1, sau đó 1 = − (3 m 2 − 1), do đó m = 0. Vì vậy y = 0, do đóx3 = y2 + 1 = 1. Vậy x = 1.Nhận xét 8.6. Bằng cách sử dụng Z [i], năm 1850 V. A. Lebesgue cho thấy cho tất cả d ≥ 2 mà các phương trìnhy2 = xd − 1 đã có giải pháp tại nonzero số nguyên x và y.Chúng tôi kết thúc phần này bằng cách quay lại chủ đề kết nối với ứng dụng đầu tiên của chúng tôi: một khoản tiềncủa hai hình vuông. Chúng tôi đã thấy một số nguyên tố là một tổng của hai ô vuông trong chỉ là một cách. Nhưng khácsố điện thoại có thể là tổng của hai ô vuông bằng nhiều cách, như 50 và 65. Chúng tôi bây giờ sử dụngsố học trong Z [i] để có hệ thống xây dựng số nguyên là tổng của hai ô vuông trong nhiều hơn nữahơn một cách. Hãy xem xét các factorizations của 5 và 13:5 = (1 + 2i) (1 − 2i), 13 = (2 + 3i) (2 − 3i).Chúng tôi có thể kết hợp những yếu tố này theo hai cách:1 3 13 = ((1 + 2i) (2 + 3i)) ((1 − 2i) (2 − 3i)) = ((1 + 2i) (2 − 3i)) ((1 − 2i) (2 + 3i)).Sau khi một số đại số, điều này sẽ trở thành65 = (−4 + 7i)(−4 − 7i) = (8 + i)(8 − i).Do đó65 = 42 + 72 = 82 + 12.Đại diện khác nhau của một số nguyên là một tổng của hai ô vuông trong Z tương ứng để sắp xếp lạiThủ tướng chính yếu tố trong Z [i]!Một ví dụ khác, bằng cách sử dụng 5 = (1 + 2i) (1 − 2i) và 10 = (1 + 3i) (1 − 3i), chúng tôi có thể viếtxuống hai số nguyên Gauss khác nhau với mức 50:(1 + 2i) (1 + 3i) = −5 + 5i, (1 + 2i) (1 − 3i) = 7 − tôi.Dùng chuẩn, chúng ta thấy 50 = 52 + 52 = 12 + 72.30 KEITH CONRADHãy tìm một số nguyên là một tổng của hai ô vuông trong ba cách khác nhau. Chúng tôi sử dụng cácsố nguyên tố 5, 13 và 17. Trong Z [i],

Kết quả (Việt) 2:

Phương trình trên bên phải cho chúng ta biết n = ± 1. Nếu n = 1, sau đó 1 = 3m2 - 1, vậy 3m2 = 2, mà
không có giải pháp số nguyên. Nếu n = -1, sau đó 1 = - (3m2 - 1), do đó m = 0. Do đó y = 0, do đó
x
3 = y
2 + 1 = 1. Như vậy x = 1.
Chú ý 8.6. Sử dụng Z [i], năm 1850 VA Lebesgue đã cho thấy tất cả các d ≥ 2 rằng phương trình
y
2 = x
d -. 1 không có giải pháp trong số nguyên khác không x và y
Chúng ta kết thúc phần này bằng cách quay lại chủ đề kết nối với ứng dụng đầu tiên của chúng tôi : số tiền
của hai hình vuông. Chúng tôi thấy rằng một nguyên tố là một tổng của hai ô vuông chỉ là một cách. Nhưng khác
con số có thể là tổng của hai hình vuông trong nhiều cách, chẳng hạn như 50 và 65. Bây giờ chúng ta sử dụng
số học trong Z [i] để xây dựng hệ thống số là chỉ số tiền của hai hình vuông trong nhiều
hơn một cách. Hãy xem xét các factorizations 5 và 13:
5 = (1 + 2i) (1 - 2i), 13 = (2 + 3i) (2 - 3i).
Chúng tôi có thể kết hợp những yếu tố này theo hai cách:
5 · 13 = ((1 + 2i) (2 + 3i)) ((1 - 2i) (2 - 3i)) = ((1 + 2i) (2 - 3i)) ((1 - 2i) (2 + 3i)).
Sau khi một số đại số , điều này sẽ trở thành
65 = (-4 + 7i) (- 4 - 7i) = (8 + i) (8 - i).
như vậy
65 = 42 + 72 = 82 + 12
.
cơ quan đại diện khác nhau của một số nguyên như là một khoản tiền của hai vuông trong Z tương ứng với việc sắp xếp lại
các yếu tố chính trong Z [i]!
một ví dụ khác, sử dụng 5 = (1 + 2i) (1 - 2i) và 10 = (1 + 3i) (1 - 3i), chúng ta có thể viết
xuống hai số nguyên Gaussian khác nhau với mức 50:
. (1 + 2i) (1 + 3i) = -5 + 5I, (1 + 2i) (1 - 3i) = 7 - i
Lấy tiêu chuẩn, chúng tôi tìm thấy 50 = 52 + 52 = 12 + 72
.
30 KEITH CONRAD
Hãy tìm một số nguyên đó là một tổng của hai hình vuông theo ba cách khác nhau. Chúng tôi sử dụng các
số nguyên tố 5, 13, và 17. Trong Z [i],