Shortest path algorithms work over

Shortest path algorithms work over the set of extended reals ∪ {+∞, −∞}. We
may ignore −∞ since it is only needed in the presence of negative cycles and even
there it is only needed for the output, see Section ??. We can also get rid of +∞ by
noting that parent(v) = ⊥ iff d[v] = +∞, i.e., when parent(v) = ⊥, we assume
d[v] = +∞ and ignore the number stored in d[v].
A refined implementation of the Bellman-Ford algorithm [178, 127] explicitly
maintains a current approximation T of the shortest path tree. Nodes still to be
scanned in the current iteration of the main loop are stored in a set Q. Consider
the relaxation of an edge e = (u, v) that reduces d[v]. All descendants of v in T will
subsequently receive a new d-value. Hence, there is no reason to scan these nodes
with their current d-values and one may remove them from Q and T . Furthermore,
negative cycles can be detected by checking whether v is an ancestor of u in T

Kết quả (Việt) 1:

Thuật toán đường đi ngắn nhất làm việc trên các thiết lập của tập số thực mở rộng u {∞, −∞}. Chúng tôi
có thể bỏ qua −∞ kể từ khi nó chỉ cần sự hiện diện của chu kỳ tiêu cực và thậm chí
có nó chỉ là cần thiết cho đầu ra, xem phần??. Chúng tôi cũng có thể loại bỏ của ∞ bởi
ghi nhận rằng parent(v) = ⊥ iff d [v] = ∞, tức là, khi parent(v) = ⊥, chúng tôi giả định
d [v] = ∞ và bỏ qua số được lưu trữ trong d [v].
Một thực hiện refined của thuật toán Bellman-Ford [178, 127] rõ ràng
duy trì một xấp xỉ hiện tại T của cây con đường ngắn nhất. Nút vẫn phải
quét trong hiện tại lặp của vòng lặp chính được lưu trữ trong một xem xét Q. đặt
thư giãn của một cạnh e = (u, v) mà làm giảm d [v]. Tất cả hậu duệ của v trong T sẽ
sau đó nhận được một d-giá trị mới. Do đó, có là không có lý do để quét các nút
với hiện tại của d-giá trị và một trong những có thể loại bỏ chúng khỏi Q và T. Hơn nữa,
chu kỳ tiêu cực có thể được phát hiện bằng cách kiểm tra cho dù v là tổ tiên của bạn trong T

Kết quả (Việt) 2:

Thuật toán đường đi ngắn nhất làm việc trên các thiết lập của tập số thực mở rộng ∪ {+ ∞, - ∞}. Chúng tôi
có thể bỏ qua - ∞ vì nó chỉ là cần thiết trong sự hiện diện của chu kỳ tiêu cực và thậm chí
có nó chỉ là cần thiết cho đầu ra, xem phần?. Chúng tôi cũng có thể thoát khỏi + ∞ bởi
lưu ý phụ huynh (v) = ⊥ khi và chỉ khi d [v] = + ∞, tức là, khi cha mẹ (v) = ⊥, chúng tôi giả định
d [v] = + ∞ và bỏ qua những số được lưu trữ trong d [v].
Một thực hiện tinh chế của thuật toán Bellman-Ford [178, 127] một cách rõ ràng
duy trì một xấp xỉ hiện tại T của cây đường đi ngắn nhất. Nút vẫn được
quét trong lần lặp hiện tại của vòng lặp chính được lưu trữ trong một bộ Q. Hãy xem xét
việc nới lỏng một cạnh e = (u v,) làm giảm d [v]. Tất cả các con cháu của v trong T sẽ
sau đó nhận được một d-giá trị mới. Do đó, không có lý do để quét các nút
với hiện tại d-giá trị của họ và người ta có thể loại bỏ chúng khỏi Q và T. Hơn nữa,
chu kỳ tiêu cực có thể được phát hiện bằng cách kiểm tra xem v là tổ tiên của u trong T