by a teacher is not sufficient to r

by a teacher is not sufficient to realize their full potential and not in line with the theoretical rationale of their usage since they are meaningful to the extent they involve interactive activities” (p. 4). Durmus & Karakirik concur that “manipulative materials should be used in conjunction with exploratory and inductive approaches” (p. 4) and conclude that
“Most manipulatives in mathematics simply implement the ‘learning with model’ approach. However, educators also need to consider the possibility of designing manipulatives employing the ‘learning to model’ approach since full potential of any technological device could be achieved through its usage as a communication tool to model the concepts and relations at hand.” (p. 6) (Italics and bolding added.)

Our Study
Theoretical Framework
In general, incorporating manipulatives in teacher education has a two-fold purpose:
 To aid in “ teachers having a better understanding of the mathematical concepts and purposes for procedures” and
 To assist them in “learning how to teach with more than just modeling a procedure on the chalkboard” (Vinson et al., 1997).
Our study goes a step further to include a third purpose:
 To engage pre-service teachers in an investigation of the differences in effectiveness of concrete and virtual manipulatives to build understanding of mathematical concepts.
This paper presents the results related to our third objective.

The Participants
Fall semester 2008, 2009, and 2010, a total of seventy- eight aspiring middle grades mathematics teachers were enrolled in Clayton State’s junior-level Number Concepts course. Eleven were male and 67 were female. There were 39 African Americans, 31 Caucasians, 4 Asians and 4 Hispanics.

The Method
The course met for 75 minutes twice a week. In 2008, demonstrations by the instructor with concrete manipulatives were followed by students working collaboratively to perform one of the following exercises: (1) find equivalent fractions;
(2) add, subtract, multiply and divide fractions; (3) add, subtract, and multiply integers; and (4) add and subtract non- decimal-based numbers. Concrete manipulatives used included Pattern Blocks, Fraction Circles, Cuisenaire Rods, Two-color Counters, and Color Tiles with a (paper) Chip Abacus. Following the use of concrete manipulatives, homework assignments sent students to specific websites to investigate those same concepts

Kết quả (Việt) 1:

bởi một giáo viên không phải là đủ để nhận ra tiềm năng đầy đủ của họ và không phù hợp với các lý do lý thuyết về cách sử dụng của họ kể từ khi họ có ý nghĩa đến mức họ liên quan đến các hoạt động tương tác "(trang 4). Durmus & Karakirik tán "manipulative tài liệu nên được sử dụng kết hợp với phương pháp thăm dò và quy nạp" (p. 4) và kết luận rằng"Hầu hết manipulatives trong toán học đơn giản chỉ cần thực hiện phương pháp 'học tập với các mô hình'. Tuy nhiên, nhà giáo dục cũng cần phải xem xét khả năng thiết kế manipulatives sử dụng phương pháp tiếp cận 'học tập mô hình' kể từ khi đầy đủ tiềm năng của bất kỳ thiết bị công nghệ có thể đạt được thông qua sử dụng của nó như một công cụ giao tiếp để mô hình khái niệm và mối quan hệ ở bàn tay." (p. 6) (in nghiêng và bolding thêm.)Nghiên cứu của chúng tôiLý thuyết miêuNói chung, kết hợp với manipulatives trong giáo dục giáo viên có một mục đích hai lần: Để hỗ trợ trong "giáo viên có hiểu rõ hơn về các khái niệm toán học và mục đích cho các thủ tục" và Để hỗ trợ họ trong "học tập làm thế nào để giảng dạy với hơn chỉ cần mô hình hóa một thủ tục trên bảng đen" (Vinson và ctv., 1997).Nghiên cứu của chúng tôi đi một bước xa hơn để bao gồm một mục đích thứ ba: Để thu hút giáo viên trước khi dịch vụ trong một cuộc điều tra của sự khác biệt trong hiệu quả của bê tông và ảo manipulatives để xây dựng sự hiểu biết về khái niệm toán học.Bài viết này trình bày các kết quả liên quan đến mục tiêu thứ ba.The ParticipantsFall semester 2008, 2009, and 2010, a total of seventy- eight aspiring middle grades mathematics teachers were enrolled in Clayton State’s junior-level Number Concepts course. Eleven were male and 67 were female. There were 39 African Americans, 31 Caucasians, 4 Asians and 4 Hispanics.The MethodThe course met for 75 minutes twice a week. In 2008, demonstrations by the instructor with concrete manipulatives were followed by students working collaboratively to perform one of the following exercises: (1) find equivalent fractions;(2) add, subtract, multiply and divide fractions; (3) add, subtract, and multiply integers; and (4) add and subtract non- decimal-based numbers. Concrete manipulatives used included Pattern Blocks, Fraction Circles, Cuisenaire Rods, Two-color Counters, and Color Tiles with a (paper) Chip Abacus. Following the use of concrete manipulatives, homework assignments sent students to specific websites to investigate those same concepts

Kết quả (Việt) 2:

bởi một giáo viên không đủ để nhận ra tiềm năng đầy đủ của họ và không phù hợp với lý thuyết của việc sử dụng của họ kể từ khi họ có ý nghĩa đến mức chúng liên quan đến các hoạt động tương tác "(tr. 4). Durmus & Karakirik đồng tình rằng "vật liệu thao tác nên được sử dụng kết hợp với các phương pháp thăm dò và quy nạp" (tr. 4) và kết luận rằng
"Hầu hết manipulatives trong toán học chỉ đơn giản là thực hiện" học tập với mô hình "phương pháp tiếp cận. Tuy nhiên, các nhà giáo dục cũng cần phải xem xét khả năng thiết kế manipulatives sử dụng các "học tập mô hình" phương pháp tiếp cận từ đầy đủ tiềm năng của bất kỳ thiết bị công nghệ có thể đạt được thông qua việc sử dụng nó như một công cụ truyền thông để mô hình khái niệm và quan hệ ở bàn tay. "(P. . 6) (in nghiêng và tô đậm thêm) Nghiên cứu của chúng tôi khung lý thuyết chung, kết hợp manipulatives trong đào tạo giáo viên có một mục đích hai mặt:  để hỗ trợ trong "giáo viên có một sự hiểu biết tốt hơn về các khái niệm toán học và các mục đích cho các thủ tục" và  để hỗ trợ họ trong "học tập làm thế nào để giảng dạy với nhiều hơn chỉ là một mô hình thủ tục trên bảng đen" (Vinson et al., 1997). nghiên cứu của chúng tôi đi một bước xa hơn để bao gồm một mục đích thứ ba:  để tham gia vào giáo viên mầm dịch vụ vào cuộc điều tra sự khác biệt về hiệu quả của bê tông và manipulatives ảo để xây dựng sự hiểu biết về các khái niệm toán học. bài viết này trình bày các kết quả liên quan đến mục tiêu thứ ba của chúng tôi. những người tham gia Fall học kỳ năm 2008, 2009, và 2010, tổng cộng bảy mươi tám vọng lớp giữa toán học giáo viên đã được ghi danh vào khoá học Số Các khái niệm cơ sở cấp của Clayton Nhà nước. Eleven là nam giới và 67 là nữ. Đã có 39 người Mỹ gốc Phi, 31 người da trắng, 4 người châu Á và 4 gốc Tây Ban Nha. Phương pháp Khóa học đã gặp nhau 75 phút hai lần một tuần. Trong năm 2008, các cuộc biểu tình của người hướng dẫn với manipulatives bê tông được theo dõi bởi các sinh viên cộng tác làm việc để thực hiện một trong các bài tập sau: (1) tìm phân số tương đương; (2) cộng, trừ, nhân và chia phân số; (3) thêm, trừ, nhân số nguyên; và (4) thêm và trừ số thập phân không dựa trên. Manipulatives bê tông được sử dụng bao gồm mẫu Blocks, Circles Fraction, Cuisenaire Rods, đếm hai màu, và màu gạch với một (giấy) Chip Abacus. Sau khi sử dụng manipulatives bê tông, bài tập về nhà gửi sinh viên đến các trang web cụ thể để điều tra những khái niệm tương tự