The Division RuleWe have introduced

The Division Rule
We have introduced the product, sum, and subtraction rules for counting. You may wonder
whether there is also a division rule for counting. In fact, there is such a rule, which can be
useful when solving certain types of enumeration problems.
THE DIVISION RULE There are n/d ways to do a task if it can be done using a procedure
that can be carried out in n ways, and for every way w, exactly d of the n ways correspond
to way w.
We can restate the division rule in terms of sets: “If the finite set A is the union of n pairwise
disjoint subsets each with d elements, then n = |A|/d.”
We can also formulate the division rule in terms of functions: “If f is a function from A
to B where A and B are finite sets, and that for every value y ∈ B there are exactly d values
x ∈ A such that f (x) = y (in which case, we say that f is d-to-one), then |B| = |A|/d.”
We illustrate the use of the division rule for counting with an example.
EXAMPLE 20 How many different ways are there to seat four people around a circular table, where two
seatings are considered the same when each person has the same left neighbor and the same
right neighbor?
Solution: We arbitrarily select a seat at the table and label it seat 1. We number the rest of the
seats in numerical order, proceeding clockwise around the table. Note that are four ways to
select the person for seat 1, three ways to select the person for seat 2, two ways to select the
person for seat 3, and one way to select the person for seat 4. Thus, there are 4! = 24 ways to
order the given four people for these seats. However, each of the four choices for seat 1 leads
to the same arrangement, as we distinguish two arrangements only when one of the people has
a different immediate left or immediate right neighbor. Because there are four ways to choose
the person for seat 1, by the division rule there are 24/4 = 6 different seating arrangements of
four people around the circular table.

Kết quả (Việt) 1:

Nguyên tắc phân chiaChúng tôi đã giới thiệu các quy tắc trừ, tổng hợp và sản phẩm cho đếm. Bạn có thể thắc mắccho dù có cũng là một quy tắc chia cho đếm. Trong thực tế, đó là một quy luật như vậy, mà có thểhữu ích khi giải quyết một số loại vấn đề liệt kê.LUẬT sư đoàn có là n/d cách để thực hiện một tác vụ nếu nó có thể được thực hiện bằng cách sử dụng một thủ tụcđó có thể được thực hiện bằng cách n, và cho mọi cách w, chính xác d n cách tương ứngcách w.Chúng tôi có thể restate nguyên tắc phân chia về bộ: "nếu hữu hạn thiết lập A là liên minh của n pairwisedisjoint mỗi tập con với d các yếu tố, sau đó n = | A | / d. "Chúng tôi cũng có thể xây dựng các nguyên tắc phân chia về mặt chức năng: "nếu f là một hàm từ AB nơi mà A và B là tập hợp hữu hạn, và rằng cho mỗi giá trị y ∈ B có các giá trị chính xác dx ∈ một như vậy rằng f (x) = y (trong trường hợp đó, chúng ta nói rằng f là d 1), sau đó | B | = | A | / d. "Chúng tôi minh họa cho việc sử dụng các nguyên tắc phân chia cho đếm với một ví dụ.Ví dụ 20 làm thế nào nhiều cách khác nhau vẫn có chỗ ngồi bốn người xung quanh một bàn tròn, trong trường hợp haiseatings được coi là giống nhau, khi mỗi người có những người hàng xóm bên trái cùng một và giống nhauhàng xóm đúng không?Giải pháp: Chúng tôi tùy tiện chọn một chỗ ngồi tại bàn và nhãn nó chỗ 1. Chúng ta số phần còn lại của cácghế theo số thứ tự, tiếp tục chiều kim đồng hồ quanh bàn. Lưu ý rằng có bốn cách đểchọn người cho ghế 1, ba cách chọn người cho ghế 2, hai cách để chọn cácngười cho ghế 3, và một cách để chọn người cho chỗ ngồi 4. Do đó, hiện có 4! = 24 cách đểĐặt bốn người được đưa ra các ghế. Tuy nhiên, mỗi người trong số bốn lựa chọn cho ghế 1 dẫnđể bố trí tương tự, như chúng ta phân biệt hai sắp xếp chỉ khi một trong những người đãmột khác nhau ngay lập tức trái hoặc ngay lập tức phải người hàng xóm. Bởi vì có bốn cách để chọnngười cho ngồi 1, bởi các quy tắc đội có là 24/4 = 6 sắp xếp chỗ ngồi khác nhau củabốn người xung quanh bàn tròn.

Kết quả (Việt) 2:

Phòng Rule
Chúng tôi đã giới thiệu các sản phẩm, tổng hợp, và các quy tắc phép trừ để đếm. Bạn có thể tự hỏi
liệu có còn là một nguyên tắc phân chia để đếm. Trong thực tế, có như vậy một quy tắc, mà có thể là
hữu ích khi giải quyết một số loại của các vấn đề liệt kê.
CÁC QUY ĐỊNH PHÂN Có n / d cách để làm một nhiệm vụ nếu nó có thể được thực hiện bằng cách sử dụng một thủ tục
có thể được thực hiện trong n cách , và cho mọi phong cách w, chính xác d trong những cách n tương ứng
. để cách w
Chúng tôi có thể trình bày lại các quy tắc phân chia về bộ: "Nếu tập hợp hữu hạn A là sự kết hợp của n cặp
tập con rời nhau mỗi d yếu tố, sau đó n = | A | / d ".
Chúng tôi cũng có thể xây dựng các quy tắc phân chia về chức năng:" Nếu f là một hàm từ A
đến B trong đó A và B là tập hữu hạn, và rằng đối với mỗi giá trị y ∈ B có đúng d giá trị
x ∈ A sao cho f (x) = y (trong trường hợp này, chúng ta nói rằng f là d-to-one), sau đó | B | = | A |. / D "
. Chúng tôi minh họa việc sử dụng các quy tắc phân chia cho đếm với một ví dụ
Ví dụ 20 bao nhiêu cách khác nhau là có chỗ ngồi bốn người xung quanh một cái bàn tròn, nơi hai
seatings được coi là giống nhau khi mỗi người có người hàng xóm cùng bên trái và cùng một
người hàng xóm phải không?
giải pháp: Chúng tôi tùy tiện chọn một chỗ ngồi vào bàn và gọi nó ngồi 1. Chúng tôi đánh số các phần còn lại của
ghế theo số thứ tự, tiến chiều kim đồng hồ xung quanh bàn. Lưu ý rằng bốn cách để
chọn người cho ghế 1, ba cách để lựa chọn người cho ghế 2, hai cách để lựa chọn
người cho ghế 3, và một trong những cách để chọn người đó cho chỗ ngồi 4. Như vậy, có 4! = 24 cách để
ra lệnh cho bốn người cho những chỗ ngồi. Tuy nhiên, mỗi một trong bốn lựa chọn cho ghế 1 dẫn
đến sự sắp xếp, như chúng ta phân biệt hai thỏa thuận chỉ khi một trong những người có
một ngay lập tức người hàng xóm bên khác nhau bên trái hoặc ngay lập tức. Bởi vì có bốn cách để chọn
người cho ghế 1, theo các quy tắc phân chia có 24/4 = 6 sắp xếp chỗ ngồi khác nhau của
bốn người ngồi quanh bàn tròn.