The DFT is an abbreviation of the D

The DFT is an abbreviation of the Discrete Fourier Transform. So the DFT is just a type of
Fourier Transform for the discrete-time x (n) instead of the continuous analog signal x (t). The
Fourier Transform equation is as follow:

X ( )  ( )j n(3)
n
From the equation, the main function of the Fourier Transform is to transform the variable
from the variable n into the variable ω, which means transforming the signals from the time
domain into the frequency domain.


Assuming the recorded voice signal x(n) is a sequence or vector which consists of complex
values, such as x(n)=R+I, where R stands for the real part of the value, and I stands for the
imaginary part of the value. Since the exponent factor is:

ej ncos(n)
So:

j sin(n) (4)







x n ej nR I [cos( n) j sin( n)] R cos( n) R j sin( n) I cos( n) I j sin( n) (5)
Rearrange the real part and image part of the equation. We get:





j n
x n e[R cos( n) I cos( n)R j sin( n) I j sin( n)] (6)
So the equation (3) becomes:


x
( )





[Rcos( n) Icos( n)]






j[Rsin( n) Isin( n]




5


(7)


Tingxiao Yang

The Algorithms of Speech Recognition, Programming and Simulating in MATLAB



The equation (7) is also made of the real part and the imaginary part. Since in general
situation, the real value of the signal x (n) is used. So if the imaginary part I=0. Then the
Fourier Transform is





X ( ) [ cos(n)] [
n n

( )] (8)



The analyses above are the general steps to program the Fourier Transform by programing the
computation frequency factor which consists of the real part and the imaginary part with the
signal magnitude. But in MATLAB, there is a direct command “fft”, which can be used
directly to get the transform function. And the variable ω in equation (3) can be treated as a
continuous variable.


Assuming the frequency ω is set in [0,2π], X (ω) can be regarded as an integral or the
summation signal of all the frequency components. Then the frequency component X (k) of X
(ω) is got by sampling the entire frequency interval ω= [0,2π] by N samples. So it means the
2

frequency component
as below:

kkN. And the DFT equation for the frequency component ωk is


X k( ) X ( ) 






( )jkn

N 1



( )

2k
j n
N


, 0≤k≤ N-1 (9)

k

n

n0

This equation is used to calculate the magnitude of the frequency component. The key of
understanding DFT is about sampling the frequency domain. The sampling process can be
shown more clearly as the following figures.















Figure 2: Sampling in frequency circle






6


Tingxiao Yang

The Algorithms of Speech Recognition, Programming and Simulating in MATLAB














Figure 3: Sampling in frequency axis



In addition, MATLAB are dealing with the data for vectors and matrixes. Definitely,
understanding the linear algebra or matrix process of the DFT is necessary. By observing the
equation (3), except the summation operator, the equation consists of 3 parts: output X (ω),
input x (n) and the phase factor ejkn . Since all the information of the frequency components
is from the phase factor ej nk . So the phase factor can be denoted as:


kn jkn

, n and k are integers from 0 to N-1. (10)

WNe
Writing the phase factor in vector form:
  [WN0k,WN1k,W2k 3k 4




( N 1)k




]

kn jkn

,WN,WNk ,...,W

(11)

WN

e

N

N

And
( ) [ (0), (1), (2)..., (x N 1)] (12)
So the equation (9) for the frequency component X (k) is just the inner product of the ( WNkn)H
and x(n) :
X k( ) ( WNkn H) ( ) (13)
This is the vector form about calculating frequency component with using DFT method. But
if the signal is a really long sequence, and the memory space is finite, then the using DFT to
get the transformed signal will be limited. The faster and more efficient computation of DFT
is FFT. The author will introduce briefly about FFT in next section.

Kết quả (Việt) 1:

DFT là viết tắt của biến đổi Fourier rời rạc. Vì vậy, DFT là chỉ là một loại hình Fourier Transform cho thời gian rời rạc x (n) thay vì analog liên tục tín hiệu x (t). Các Phương trình biến đổi Fourier là như sau: X ()  () j n(3) nTừ phương trình, chức năng chính của biến đổi Fourier là để biến đổi các biến từ n biến thành biến ω, có nghĩa là chuyển đổi tín hiệu từ thời giantên miền vào tên miền tần số. Giả sử bằng giọng nói ghi lại tín hiệu x(n) là một dãy hoặc vector bao gồm các khu phức hợpgiá trị, chẳng hạn như x (n) = R + I, nơi R là viết tắt của một phần thực sự của các giá trị, và tôi đại diện cho cácphần ảo của các giá trị. Kể từ khi các yếu tố số mũ là: EJ ncos(n)Vì vậy: j sin(n) (4)    x n ej nR tôi [cos (n) j sin (n)] R cos (n) R j sin (n) tôi cos (n) tôi j sin (n)  (5) Sắp xếp lại các phần thực và hình ảnh một phần của phương trình. Chúng tôi nhận được:   j nx n e [R cos (n) tôi cos (n) R j sin (n) tôi tội lỗi j (n)]  (6) Vì vậy, phương trình (3) trở thành: x( )  [Rcos (n) Icos (n)]  j [Rsin (n) Isin (n]5 (7) Tingxiao Dương Thuật toán nhận dạng giọng nói, lập trình và mô phỏng trong MATLAB Phương trình (7) cũng đã thực hiện phần thực và phần ảo. Kể từ khi nói chungtình hình, giá trị đích thực của tín hiệu x (n) được sử dụng. Vì vậy, nếu ảo phần I = 0. Sau đó, cácFourier Transform là   X ()  [cos(n)]  [n n ()] (8) Những phân tích ở trên là các bước chung để chương trình biến đổi Fourier của lập trình các tần suất tính toán yếu tố bao gồm phần thực và phần ảo với cáccường độ tín hiệu. Nhưng trong MATLAB, đó là một chỉ huy trực tiếp "fft", mà có thể được sử dụngtrực tiếp để có được hàm biến đổi. Và ω biến trong phương trình (3) có thể được coi như là mộtthay đổi liên tục. Giả sử ω tần số nằm trong [0, 2π], X (ω) có thể được coi như là một tích phân hoặc cácTổng kết các tín hiệu của tất cả các thành phần tần số. Sau đó các thành phần tần số X (k) x (Ω) là nhận được bằng cách lấy mẫu cả tần số khoảng ω = [0, 2π] bởi N mẫu. Do đó, nó có nghĩa là các 2 thành phần tần sốnhư dưới đây: kkN. Và phương trình DFT cho ωk thành phần tần số là X k () X ()   jkn) N 1 ( ) 2kj nN , 0≤k≤ N-1 (9) k n n0 Phương trình này được sử dụng để tính toán độ lớn của các thành phần tần số. Chìa khóa của sự hiểu biết DFT là về miền tần số lấy mẫu. Trong quá trình lấy mẫu có thể Hiển thị rõ ràng hơn như các con số. Hình 2: Lấy mẫu trong tần số vòng tròn 6 Tingxiao Dương Thuật toán nhận dạng giọng nói, lập trình và mô phỏng trong MATLABHình 3: Lấy mẫu ở tần số trục Ngoài ra, MATLAB đang đối phó với các dữ liệu vectơ và khuôn nổi. Chắc chắn, Tìm hiểu về đại số tuyến tính hoặc quá trình ma trận DFT là cần thiết. Bằng cách quan sát cácphương trình (3), ngoại trừ các nhà điều hành tổng kết, phương trình này bao gồm 3 phần: đầu ra X (ω) nhập x (n) và giai đoạn yếu tố ejkn. Kể từ khi tất cả các thông tin của các thành phần tần sốlà từ yếu tố ej nk giai đoạn. Vì vậy, yếu tố giai đoạn có thể được ký hiệu là:  kN jkn , n và k là các số nguyên từ 0 đến N-1. (10) WNeVăn bản các yếu tố giai đoạn dưới dạng véc tơ:    [WN0k, WN1k, W2k 3k 4 (N 1) k ] kN jkn , WN, WNk,..., W (11) WN e N N Và () [(0), (1), (2)..., (x N 1)] (12) Vì vậy phương trình (9) cho các thành phần tần số X (k) là chỉ sản phẩm bên trong của (WNkn) Hvà x(n): X k () ( WNkn H)  () (13) Đây là hình thức vectơ tính toán tần số phần bằng cách sử dụng phương pháp DFT. NhưngNếu tín hiệu là một chuỗi dài thực sự, và bộ nhớ không gian là hữu hạn, sau đó sử dụng DFT đểnhận được tín hiệu chuyển sẽ được hạn chế. Tính toán nhanh hơn và hiệu quả hơn của DFT là FFT. Tác giả sẽ giới thiệu ngắn gọn về FFT trong phần kế tiếp.

Kết quả (Việt) 2:

Các DFT là viết tắt của Discrete Fourier Transform. Vì vậy, các DFT chỉ là một loại
Fourier Transform cho thời gian rời rạc x (n) thay vì các tín hiệu analog x liên tục (t). Các
Fourier Transform phương trình như sau:

X ()  () jn (3)
n
Từ phương trình, chức năng chính của Fourier Transform là để biến đổi các biến
từ biến n vào ω biến, có nghĩa là chuyển đổi tín hiệu từ thời
miền vào miền tần số.


Giả sử tín hiệu ghi lại giọng nói của x (n) là một dãy hoặc vector bao gồm phức hợp
các giá trị, chẳng hạn như x (n) = R + I, trong đó R là viết tắt của phần thực sự của các giá trị, và tôi là viết tắt của các
phần ảo của các giá trị. Kể từ khi các yếu tố mũ là: ncos ej (n) Vì vậy: j sin (n) (4)    xn ej nRI [cos (n) j sin (n )] cos R (n) R j sin (n) tôi cos (n) tôi j sin (n)  (5) Sắp xếp lại các phần thực và phần hình ảnh của phương trình. Chúng tôi nhận được:   jn xne [R cos (n) Tôi cos (n) R j sin (n) Tôi j sin (n)]  (6) Vì vậy, phương trình (3) trở thành: x ()  [Rcos (n) ICOS (n)]   j [Rsin (n) Isin (n] 5 (7) Tingxiao Yang các thuật toán của Speech Recognition, Lập trình và mô phỏng trong MATLAB các phương trình (7) cũng được làm bằng phần thực và phần ảo. Vì nói chung tình hình, giá trị thực của tín hiệu x (n) được sử dụng. Vì vậy, nếu phần ảo I = 0. Sau đó, các Fourier transform là   X ()  [cos (n)]  [ n n ()] (8) những phân tích trên đây là những bước chung để chương trình Fourier transform bởi lập trình các yếu tố tần số tính toán trong đó bao gồm các phần thực và phần ảo với cường độ tín hiệu. Nhưng trong MATLAB, có một lệnh trực tiếp "FFT", có thể được sử dụng trực tiếp để có được những biến đổi chức năng. và biến ω trong phương trình (3) có thể được coi như một biến số liên tục. Giả sử các ω tần số được thiết lập trong [0,2π], X (ω) có thể được coi như là một tổng thể hay các tín hiệu tổng của tất cả các thành phần tần số. Sau đó, các thành phần tần số X (k) của X (ω) được nhận bằng cách lấy mẫu toàn bộ khoảng tần số ω = [0,2π] bởi N mẫu. Vì vậy, nó có nghĩa là 2 thành phần tần số như sau: kkN. Và phương trình DFT cho ωk thành phần tần số là X k () X ()     () jkn N 1  () 2k j n N , 0≤k≤ N-1 (9) k n n0 phương trình này được sử dụng để tính toán độ lớn của các thành phần tần số. Chìa khóa của sự hiểu biết DFT là về lấy mẫu tần số tên miền. Quá trình lấy mẫu có thể được thể hiện rõ hơn là những con số sau đây. Hình 2: Lấy mẫu trong vòng tròn tần số 6 Tingxiao Yang Các thuật toán của Speech Recognition, Lập trình và mô phỏng trong MATLAB Hình 3: Lấy mẫu trong trục tần số Ngoài ra, MATLAB đang đối phó với các dữ liệu cho vectơ và ma trận. Chắc chắn, sự hiểu biết về đại số tuyến tính ma trận hay quá trình của DFT là cần thiết. Bằng cách quan sát các phương trình (3), trừ các nhà điều hành tổng kết, phương trình gồm 3 phần: đầu ra X (ω), đầu vào x (n) và các yếu tố ejkn pha. Vì tất cả các thông tin của các thành phần tần số là từ nk giai đoạn tố ej. Vì vậy, các yếu tố pha có thể được ký hiệu là:  kn jkn , n và k là các số nguyên từ 0 đến N-1. (10) WNe Viết yếu tố giai đoạn ở dạng vector:    [WN0k, WN1k, W2k 3k 4 (N 1) k ] kn jkn , WN, WNK, ..., W (11) WN e N N và () [(0), (1), (2) ..., (x N 1)] (12) vì vậy, phương trình (9) cho các thành phần tần số x (k) chỉ là bên trong sản phẩm của (WNkn) H và x (n): x k () ( WNkn H)  () (13) Đây là dạng vector về tính toán thành phần tần số bằng cách sử dụng phương pháp DFT. Nhưng nếu tín hiệu là một chuỗi dài thực sự, và không gian bộ nhớ là hữu hạn, sau đó bằng cách sử dụng DFT để nhận được tín hiệu chuyển đổi sẽ được hạn chế. Các tính toán nhanh hơn và hiệu quả hơn của DFT là FFT. Các tác giả sẽ giới thiệu ngắn gọn về FFT trong phần tiếp theo.