The independent-particle Schrtiding

The independent-particle Schrtidinger equation in a plane wave basis
The eigenstates of any independent particle Schrodinger—like equation in which each elec- Z
tron moves in an effective potential Ve f f(r),1 such as the Kohn—Sham equations, satisfy the
eigenvalue equation

(12.1)

In a solid (or any state of condensed matter) it is convenient to require the states to be normalized and obey periodic boundary conditions in a large volume S2 that is allowed to
go to infinity. (Any other choice of boundary conditions will give the same result in the large S2 limit [90].) Using the fact that any periodic function can be expanded in the complete set
of Fourier components, an eigenfunction can be written

12.2

where qq are the expansion coefficients of the wavefunction in the basis of orthonormal plane waves lq) satisfying

12.3

Inserting (12.2) into (12.1), multiplying from the left by (q’| and integrating as in (12.3)
leads to the Schrodinger equation in Fourier space

12.4

The matrix element of the kinetic energy operator is simply

12.5

where the last expression is in Hartree atomic units. For a crystal, the potential V€]q,»(r) is
periodic and can be expressed as a sum of Fourier components

(12-6)

where Gm are the reciprocal lattice vectors, and

12.7

with $2,,,.,]] the volume of the primitive cell. Thus the matrix elements of the potential

(12-8)

are non-zero only if q and q’ differ by some reciprocal lattice vector Gm.
Finally, if we define q = k + Gm and q’ = k + G,,,1 (which differ by a reciprocal lattice
vector G,,,~ : Gm — GW), then the Schrodinger equation for any given k can be written as
, the matrix equation

(12-9)

wherez
A n2 2

12.10

Here we have labeled the eigenvalues and eigenfunctions i = 1, 2, . . . , for the discrete set 4
of solutions of the matrix equations for a given k. Equations (12.9) and (12.10) are the
basic Schrodinger equations in a periodic crystal, leading to the formal properties of bands
derived in the next section as well as to the practical calculations that are the subject of the
remainder of this chapter.

Kết quả (Việt) 2:

Các độc lập hạt Schrtidinger phương trình trong một cơ sở sóng phẳng
Các trạng thái riêng của bất kỳ hạt độc lập Schrodinger giống như phương trình trong đó mỗi thống điện Z
di chuyển tron trong một hiệu điện thế hiệu Ve ff (r), 1 như các phương trình Kohn-Sham, đáp ứng
phương trình eigenvalue (12.1) Trong một chất rắn (hoặc bất kỳ trạng thái của vật chất ngưng tụ) nó là thuận tiện để yêu cầu các tiểu bang để được chuẩn hóa và tuân thủ các điều kiện biên tuần hoàn trong một S2 khối lượng lớn được phép đi đến vô cùng. (Bất kỳ sự lựa chọn khác của điều kiện biên sẽ cho kết quả tương tự trong giới hạn S2 lớn [90].) Sử dụng thực tế là bất kỳ chức năng định kỳ có thể được mở rộng trong các bộ hoàn chỉnh các thành phần Fourier, một -hàm riêng có thể được viết 12,2 nơi qq là hệ số giãn nở của các hàm sóng trong các cơ sở trực giao sóng phẳng LQ) đáp ứng 12,3 Chèn (12.2) vào (12.1), nhân từ cánh trái (q '| và tích hợp như trong (12.3) dẫn đến phương trình Schrodinger trong không gian Fourier 12,4 Các phần tử ma trận của các nhà điều hành năng lượng động học chỉ đơn giản là 12,5 nơi biểu thức cuối cùng là trong Năng lượng Hartree đơn vị nguyên tử. Đối với một tinh thể, các tiềm năng V €] q, »(r) là định kỳ và có thể được thể hiện như là một tổng của các thành phần Fourier (12 -6) nơi Gm là các vector lưới đối ứng, và 12,7 với $ 2 ,,,.,]] khối lượng của các tế bào nguyên thủy. Do đó các yếu tố ma trận về tiềm năng (08/12) là khác không chỉ khi q và q "khác nhau bởi một số vector lưới đối ứng Gm. Cuối cùng, nếu chúng ta định nghĩa q = k + Gm và q '= k + G ,,, 1 (khác nhau bởi một mạng đối ứng vector G ,,, ~: Gm - GW), sau đó phương trình Schrodinger cho bất kỳ k cho trước có thể được viết như sau , các phương trình ma trận (12-9) wherez A n2 2 12.10 Dưới đây, chúng tôi đã được dán nhãn các giá trị riêng và eigenfunctions i = 1, 2,. . . , Cho các tập rời rạc 4 của giải pháp của phương trình ma trận cho một k cho trước. Phương trình (12.9) và (12.10) là phương trình Schrodinger cơ bản trong một tinh thể định kỳ, dẫn đến các tính chất chính thức của ban nhạc bắt nguồn trong phần tiếp theo cũng như các tính toán thực tế đó là chủ đề của các phần còn lại của chương này.